解直角三角形在实际应用中的常见模型分析

马国柱

【摘要】运用解直角三角形相关知识解决实际问题的常见模型有四种：异侧型、同侧型、斜截型和交叉型.这四种类型在仰角与俯角问题、方位角问题、坡角问题中均有可能出现，解答此类问题，关键是从实际问题中抽象出数学问题，然后构造数学模型.本文对这几种数学模型进行归纳，以帮助学生对解直角三角形在实际生活中的应用有更全面的掌握.

【关键词】初中数学；直角三角形；解题

1  异侧型

此类型的基本特点是两个直角三角形“背靠背”.如图1左所示，一般利用线段的和来寻找等量关系.此类型的特殊情况是隔一段距离的“背靠背”（如图1右），区别是中间多了一段固定长度的线段.

例1  如图2，广场上有两栋高楼A和B，其中楼B高为120米，而从楼A的顶点A处测得楼B顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°.求：楼A和B的水平距离为多少米？

解  如图2，过点A作AE⊥BC于点E，

设BE=x，易知四边形ADCE为矩形，

DC=AE=BEtan∠BAE=3x，

因为∠EAC=45°，

所以EC=AE=3x，

由题意有BE+CE=3x+x=120，

解得x=60 3－1，

所以DC=AE=3x=180－603，

即楼A和B的水平距离为180－603米.

2  同侧型

此类型的特点是两个直角三角形“大含小”.如图3，小的三角形在大的三角形内部，有公共的直角顶点及一条公共的直角边，通过这条公共的直角边构成两个直角三角形.与异侧型不同的是，同侧型一般利用线段的差来寻找等量关系.

例2  如图4所示，某居民楼为了方便居民进出，将楼栋门口阶梯的一部分改造成斜坡，已知原阶梯斜面AB的长为1米，坡角∠ABD=45°，改造后斜坡的坡角∠ACD=15°，改造后的斜坡的水平距离增加了BC，求BC的长度（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，2≈1.41）.

解  如图4所示，在直角三角形ABD中，

因为∠ABD=45°，

所以AD=BD=AB·sin∠ABD=22，

CD=ADtan∠ACD≈1.412×0.27≈2.61，

所以BC=CD－BD≈2.61－1.412≈1.91，

即改造后的斜坡的水平距离增加了1.91米.

3  斜截型

如图5，此类型的特点是小的直角三角形在大的直角三角形内部，有公共的锐角，此类题的解题关键是巧妙利用公共的锐角.

例3  大型商场的建设通常都会设计地下停车场，如图6是某大型商场的地下停车库入口的坡道设计示意图，其中AB⊥BD，∠BAD=18°，C在BD上，AB的长为10米，BC为0.5米，CE⊥AD.现需要在地下车库入口坡道的上方张贴限高标志，请问限制高度应为CE还是CD，并计算出正确的限制高度.（结果精确到0.1米，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）.

解  如图4所示，在直角三角形ABD中，

因为∠ABD=90°，∠BAD=18°，AB=10，

所以BD=AB·tan∠BAD≈3.2，

所以CD=BD－BC≈3.2－0.5≈2.7，

在直角三角形ABD中，∠CDE=90°－∠BAD=72°，

因为CE⊥ED，

所以∠DCE=90°－∠CDE=18°，

所以CE=CD·cos∠DCE2.7×0.95≈2.6，

2.6<2.7，CE＜CD，

所以CE为限制高度，为2.6米.

4  交叉型

此类型的特点是两个直角三角形的边有交点.如图7，此类题要仔细分析题意，抓住两个直角三角形中变化的量和不变的量，找准等量关系，找等量关系时可以结合矩形来找.

例4  如图8所示，工程队测量人员想测量河对岸一棵大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走210米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为1∶3（点C、B、E在同一水平线上）.求测量人员从C点到D点上升的高度和大树AB的高度.

图8

解  如图8，过D点作DG⊥AB，DH⊥CE，

因为斜坡CF的坡比为1∶3，

因此在直角三角形DHC中，CH=3DH，

DH2+CH2=DC2，

DH2+3DH2=2102，

解得DH=2，CH=6，易知四邊形DHBG为矩形，

设BC=x，则DG=BH=x+6，

因为∠ACB=45°，

所以AB=BC=x，AG=x－2，

因为∠ADG=30°，

有tan30°=AGDG=33，

则有x－2x+6=33，

解得x=6+43，

即测量人员从C点到D点上升的高度为2米，大树的高度为6+43米.