一道初中函数解析式问题的多维解析

黄世海

【摘要】在初中数学中，学生对于函数还只有基本的理解，常见的函数有一次函数、二次函数等.一般来说，函数类题目重在对二次函数定义及其应用的考查.此外，还需要学生掌握常见的函数处理技巧，并能够内化其中的数学思想方法.本文从多个角度探究一道函数解析式问题的解法，以供参考.

【关键词】初中数学；函数；解析式

题目  已知二次函数图象的顶点为（2，4），且它的图象与x轴交于点（1，0），求这个二次函数的解析式.

问题分析  此题给出了二次函数的顶点，这不仅意味着确定了函数的对称轴，还得到了函数的最值（可能是最大值也有可能是最小值），在求解时可从此条件出发，再结合它的图象与x轴交于点（1，0）这一条件解出所设解析式中的未知数，即可得到该二次函数解析式.

角度1  设它的解析式为y=ax2+bx+c，则由已知可得a+b+c=0，再由顶点坐标公式可得含a，b，c的另两个方程，从而建立方程组，求得a，b，c的具体值.

解析  设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，

因为该二次函数图象的顶点为（2，4），

所以可得－b2a=24ac－b24a=4，

即b=－4a4ac－b2－16a=0，

又因为它的图象过点（1，0），

则代入得a+b+c=0.

结合b=－4a可得c=3a，

将b=－4a，c=3a代入4ac－b2－16a=0，

整理得a（a+4）=0，

因為a≠0，

所以a=－4，将其代入b=－4a，c=3a，

可得b=16，c=－12，

于是这个函数的解析式为

y=－4x2+16x－12.

此方法利用的是二次函数解析式的基本形式，在运算上可能较为复杂，先是由基本形式的已知的结论代入顶点坐标，解得未知数的值，再利用图象过顶点的方式转而得到另一等式，即可得到解析式.

角度2  设所求的二次函数解析式为y=ax2+bx+c，则由它的图象经过点（2，4）和（1，0）以及其对称轴为直线x=2，可建立a，b，c的一次方程，从而求出a，b，c的值.

解析  设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，

因为直线x=2是这个函数图象的对称轴，

所以－b2a=2，即b=－4a，

由这个函数的图象过点（2，4）和（1，0），

可得4a+2b+c=4，a+b+c=0，

解得a=－4，b=16，c=－12，

于是所求的二次函数解析式为y=－4x2+16x－12.

角度2  同样利用的是二次函数解析式的基本形式，与角度1不同的是，其利用了对称轴和与x轴交于点（1，0）解出了另一交点，三点即可确定二次函数的解析式.

角度3  已知二次函数图象的顶点坐标为（m，n），可设其解析式为y=a（x－m）2+n，此时只需要由另一个已知条件确定a的值即可.

解析  由已知可设这个二次函数的解析式为y=a（x－2）2+4，它的图象经过点（1，0），

所以a（1－2）2+4=0，

从而得到a=－4，

所以所求的二次函数解析式为y=－4（x－2）2+4，

即y=－4x2+16x－12.

角度3利用了已知二次函数图象的顶点坐标，可以设二次函数的顶点式的结论，结合题目中的另一条件直接解得二次函数解析式，此角度最为简单，但是需要学生记住已知结论.

角度4  如图1所示，由二次函数图象的对称轴和与x轴的一个交点（x1，0）可确定图象与x轴的另一个交点（x2，0），从而可以设函数的解析式为y=a（x－x1）（x－x2），再由顶点坐标即可求出a的值.

解析  由已知可得函数图象的对称轴是直线x=2，因为图象与x轴的一个交点为（1，0），由对称性可知，它与x轴的另一个交点为（3，0），

从而设这个函数的解析式为y=a（x－1）（x－3）.

因为函数图象过点（2，4），所以代入求得a=－4.

于是所求的二次函数解析式为y=－4（x－1）（x－3），

即y=－4x2+16x－12.

此方法利用的是二次函数的两个与x轴的交点所能够设的解析式的结论，同样需要学生理解并熟练运用.

结语

上述4种角度虽在方法和解题顺序上有所差异，但本质上都是相同的，都是遵循着先设解析式，再利用题目条件解出解析式的具体值.在实际的解题过程中，根据问题的具体条件，选择合适的解析式，可以提升解题的速度，同时在平时做题的过程中，要善于总结归纳各种条件所能够设的解析式的形式.

参考文献：

［1］魏敬源.浅谈初中数学二次函数解析式的解题方法和技巧［J］.数学之友，2022，36（05）：95-97.

［2］郑子飚.初中数学解题方法和技巧研究——以二次函数解析式为例［J］.新课程导学，2023（14）：56-59.

［3］陶千春.求解反比例函数解析式的方法例析［J］.数理天地（初中版），2022（12）：4-5.