激活深度思维，提升学习能力

黄建松

［摘  要］ 初三复习课教学是针对数学知识点、解题方法进行的总结和系统性的归纳，在复习课教学中教师要立足于学生的实际，以提升学生的学习能力和锻炼学生的思维能力为目标，通过有效的教学活动鼓励学生积极思考、深度学习，有效激活思维. 教师可以从建构知识体系出发，以数学模型引导学生探究数学本质，通过变式练习促进学生提升知识迁移能力，进而全面提升学生的学习能力.

［关键词］ 深度学习；学习能力；复习课；数学思想

复习课教学是在学生已经学完新知的基础上进行的系统提炼和总结，其主要目的在于帮助学生巩固知识体系、训练思维能力、深化知识理解. 常规复习课教学往往容易陷入知识重学、试题重做的误区，忽视了学生思维的深度参与. 在复习课教学中，教师应着力帮助学生建构知识体系，完善知识结构，引导学生从具体问题中建构数学模型，激活深度思维，使学生通过复习课教学掌握数学方法和数学思想. 本文从常規复习课的解构出发，以重构复习课教学提升学习能力为目标，探讨复习课的教学策略.

分析评价：常规复习课解构

1. 先梳理基础知识，再练习讲评

常规复习课一般由教师带领学生先进行知识点的梳理和罗列，采用教师提问、学生回答、学生补充、教师总结的方式.

案例1  复习“平行四边形”教学片段.

环节一：梳理知识

师：请同学们说出平行四边形的概念、性质，并回忆平行四边形的判定方法.

学生回顾和梳理了平行四边形的概念、性质及判定方法，教师在此基础上补充了平行四边形具有的对称性特点.

环节二：练习讲评（略）

分析评价  通过一节课的复习，学生能够巩固所学知识，并将知识应用到具体的问题中，实现融会贯通，提升学习能力.

2. 先练习讲评，再梳理基础知识

教师在复习课之前布置适当的练习题，学生完成后由教师批改. 对错误率高的试题，师生共同讲评. 教师还会汇总学生的共性错误，找出错误原因，在课堂上进行有针对性的讲解. 在讲评完学生的练习后，教师再梳理和复习知识.

案例2  复习“正方形”教学片段.

环节一：课堂交流

师：请同学们将课前的预习单拿出来，观察自己出现的问题，互相交流讨论当时的想法，然后我们一起总结在解决这些问题时需要用到哪些知识和方法.

学生进行交流讨论，开展学习活动.

……

环节二：分析错例

学生交流讨论之后，师生围绕错误率较高的两道题进行了进一步的研讨和交流.

错例1  如图1，四边形ABCD中，AB和BC相等，∠ABC和∠CDA都是直角，BE和AD垂直，垂足为点E，并且四边形ABCD的面积为8，求BE的长度.

环节三：梳理基础知识

依据习题中所用到的知识进行总结和梳理，进一步巩固正方形的定义、性质和判定定理等相关知识，教师对正方形对称性的知识以及计算面积的不同方法进行了补充和归纳，同时突出正方形对角线的性质.

分析评价  常规复习课中无论是先复习基础知识再讲评试题，还是先分析错例再复习基础知识，学生都是被教师牵着走的，思维活动局限在教师的预设当中，学生的思维没有被真正激活，仅仅通过认识、记忆等低层次的思维活动开展学习. 在复习课的教学中，教师要以学生为中心，给学生充分讨论交流、自主展示的时间，帮助学生总结提炼解题方法，建构知识体系，提升学习能力，使复习课教学发挥应有的价值.

提高学力：创新复习课设计

1. 以小题引入，构建知识体系

复习课教学要通过问题的分析和思考唤起学生的知识记忆，激发学生的想象，激活学生思维，深化知识建构.

情境引入：呈现案例2中的错例1，求四边形ABCD中BE的长度.

学生首先会想到将BE放到Rt△ABE中，求出AE和AB的长度，但是题干中的条件无法得出. 于是学生转换思考角度，连接BD，形成Rt△BDE，在此直角三角形中求BE的长度. 针对这一问题，学生能够想到两种处理方式.

