数形结合思想在高中数学教学中的应用策略

郑冬

【摘要】“数”与“形”反映了事物两个方面的属性，根据二者的对应关系指导学生进行数学研究是数学教学的有效途径.文章先介绍了数形结合思想的内涵，然后结合具体教学案例说明该思想在教学导入、精讲、练习、总结等教学环节中的具体应用策略，以期为优化高中数学教学提供确切参考.

【关键词】数形结合思想；高中数学；教学；应用策略

高中数学以研究事物的数量关系与空间形态为重点，旨在培养高中生从不同角度认识事物的思维能力.教师将抽象思维与形象思维培养教学有机结合，能够促使学生在直观观察数学对象的过程中探析其本质特征.而要做到这一点，教师需要将数形结合思想灵活应用到数学课程教学当中.作为教学工作的实施者，教师有必要把握数形结合思想的内涵，同时根据课程教学规律思考该思想在不同教学环节中的应用策略，并在教学过程中总结经验，不断推进高中数学教学的优化.

一、数形结合思想的内涵

数学以“数”与“形”为基本研究对象，二者在合适的条件下可以相互转化.“数”具有精确性，可用于阐明事物的具体属性；“形”具有直观性，可用于阐明事物的空间形式.数形结合思想以“数”与“形”的联系为基础，根据二者的对应关系转化“数”或“形”的形态，以此直观呈现问题内容，抽象表达问题原理.在高中数学教学中，数形结合思想占据重要地位.教师可以利用数轴图、函数图像、单位圆、三角形等直观图示实现“以形助数”，帮助学生解决集合、二次函数、指数函数、不等式等代数难题；还可以利用集合的运算、函数解析式、直线方程、曲线方程、向量坐标运算等数学公式实现“以数解形”，帮助学生快速解决立体几何、平面解析几何等几何难题.这样，教师在教学中通过“以形助数”或“以数解形”将代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机结合，使代数、几何问题相互转化，有利于学生充分理解数学原理的本质特征，掌握数学概念和运算的几何意义以及常见曲线的代数特征.

二、数形结合思想在高中数学教学中的应用策略

（一）导入环节借图激趣，提高学习效能

良好的开端是成功的一半.要保证课堂教学效果达到预期，教师就要做好导入环节的引导教学工作，应认识到教学导入激趣、引起学习动机、建立新旧知关系的重要教学作用，并利用数形结合思想将学生过去所学知识、新课涉及教学内容结合起来呈现给学生，由此引发其求知欲，促使其基于旧知迁移新知.新课引入时，教师可以圍绕课程主题出示相应图示，之后提出引导性问题，利用直观的图形减弱高中数学教学内容的复杂性与抽象性，利用引导性问题驱动学生主动探究新知，提高其学习效能.

以湘教版数学必修第一册“集合”一课教学为例，教师可联系小学集合教学内容引入新课：爷爷、奶奶、爸爸、妈妈、外公、舅妈、小明、叔叔8人去蔬果园采摘西红柿与草莓，他们的分工如图1所示，你能发现什么？

这样将生活化场景与Venn图结合应用于教学导入环节，一方面可以拉近学生与新课教学内容的距离，引发其学习兴趣；另一方面能促使学生回顾小学期间所学集合知识，对具体问题加以说明.在此基础上，教师可以提出引导性问题，如：像这样根据事物特征对其进行分类，分类后的事物群体可用什么来表示？这个“群体”如何用数学语言描述？构成“群体”的“个体”又该怎样表示？然后指导学生观察Venn图：爸爸、外公、舅妈、叔叔4人构成了“采摘西红柿”的群体；爷爷、奶奶、妈妈、小明4人构成了“采摘草莓”的群体，指导学生在观察图示的过程中从个体、整体的角度分辨相关内容，之后引出集合与元素的概念，加深其感悟.

（二）精讲环节借图探究，提高教学深度

新知教学环节是课堂教学的关键环节.把握学生认知规律并合理呈现教学内容，才能够提高学生认知.鉴于高中数学教学内容的抽象性与复杂性，直接为其灌输基本概念、性质、原理容易造成其浅层学习，不利于其对相关知识的内化与吸收.为此，教师可应用数形结合思想，提出代数问题驱动学生合作讨论，促使其感悟数学规律.

学贵有疑.在新知教学环节提出问题可激活学生思维，使其尽早进入学习状态.为保证学生的主观能动性被充分调动，教师可以结合现实生活中的常见问题提问，并作出细致要求，确保学生能够按照教师设想列式计算、讨论分析，感悟数学规律.

