小学数学算理与算法深度融合教学的实践与思考

李秀文

摘要：当前，小学数学计算教学中存在缺乏对算理与算法融合的教学行为与意识。通过基于算理与算法深度融合的教学实践，立足多元表征、数形结合、自主探究等方式，能够有效引导学生理解算理、掌握算法，促进算理与算法的深度融合，使学生形成良好的数学运算素养。

关键词：算理；算法；深度融合；数学运算；小学数学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，指向能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题；能够通过运算促进数学推理能力的提升。在“数与运算”部分主要强调数是对数量的抽象，学生要经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。

运算能力是构成小学生数学素养的重要内容，也是小学生理解和应用数学知识不可或缺的能力之一。而在实際教学中，很多教师忽略了算理与算法的融合，运用大量简单重复的机械式训练进行教学，采取“题海战术”。大量计算训练确实是巩固算法的重要途径和方法，但过多的机械、简单、重复的训练会使学生对数学学习产生抵触情绪。小学数学运算能力的核心所在是在理解算理的基础上合理运用算法，对计算进行简洁、快速、准确地展开。也就是说，算理指向了“为什么这样算”，体现了学生对运算的意义、法则与性质的深度理解，以及对数学计算做出的科学化与合理化的思考、判断与执行；算法是基于算理基础上的手段，体现的是工具意义。运算能力的核心成分是在理解算理的基础上寻求合理简洁的途径解决问题。这里所说的算理，具体地说就是基于运算意义、运算律、运算性质以及运算自身特点进行判断、推理和选择的思考过程。

小学生数学计算能力的培养与发展，关键在于理解算理，基于运算特征科学、合理、灵活地选择具体的算法。那么，如何避免教学中的“题海战术”，用符合学生认知的手段，尊重学生身心健康发展的科学态度，帮助学生理解算理、学会算法，体会两者之间的深度融合，理性领悟两者之间的内在联系。小学数学课堂又应该如何高效地开展基于算理与算法深度融合的教学？基于对计算教学策略在小学实践研究的感悟，笔者特整理成文，与同行分享，望激起更多思考。

1   算法与算理的辩证关系

研究数学运算中的算法与算理，有必要明确两者的辩证关系。通俗地讲，算理是指计算的理论依据，就是计算的道理。算理一般由数学概念、定律、性质等构成，用其说明计算过程的合理性和科学性。算理通常用来解决“为什么”的问题；算法就是计算的基本程序或者方法，是算理指导下的一些人为规定，用来说明计算过程中的规则和逻辑顺序。从存在性讲，算理是客观的，是客观世界的必然属性，不以人的意志而转移；算法是主观的，是人们在使用与学习数学过程中人为抽象创造的。从与数学运算的关系看，算理是数学运算的根据，是“根本准则”；算法则是数学运算的基础，算法是一种运算“程序”， 也可以理解为运算步骤、操作方法等。从两者互为依存的关系看，算理为数学运算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和可行性；而算法是算理的载体，为数学运算提供了外显的作用与展示。从数学运算的过程与意义看，两者互相依存，缺一不可，算理与算法不能独立产生促使素养有效提升的根本作用。

数学运算一直推动着数学的发展，也是新课标所强调的基本素养之一。学生学习数学、使用数学，在数学运算过程中，对算理与算法来说不能“厚此薄彼”，而是应该“深度融合”，这样才能有效地促进数学运算素养的提升与发展。

2   算理与算法深度融合教学的创新实践

2.1多元表征加强算理与算法的和谐统一

借助多元表征能帮助学生深入数学的本质，突出数学计算的一般规律，建立数学的知识结构，加强数学思维横向和纵向的联系。对于从“零起点”的一年级学生来说，100以内的加（减）运算不管是口算还是笔算，都需要经历复杂的步骤，即“拆”“加（减）”“合”；也要经历算理与算法的体会与感悟。从一年级学生的认知能力看，对于蕴含形象思维之外的感知相对比较弱，因此，产生的数学学习感悟与思维构建往往是短时的，容易退化和消散的。那么，对于口算，如何有效引进形象思维开展教学，在算理与算法相融互通方面就比较考验教师的教学智慧。