方式1：将△BCD进行旋转，使BC与BA重合，从而得到等腰直角三角形，BE成为三角形斜边上的高，从而进行求解.

方式2：旋转Rt△ABE，使BA与BC重合，这样可以得到一个正方形，BE即为正方形的边. 根据题干中四边形的面积为8进行求解.

通过小题的引入唤起学生的知识记忆，方式1运用了已经复习的等腰三角形知识；方式2则引发学生回忆正方形的相关知识，完美契合主题，激发了学生学习的兴趣，使学生主动形成知识结构.

2. 以模型切入，完善方法结构

学生往往在遇到情境创新、设问新颖的问题时便束手无策，一筹莫展，究其原因在于知识储备不够完整，知识运用不够灵活，模型积累不够丰富，解题切入角度不够精准恰当. 复习课教学可以数学模型切入，增强学生的直观想象能力，缩短学生思维的路程，培养学生数学模块化学习的习惯，同时对模型进行变式和拓展，加强知识之间的联系，助力学生感悟数学模型的本质和作用，进一步完善解题方法的结构，促使学生的思维向深度和广度发展.

案例3  “一线三等角”的教学片段.

（1）导入例题分析

上课伊始，教师要求学生首先完成学案练习例题的定性分析.

思考之后，生1分享了如下思路：

本题要求出两条线段的长度比，可以通过分别求出两条线段的长度来求得比值或转化为两个相似三角形对应边的比，根据题意求出两条线段的长度难度较大，所以我觉得用相似三角形进行求解比较容易. 经过观察可以发现△BDM与△CDN相似，由此将AM与AN的比转化为两个三角形的周长比，可以得到答案为7 ∶ 8.

师：生1给出了非常好的解题思路，通过解决本题你们有什么感想和收获呢？

生2：通过刚才的证明，我们可以提炼出“一线三等角”的基本图形.

（2）变式练习迁移

学生掌握了基本图形之后，进行变式练习：

如图4，在矩形ABCD中，AD上有一点P，AB和AP的长度分别为2和1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的直角边分别与AB和BC的边相交于点E和点F，连接EF.

①如图4，当点E和点B相重合时，点F也恰好与点C重合，求PC的长度.

②将三角板从①中的位置开始，绕点P进行顺时针旋转，直到点E和点A重合时停止，请问∠PEF的大小会变化吗？请说明相应的理由.

本环节在学生掌握了基本的“一线三等角”的图形之后进行变式练习，通过图形的重构、旋转等方式引导学生能够从变化的图形中抽象出基础图形，从而进行正确的解答. 变式练习进一步帮助学生理解了知识本质，培养了数学思维.

案例4  建构图形的数学模型.

（1）展示基本图形

如图5，在△ABC中，AB和AC上分别有一点D和点E，DE与BC平行，假设AD和DB的长度分别是2和3，求DE与BC和AE与AC的比值.

本题通过△ADE和△ABC为相似三角形，可以得到DE与BC和AE与AC的比值都等于AD与AB的比值，从而得到结论. 由此，学生在这样的数学图形中初步建立起数学模型，得到DE与BC和AE与AC以及AD与AB的比值相等的结论.

设计意图  本环节引导学生回顾相似三角形的基本图形，从而得到基本的数学结论，由此切入数学模型的学习和探究之中. 通过基本图形的切入，大多数学生都能主动参与到课堂学习活动中，活跃了课堂氛围，为接下来的深度探究奠定基础.

（2）探究基本图形

如图6，在△ABC中，AB和AC上分别有一点D和点E，DE与BC平行，DE上有一点P，连接AP并延长与BC相交于点Q.

思考1  當DP与BQ的比值为0.4时，求PE与QC的比值是多少？

思考2  当点P为DE的中点时，请写出BQ与QC的数量关系，并说明理由.

