圆幂定理及其在竞赛中的应用

⦿ 吉林师范大学数学与计算机学院 张战举

我们先从几何角度开始讨论：圆幂定理是相交弦定理、割线定理、切割线定理三者的统称.下面分别证明这三个小定理[1].

1 相交弦定理

如图1所示,设平面内有一圆Γ和一点P,点P位于Γ内,任意两条直线分别交Γ于A,B和C,D两点,则PA·PB=PC·PD.

图1

图2

证明：如图2所示,连接AD,BC.

由同弧所对的圆周角相等,得∠BCD=∠DAB,且∠CBA=∠ADB.所以△CBP∽△ADP.根据相似三角形三边成比例,得PA∶PC=PD∶PB.

因此PA·PB=PC·PD.

2 割线定理

图3

如图3所示,设平面内有一圆Γ和一点P且点P在Γ外,过P的任意两条直线分别交圆于A,B和C,D两点,连接AD,BC,则有PA·PB=PC·PD.

因此PA·PB=PC·PB.

3 切割线定理

图4

如图4,设平面内有一圆心为O的圆Γ和一点P.且点P在Γ外,设任意一条直线过点P且与圆相交于A,B两点,过点P的另一条直线与圆切于点T.连接AT,OT,AO,则PT2=PA·PB.

因此PT2=PA·PB.

4 圆幂的代数意义

上述证明过程也是证明四点共圆很好的方法,这里不展开叙述.接下来从代数的角度讨论,通过代数的计算去感受何为“圆的幂”,注重感受圆幂的代数意义.分别考虑点P在圆外、圆内、圆上三种情况.

4.1 点P在圆外

图5

如图5所示,设在平面直角坐标系中有一圆Γ和一点P,圆心为O(a,b),半径为r.点P(x0,y0)在圆外,过点P的任意两条直线与Γ相交于点A,B和E,F.过P和圆心O的直线与Γ交于点C和D.设Γ的一条切线过点P切圆于点T,则PA·PB=PE·PF=PT2=PC·PD.

因为PC=OP-r,PD=OP+r,所以PA·PB=PE·PF=PT2=OP2-r2.由勾股定理,得PT2=OP2-r2.由于圆的标准方程为(x-a)2+(y+b)2-r2=0,由两点间的距离公式,可得OP2=(x0-a)2+(y0-b)2,所以点P对圆的幂(x0-a)2+(y0-b)2-r2=OP2-r2.因为OP>r,所以OP2-r2>0[2].

4.2 点P在圆上

显然对于圆Γ(O,r)上的任意点对该圆的幂为0.

4.3 点P在圆内

如果点P在圆内,是否和点P在圆外的情况类似呢?我们接下来讨论点P在圆内的情况.

图6

如图6所示,设在平面直角坐标系中圆Γ的半径为r,圆心为O(a,b),P(x0,y0).任意一条直线过点P(在圆内)交圆于E和F两点,过点P和圆心O的直线交Γ于C和D两点.设过点P且垂直于直径CD的极小弦与Γ交于A和B两点.

可以发现PC·PD=PE·PF=PA·PB.由PA=PB,得PA·PB=PB2=OB2-OP2=r2-OP2.而由两点间的距离公式,可得到点P对圆的幂(x0-a)2+(y0-b)2-r2=OP2-r2.因为OP

这样就得到了圆的幂的代数意义：对于所有过点P和圆心O的直线与圆交于A,B两点,OP2-r2均为定值,此定值反映了点对圆的性质,我们把此定值称为点P对圆的幂.当P在圆外时,P对圆的幂大于0;而P在圆内时,P对圆的幂小于0,且PA·PB=|OP2-r2|;当点P在圆上时,点P对圆的幂等于0.

5 圆幂定理在竞赛题中的应用

以上是从几何和代数的角度分别对圆幂定理的讨论,下面我们通过一个奥林匹克竞赛中的问题趁热打铁,感受圆幂定理在几何证明与代数运算之间的联系.

这是一道2011年国际奥林匹克数学竞赛的预选题：

证明：设点M是对角线A1A3和A2A4的交点.设x,y,z和w分别是由点M到A1,A2,A3,A4的长度.设B1是A1A3与圆ω1的另一个交点,类似地定义B2,B3和B4.

证明完毕.

需要注意的是,当涉及很多圆幂的计算时,点的位置不同对应的情况也不同,在处理符号问题时一定要细心[4].