列竖式计算教学中，如果只注意“数位对齐”，且在加法运算时只关注个位满10进1，减法运算时，只关注“不够减则从十位借1，并在个位加10再减”，这种教学方法忽视了算理与算法的相融互通，容易使教师落入违反学生认知规律的“简单算法”教学束缚中。学生对“规则”的单一表征容易产生疑惑、遗忘和错误理解，对法则的掌握与应用更容易形成障碍。此时，教师应该通过多元表征，增加形象思维环境创设，引导学生先理解感悟算理，再提炼算法。用多管齐下、多维验证的方式，让学生从动作表征、语义表征与符号表征中体会算理，且能在演算过程中感悟算法，并熟练掌握算法。以人教版一年级下册“100以内的加法与减法”教学为例，其中，动作表征可以通过使用多种学具，如计数工具算数棒、玩具算盘、幼儿计算器等，让学生在动作中体会数的加减过程及计算蕴含的形态特征。语义表征则可以在学生探索的过程中，通过问题引导学生思考，如提出“这样计算的依据是什么？”“个位的数不够减，怎么办？”“从十位上借了1，实际上是借到了几个1？”等，促使学生展开深入思考，感悟计算的步骤、程序和方法，形成算理，使计算印象更为深刻，促使学生深入思考，并运用语言描述计算原理。符号表征则引导学生通过纸和笔画各种圆圈、方块等形状图形进行计算演示，用分解式表示分的过程，开展竖式和横式的计算书写，培养学生的初步抽象思维与概括能力。

多元表征的介入能够推动学生在演算过程中经历多维度的观察、探索、感悟与思考，让学生从具象特征走向抽象思维，融合学具、动作、语言、竖式等形态，经历“循理悟法”达成“理”“法”的和谐统一。

2.2数形结合促进算理与算法的融合

数形结合能帮助学生将抽象的概念转化为具体的学习内容，从而形成数学计算的思维能力，最终提升学生的数学计算能力。图形的形象化表达有助于小学生在学习数学的过程中形成形象思维，促进学生感悟算理与算法。因此，通过数形结合的方式构建感悟算理与算法学习的场域，有助于学生更好地学习数学运算，提升数学运算能力。

以人教版小学数学五年级上册“小数乘整数”的教学为例，若直接给出情境与问题“每个风筝9.5元，买3个风筝需要付多少钱”，此时小红的思路为“9.5元+9.5元+9.5元=28.5元”，小亮的思路为“9.5元=9元5角，9元×3=27元，5角×3=15角，27元+15角=28.5元”，這种缺乏前置算理与算法的铺垫而提出的数学计算问题，容易造成学生的思维障碍。因此，在教学中，教师应该从学生视角出发，设计前后连贯、思维延续的问题，遵循学生认知“最近发展区”，为问题情境的解决做好合理铺垫。具体来说，可以通过数形结合的形式，把计算对象适当“降维”。例如，可以先进行算法探索，感悟算理。教师提出问题：你能计算0.2×3吗？学生可能会把乘法转化为相同加数的加法运算，即0.2+0.2+0.2；也可能会思考把0.2×3先转化为2×3，再思考小数点的处理（应该会出现思维障碍，不会成功）；也会有学生采用作图的形式，通过图像辅助思考。教学中，教师发现学生一般会采用两种作图方法，即方格图与条形图。教师可适时对学生作图进行展示，并通过追问“请说明你画的图形中每1份表示多少？”“你画的图形想表达什么意思？”“在你的图形中，0.2×3表示什么？”“从你的图形中怎么体会0.2×3被转化为3个0.2相加？”等。学生结合图形对计算过程进行思考与表达，引导全体学生遵循两位学生的思维展开思路演示，并进行深入思考。这样的教学过程能有效地利用“数形结合”的方式，使学生的观察更加立体、思考更加全面，更容易理解乘法转化为加法的算理，成功为后续总结与归纳算法奠定理性的思维。

3   思考

算法具有程序自动化的特征，学生就算没能感悟算理，依然可以通过大量机械式训练达成对算法的熟练掌握，这也是很多教师在小学数学教学过程中开展“题海战术”的原因。而这样无视算理、算理与“理”“法”融合的教学在本质上忽视了算法与算理的内在本质联系，与数学学习必然规律背道而驰。事实上，算理与算法相融既要和谐统一，又要有所侧重：对算理，要让学生“知其然，又知其所以然”，避免机械式运用计算程序，停留于形式化的计算；理解算理之后的算法应用，则不能过多纠结于算理时时刻刻的“解释”，而应该在算理、算法与运算技巧中，让算理“隐于市”，让算法“用于巧”，让计算技巧“展于形”。

随着新课标的实施，新课程概念持续有效地推进，基于深度学习的理性教学与素养导向逐渐受到重视，立足算理与算法融合的小学数学运算教学也需要不断地进行实践与发展。文章基于本课题开展了相关研究工作，认为在小学数学运算教学中，教师应该关注多元表征，加强算理与算法的和谐统一，促进算理与算法的和谐共生、自主探究，推动算理与算法的融合，同时还需要创新科学、合理、符合学生认知与思维特征的教学方式，促进算理与算法相融相通，有效促进学生在理解算理的基础上，让算法与算理达成自然交融，形成良好的数学运算素养。

参考文献：

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基金项目：

此文章是2022年度广州市教育科学规划课题萌芽课题《“六融合”计算教学策略在农村小学的实践与研究》（课题编号202214179）的阶段成果。