设计意图  本环节将基础的图形进行了适度的推广和变化，通过基础图形的研究方法探究复杂图形，从而得出两个重要的结论，第一是DP与BQ的比值与PE和QC的比值相等；第二是当点P为DE的中点时，则BQ与QC相等. 通过探究复杂图形进一步剥离出简单图形的数学模型，能够提高学生建构数学模型的能力，为进行知识的迁移做好准备.

（3）运用图形性质

如图7，DE与BC平行，将AQ进行延长，在延长线上取一点F，将DF，EF连接交BC于点M和点N，其中QM，BM，NC的长度分别为1、3和4，则QN的值是多少？

通过观察图形学生可以发现两个与图6相似的基础图形，根据数学

本环节在对基本图形探究的基础上进行了抽象的分析和拓展，通过数学模型在具体问题中的应用，使学生能够更好地理解数学模型，熟练地应用数学知识，从而实现深度学习、活化思维的目标. 这既是对学生解题方法的一次结构完善，也是对学生知识掌握情况的一次检查，有利于学生进一步深化对知识的理解，完善知识结构，掌握解题规律.

3. 拓展延伸，深化知识应用

课堂教学不应局限于教材以及课堂的研讨，要将课堂学习延续到课外，将所学知识与学生的生活实际相结合，密切与现实的关系，深化知识应用.

案例5  “一线三等角”的课后延伸拓展

在平面直角坐标系中，直线l分别与x轴和y轴相交于点A和点B，直线的解析式为y=-2x+4，将△OAB沿着直线l1进行翻折.

（1）求点O的对称点P的坐标；

（2）直线l2过点P， 并且与直线l1形成的夹角为45°，求直线l1和直线l2交点的坐标.

（3）铺设热点问题，促进深度学习.

本环节是在案例3探究数学模型的基础上进行适当的拓展，引入热点问题调动学生的积极性，促进学生将掌握的数学模型进行应用，提高实践能力，同时激发学习兴趣.

增进实效：复习课教学反思

复习课教学要以主题进行知识串联，引导学生在解决核心问题的过程中建构知识和方法体系，掌握数学的本质和规律. 复习课教学是基于知识梳理基础上进行的方法技能、思想感悟的升华和提升，因此，复习课教学可以通过典型的问题和基本的图形展开，深入挖掘问题背后的知识联系，掌握解决问题的规律，理解基本图形的根本作用，建构数学模型，学会灵活运用数学知识解题.

1. 精准复习，实现高效课堂. 教师要真正基于学生的认知水平开展精准复习，做到学生已经学会的、能够通过自学学会的、超过学生能力水平的知识不讲，而重点关注学生的易错点、易混淆点以及重难点知识，让学生真正学有所获，形成良好的学习习惯. 通过复习课教学使学生能够弥补知识薄弱点，消除知识盲点，获得学习能力的提升，从而真正激发学生的学习兴趣，使学生享受数学学习，实现高效课堂.

2. 问题引导，提升解题技能. 在复习课教学中，教师要启发学生探索解题思路，让学生找到解题的方法，感悟解题的规律和本质，增长学习智慧. “不愤不启，不悱不发”，教师要通过问题设计引导学生进行深度思考，激活学生思维，聚焦学生学习能力的提升，使学生在复习课中真正实现知识建构、思维提升、模型建立.

3. 落实主体，实现全面发展. 学生是学习的主体，在复习课教学中教师同样要以学生为中心，围绕课程标准和学生的认知规律，制定复习目标，确定复习主线，精心设计问题，深入挖掘知识之间的逻辑联系，实现做一题，会一类，学一法，通一片，提高学生的学习效率. 在教学中教师要尊重学生的差异性，关注不同层次的学生，全方位地倾听每一位学生的想法和需求，使课堂学习与每一位学生紧密相连，营造开放和谐、平等民主的课堂氛围，实现师生、生生的对话和交流，为学生的深度学习奠定基础，使课堂学习有效、有趣，建设师生一体的学习共同体.

总之，复习课教学应指向学生学习能力的提升，落实学生的主体地位，从学生的认知水平出发进行教学，引导学生开展深度学习，实现学习效果的有效提升，培养学生的核心素养.