“种瓜得瓜，种豆得豆”

赖学李

【摘要】本文从一类主从联动最小值问题出发，探究从动点的运动轨迹，由轨迹得到这类问题的最小值，从而生成“瓜豆原理”，通过对模型的分析和证明，给出两种广泛的运用——“直线型”和“曲线型”.

【关键词】初中数学；最小值问题；瓜豆原理

1  模型建立与证明

例1  如图1所示，M为直线BC上的一动点，A为一定点，取动线段AM的中点N，证明：N的运动轨迹为直线.

证明  如图2所示，当M运动到M′时，N运动到N′，

则NN′为MM′的中位线，

根据中位线的性质得NN′∥MM′，

由于M的运动轨迹即为直线BC，

则N的运动轨迹为NN′所在的直线，得证.

注意  （1）图1中，M，N均为动点，N随M的运动而运动，故把M叫主动点，N叫从动点.

（2）类似地推广，当主动点的运动轨迹为圆时，从动点的运动轨迹也是圆；（3）利用“瓜豆”模型解决问题的基本步骤可归纳为：①寻找“瓜豆”三点——两动一定（能准确区分主、从动点）；②验证“两个条件”；③构造“相似”或全等，确定从动点的运动轨迹；④定性计算.

模型總结  平面中，如果两动点到某一定点距离之比为定值，且两动点分别与该定点的连线的夹角为定角，则主、从动点的轨迹相同，且轨迹图形的大小之比为该定值，这个模型通常叫做“瓜豆原理”.

2  模型的应用

2.1  直线或线段型

例2  如图3所示，△ABC和△ADE均为直角三角形，其中∠C=∠E=90°，∠B=∠DAE=30°，点D在边BC上运动，且AC=4，则点E的运动路径长为.

解  如图4，以AC，AB为斜边作Rt△ACE′，Rt△ABE″，

且使得：∠CAE′=∠BAE=30°，

连接E′E″，则E′E″即为点E的运动轨迹的长度.

因为Rt△ABE″中，∠BAE=30°=∠ABC，

而∠AE′C=90°=∠CAE″，

所以△CAE′∽△CE″A，

所以∠AE″E′=∠CAE′=30°

因为∠E′AE″=60°，

所以∠AE′E″=90°，

所以∠AE′C+AE′E″=180°，

所以C，E′，E″三点共线，

故AB=CE″=2AC=8，CE′=12AC=2，

所以E′E″=6，得解.

2.2  圆或圆弧形

例3  （2018·江苏南通）如图5，正方形ABCD中，AB=25，O是BC中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，则OF最小值为．

解  如图6，连接OD，将OD绕点D旋转90°得O′D，连接O′F，再分别以O，O′为圆心，OE，O′F为半径作圆，连接OO′.

由旋转得：DE=DF，DO=DO′，∠ODE=∠O′DF=90°，

所以△DOE≌△DO′F（SAS），

所以OE=O′F，所以F的轨迹为以O′为圆心，O′F为半径的圆，

所以当F运动到OO′上时，OF最小，

因为OD=O′D，∠ODO′=90°，

所以△ODO′为等腰直角三角形，

在Rt△OCD中，CD=25，OC=5，

所以OD=OC2+CD2=5，

所以OO′=2OD=52，

所以（OF）min=OO′-OF=52-2.

2.3  函数综合型

例4  （2020·江苏宿迁）如图7，Q是直线y=-12x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得点Q′，连接OQ′，则OQ′的最小值为.

解  如图8，设y=-12x+2与坐标轴分别交于点M，N，

则M（0，2），N（4，0），

当点Q运动到点N时，则Q′到点A，而P（1，0），

所以PN=PA=3，故A（1，-3）；

同理，当点Q运动到Q″时，即PQ″∥y轴时，Q′运动到点B，

则xQ″=xP=1，代入y=-12x+2，

得yQ″=32，

所以PQ″=32=PB，故B52，0；

则Q′的轨迹为AB，过点O作OG⊥AB，则OG为OQ′的最小值.

而由A（1，-3），B52，0，

所以AB：y=2x-5，则该直线与y轴的交点H（0，-5），

由等面积法，求得OG=5，得解.