以湘教版数学必修第一册“一元二次不等式”一课教学为例，教师可在新知讲解环节提出现实问题：学校打算在草坪上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的总长度是24米，围成的矩形区域的面积要大于20平方米，则这个矩形的边长应为多少米？提问后，教师要求学生设未知数，尽可能少地引入未知量.学生设长为x米，建立了不等关系x2-12x+20<0，经历了从实际问题中抽象出一元二次不等式的过程，形成建模能力.在此基础上，教师可借助GeoGebra软件画出函数y=x2-12x+20的图像，在图像上随机取一点A（x，y），拖动A在图像上移动，让学生回答，随着点A位置的改变，其纵坐标有着怎样的变化规律，如：

（1）当A点的纵坐标为0时，其横坐标怎么求？

（2）这个一元二次方程x2-12x+20=0的两个实数根与二次函数y=x2-12x+20有什么关系？

（3）这个发现可以推广到一般情况吗？

（4）继续观察，二次函数y=x2-12x+20的两个零点将x轴分成三段，每一段（不包括零点）对应的函数图像有什么特点（重点观察函数值）？

（5）结合图像谈谈上面例子，矩形的边长可以是多少？

借助软件绘制函数图像并设置问题串，能够逐步引导学生从函数图像角度切入，感悟方程的根与函数图像之间的关系，进而从图像就能得到相应的不等式解集，体会函数图像所起的作用.

（三）练习环节数形结合，提升解题能力

优质的高中数学课堂要确保说理教学与练习教学的有机统一.观察配套练习册、高考试卷中的数学习题不难发现，部分数学问题可应用列式运算、代入求值等常规方法解决，但部分数学问题却需要从代数、几何两个角度出发综合分析.高中数学练习教学环节以培养学生解题能力为重点.为保证学生学会综合“数”与“形”的关系解决问题，教师有必要设计数形结合类型练习题，驱动学生在审题、解题、反思的过程中总结解题技巧.需要注意的是，学生的思维发展呈螺旋上升特征.教师设计练习题目时应遵循该规律，先设计简单问题使学生形成数形结合意识，再设计复杂问题发展其数形结合思维.

以湘教版数学必修第一册“函数的基本性质”一课教学为例，教师完成函数的单调性、奇偶性等说理教学后，可依次设计如下习题：

第（2）题以函数的奇偶性为主要考点，难度中等.根据g（x）=f（x-2）是奇函数可得f（x）的图像关于（-2，0）中心对称，再由已知可得函数f（x）的三个零点为-4，-2，0；由g（x）=f（x-2）知g（x）是把函数f（x）向右平移2个单位得到的，且g（2）=g（0）=0，f（-4）=g（-2）=-g（2）=0，f（-2）=g（0）=0，得到f（x）的大致图像如图3所示，结合函数图像可知，当x≤-4或x≥-2时，xf（x）≤0，得到正确答案为C选项.

第（3）题综合考查了函数的基本性质，难度较高.数形结合是解决该问题的突破口.首先作出函数f（x）的图像，如图4所示，观察图像，当x=1时，y最小，最小值为2；当x=0时，y=3；当x=2时，y=3.又函数y=x2-2x+3在閉区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是[1，2]，得到正确答案为C选项.

这样设计难度进阶的数学问题驱动学生应用数形结合思想进行分析求解，可以满足学生学以致用的学习需求，提升其解题能力.

（四）总结环节数形双用，巩固学习成果

总结环节是高中数学课堂教学的收尾环节，主要用于汇总课堂教学知识点，夯实学生学习成果.此环节中，若教师直接采取注入式教学手段罗列重要知识点，难免会让学生陷入死记硬背的学习困境，影响其总结质量.为避免出现这一问题，教师可根据数学研究中“数”与“形”的关系指导学生自主归纳.一方面出示图形，要求学生识图列式，说出相关原理；另一方面出示代数式，要求学生绘图解释，联想空间形式.

以湘教版选择性必修第一册“直线与圆、圆与圆的位置关系”一课教学为例.教师可先出示几何图形，提出问题：如图5所示，如何判断这条直线与圆的位置关系？

这样，分别应用图示驱动学生联想直线与圆位置关系中反映的数量关系，应用数量关系驱动学生联想圆与圆的位置关系，使学生在“数”与“形”灵活转化的过程中完成对新课教学内容的内化与吸收，达到巩固其学习成果的教学目的.

结 语

“形”具有直观性，“数”具有精确性，在高中数学课堂教学中结合使用“数”与“形”，有利于学生建构完整的知识体系，提高其认知水平.实际教学中，教师应明确课堂不同环节的主要育人任务，如导入环节应激发学生探究意识，精讲环节应提高其认知水平，练习环节应训练其迁移应用思维，等等.根据不同环节的教学需要灵活使用数形结合思想，确保学生在识图、列式、综合分析的过程中真正掌握数学原理，形成深刻认知.除此之外，教师还应不断在教学过程中汲取经验教训，不断改进教学方法，确保学生在对比图形、分析代数式的过程中扎实掌握数学原理与思想方法，提高其学习有效性.

【参考文献】

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