初中数学数与式及图形的规律问题剖析及教学启示

摘要：数与式及图形的规律问题是初中数学教学的重点和中考的难点之一.文章分析了数与式的规律问题以及图形的规律问题的考查特点、考查要求和解题路径等，并得出相应的教学启示.

关键词：初中数学；规律试题；教学启示

1 数与式的规律问题

观察下列按顺序排列的等式：a1=1-13，a2=12-14，a3=13-15，a4=14-16，……，试猜想第n个等式（n为正整数）：an=.

该题属于数与式的规律问题.下面对此类问题进行剖析.

（1）题型分类

数与式的规律类问题的题型可以分为以下几类：①数列问题.考查数列中数的排列规律，通常包括等差数列和等比数列的性质，如给出部分项或规律，要求求出指定项或下一项的值.②数的变换问题.类似于图形的变换问题，但是涉及的是数的变换规律，可能涉及加、减、乘、除等运算，要求根据规律找出下一个数.③方程式的规律问题.考查的是方程式或等式中的规律，可能涉及代数式的变换、等式的性质等，要求根据规律解方程或等式.④函数的性质问题.这类问题考查的是函数的性质和特点，可能涉及函数的奇偶性、周期性、增减性等，要求根据给定的条件确定函数的性质或找出符合条件的函数.

（2）解题路径

仔细阅读题目，理解问题所描述的情境和要求，确保对问题有清晰的理解；观察已知数据或情境中的规律，这可能涉及数、方程式等方面的规律.尝试找出数、方程式之间的关系，可能会出现等差数列、等比数列等规律；根据观察到的规律，尝试归纳出规律性的特点或性质，建立解题的思路和方法；基于归纳总结的结果，建立解题的假设或猜想，这个假设可以是对规律的描述或对下一个数或方程式的预测；利用假设所描述的规律性特点，验证其是否符合已知条件或题目要求，并通过举例、计算、推理等方法来验证假设的正确性；一旦验证了假设的正确性，就可以将所得的规律推广应用到解决其他类似的问题中，进而更好地理解问题的本质，并提高解题的能力.

2 图形的规律问题

如图1，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第2个图比第1个图多一层，第3个图比第2个图多一层，依次类推.

（1）第9个图中阴影三角形的个数为，非阴影三角形的个数为；

（2）第n个图中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求n.

该题属于图形的规律问题.此类问题的考查要求、考查特点与解题路径如下：

（1）考查要求

初中数学图形的规律问题是培养学生观察、归纳、总结能力的重要途径之一，图形规律问题命题考查要求：①形状变换规律.给出一系列图形，要求学生观察其中的规律，推测出每个图形的变换规律，这可能涉及到平移、旋转、镜像等操作.②图形数量规律.给出一组图形，要求学生根据已有的图形推测出下一个或几个图形，这可能涉及到图形的增减、重复等规律.③图形组合规律.给出一些简单的图形，要求学生将它们组合成一个复杂图形，并找出组合规律.④图形序列规律.给出一系列图形，要求学生找出其中的规律，并根据规律补充或调整序列中的图形.⑤图形对称规律.给出一些图形，要求学生找出其中的对称性质，这可能是轴对称、中心对称等.⑥图形嵌套规律.给出一些图形，要求学生观察其中的嵌套关系，推测出嵌套规律.

（2）考查特点

①多样性.这类问题涵盖了多种图形，如点、线、多边形等，以及它们的组合和变换，涉及不同类型的几何图形，考查学生对不同几何形状的特征和性质的理解.

②逻辑性.图形规律问题通常要求学生发现图形之间的规律，并据此进行推理和归纳.学生需要通过分析图形的变化规律，进行逻辑推理，以确定序列中下一个图形的形态.

③创造性.解决图形规律问题需要学生具备一定的创造性，需要能够灵活运用几何知识和规律，提出可能的解决方案，并验证其正确性.

④抽象性.图形规律问题有时涉及抽象的图形变换或图形序列，学生需要能够理解和处理这种抽象性.例如，给定一个图形序列，要求学生找出其中的规律，并根据规律绘制下一个图形，但序列中的图形并非常见的几何图形.

⑤实用性.虽然图形规律问题通常是以抽象的形式出现，但解决这些问题的方法和思维过程在实际生活中也具有一定的应用性.通过解决这类问题，学生可以培养发现规律、分析问题和解决问题的能力.

（3）解题路径

图形的规律问题具体解题路径如图2所示.

具体来看：①理解问题.仔细阅读问题，确保理解问题陈述中提到的所有条件和要求.理解问题的关键是确定给定的图形序列或图形变换的特点和规律.②观察图形序列.仔细观察给定的图形序列或图形变换，注意图形的形态、大小、位置等方面的变化，尝试找出其中的规律性.③寻找规律.在观察图形序列的过程中，寻找图形的规律.④验证规律.通过对图形序列中的几个图形进行验证，确认自己找到的规律是否适用于整个序列.⑤推测下一个图形.基于找到的规律推测出下一个图形的形态.这需要对规律进行推理和归纳，从而确定下一个图形的特征.⑥检查答案.绘制或构造出推测的下一个图形，然后与原始序列中的下一个图形进行比较，检查推测的图形是否符合规律，确保推测的图形与已知的规律一致.⑦解释规律.如果可能的话，尝试解释所发现的规律.可以尝试用文字、图表或其他形式清晰地表达所发现的规律，并思考这些规律在数学或实际生活中的应用.⑧拓展思考.如果时间允许，可以考虑拓展，探索更复杂或更抽象的图形规律问题，或将所学的规律应用到其他领域或问题中.

3 教学启示

3.1 挖掘教材中资源，提高学生的归纳推理能力

教师要深入挖掘和高效使用教材中的资源，不断提高学生的归纳推理能力.具体方式包括：①案例分析.在教材中选择具有代表性的案例，引导学生分析案例中的规律和共性.②图形分析.利用教材中的图形问题或案例，让学生观察图形的特征和变化规律，从中推断出规律性，并进行归纳总结.③故事情境.利用教材中的故事情境或实际问题，让学生从中提取信息、总结规律，并进行归纳推理.

3.2 把握不同题型考查要点，加强针对性指导

教师可以引导学生灵活运用各种解题方法，例如数学归纳法、递推法、代数求解等，针对不同类型的规律问题选择合适的方法进行解答；在解题过程中，教师可以引导学生思考类似的问题，通过对比、类比等方式加深对规律的理解和应用，让学生在解决一个问题的基础上，进一步拓展思维，进而解决更加复杂或抽象的问题；教师应重视学生解题的思考过程，而不仅仅关注答案正确与否.鼓励学生详细描述解题思路和方法，展示解题的逻辑性和合理性，帮助学生发现问题解决中的思维误区和改进空间.

3.3 教师加强命题设计，提高教学质量

教师在设计相关试题时应当注意以下几点：①设计丰富多样的规律问题，涵盖不同类型的数列、等式、不等式、图形序列等.包括基本的等差数列、等比数列等，也可以涉及复杂的函数关系、图形变换规律等.②根据学生的学习水平和能力，合理设置问题的难度.命题既要考查基础知识的掌握情况，又要有一定的拓展性和深度，能够引导学生进行思考和探索.③设计与实际生活相关的应用性问题，让学生将数与式及图形规律与实际情境相结合，提高问题解决的实用性和综合运用能力.④针对不同水平和能力的学生，设计不同难度和类型的问题，以满足不同学生的学习需求.