由2023年辽宁高考压轴题谈“定值摩擦力下简谐运动的对称性”

施 坚

(江苏省梁丰高级中学,江苏张家港 215600)

2023年辽宁高考物理压轴题是一个“板块和弹簧”问题.无论是板块问题,还是弹簧问题,都是高中物理的重点和难点,可以考查的知识点众多.事实上,该题融合了牛顿运动定律、动量守恒定律、动量定理、功能关系等规律的运用,尤其是第(3)问还可以利用“定值摩擦力下简谐运动的对称性”来求解.下面,不妨先呈现一下试题和解析.

例1.(2023年辽宁高考第15题)如图1所示,质量m1=1 kg的木板静止在光滑水平地面上,右侧的竖直墙面固定一劲度系数k=20 N/m的轻弹簧,弹簧处于自然状态.质量m2=4 kg的小物块以水平向右的速度v0=5/4 m/s滑上木板左端,两者共速时木板恰好与弹簧接触.木板足够长,物块与木板间的动摩擦因数μ=0.1,最大静摩擦力等于滑动摩擦力.弹簧始终处在弹性限度内,弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为Ep=,取重力加速度g=10 m/s2,结果可用根式表示.

图1

(1)求木板刚接触弹簧时速度v的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x1;

(2)求木板与弹簧接触以后,物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x2及此时木板速度v2的大小;

(3)已知木板向右运动的速度从v2减小到0所用时间为t0.求木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同的过程中,系统因摩擦转化的内能ΔU(用t表示).

解析:(1)由于地面光滑,则m1、m2组成的系统动量守恒,则有

m2v0=(m1+m2)v1.

代入数据有

v1=1 m/s.

对m1受力分析有

则木板运动前右端距弹簧左端的距离有

v12=2a1x1.

代入数据解得

x1=0.125 m.

(2)木板与弹簧接触以后,对m1、m2组成的系统有

kx=(m1+m2)a共.

对m2有

当a共=a2时,物块与木板之间即将相对滑动,解得此时的弹簧压缩量

x2=0.25 m.

对m1、m2组成的系统,列动能定理有

代入数据有

(3)方法1.由于惯性木板继续向右运动,继续压缩弹簧,木板减速的加速度值增大,小物块做匀减速运动.木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同的过程中,木板m1的加速度一直大于木块m2的加速度,则当木板与木块的加速度相同时即弹簧形变量为x2时,说明此时木板m1的速度大小也是为v2,共用时2t0,且小物块m2一直受滑动摩擦力作用.对m2有

-μm2g·2t0=m2v3-m2v2.

解得

则对于m1、m2组成的系统有

联立有

方法2.如图2所示,已知木板向右运动的速度从v2减小到0所用时间为t0,此时弹簧的最大压缩量最大,设为x3,此时小物块继续向右做减速运动.此后木板由速度为0开始向左运动,木板受的滑动摩擦力不变,而弹簧的弹力逐渐减小.小物块运动有两种可能性:或一直向左匀减速直线运动;或在其中某个时候减为0后开始向左做匀加速直线运动.两种情况下小物块所受摩擦力一直是滑动摩擦力且始终为水平向左的恒力fm=μm2g.

图2

当弹簧的压缩量由x3恢复到x2时,木板与小物块加速度相同,而在上述过程中木板上表面受到的滑动摩擦力方向始终向右,大小不变,即木板是在恒力作用下的弹簧振子做简谐运动,因此弹簧的压缩量由x2到x3和由x3恢复到x2时间相等,都是t0.由简谐运动的对称性可知,木板两次经过弹簧压缩量为x2位置时木板速度值大小相等方向相反,两次经过这一位置时弹簧的弹性势能相等、木板的动能相等.这一过程小物块一直做加速度不变的匀变速运动.设弹簧压缩量再次为x2时小物块的速度为v3,可得

对小物块,根据动能定理可得

这一过程系统减少的能量等于

点评:本题的第(1)问比较常规,光滑水平面上的板块相对滑动后获得共同速度,典型的动量守恒和牛顿运动定律问题.第(2)问围绕相对滑动的临界加速度分析、板块整体与弹簧间的功能转化问题展开.第(3)问方法1需要挖掘出隐含条件:木板和小物块两者加速度再次相等前总是a板＞a块=μg,即当再次a板=a块=μg符合题意,此时弹簧形变量再次变为x2,小物块m1的速度大小再次变为v2(但方向相反),共用时一定为t0+t0=2t0,继而运用动量定理和功能关系容易得解.方法2利用了恒力作用下的弹簧振子做简谐运动,木板所受的小物块施加的恒定的滑动摩擦力类似于竖直方向弹簧振子所受的重力,可以利用简谐运动的对称性获知两者加速度再次相等时“木板速度值大小相等方向相反,两次经过这一位置时弹簧的弹性势能相等、木板的动能相等”,继而结合运动学和功能关系得解.

事实上,2022年江苏高考选择题第10题如果用常规的牛顿运动定律、能量守恒定律来求解耗时较长,过程也比较复杂,但若建立起简谐运动模型,解答过程明显简洁.

例2.(2022年江苏高考第10题)如图3所示,轻质弹簧一端固定,另一端与物块A连接在一起,处于压缩状态,A由静止释放后沿斜面向上运动到最大位移时,立即将物块B轻放在A右侧,A、B由静止开始一起沿斜面向下运动,下滑过程中A、B始终不分离,当A回到初始位置时速度为0,A、B与斜面间的动摩擦因数相同、弹簧未超过弹性限度,则

图3

(A)当上滑到最大位移的一半时,A的加速度方向沿斜面向下.

(B)A上滑时,弹簧的弹力方向不发生变化.

(C)下滑时,B对A的压力先减小后增大.

(D)整个过程中A、B克服摩擦力所做的总功大于B的重力势能减小量.

解析:建立起简谐运动模型,A上滑过程中,A的加速度先沿斜面向上逐渐减小后,沿斜面向下逐渐增大.当A上滑到最大位移的一半时,即是平衡位置处加速度为0,(A)错误.A、B一起下滑时,仍做简谐运动,B在平衡位置上方且向平衡位置运动时加速度减小,而加速度是由B的重力沿斜面向下的分力、A对B向上的弹力以及所受斜面的摩擦力的合力提供,加速度减小,势必A对B向上的弹力增大,而在平衡位置下方远离平衡位置运动,加速度增大,而加速度是由A对B向上的弹力、斜面的摩擦力和与B的重力沿斜面向下分力的合力提供,加速度增大,势必A对B向上的弹力增大.根据牛顿第三定律可知,下滑时B对A的压力一直增大,(C)错误.A上滑时,弹簧的弹力方向若发生变化,则在最高点和最低点时弹簧弹力一定反向,且在最高点弹力沿斜面向下,那么刚下滑时即使A、B之间没有相互的弹力,A受到重力沿斜面向下的分力、沿斜面向上的摩擦力和沿斜面向下的弹簧弹力,两者加速度一定有aA＞aB,下滑过程中A、B一定分离,矛盾,因此A上滑到最高点时弹簧一定不会处于拉伸状态,即弹簧的弹力方向不发生变化,(B)正确.由于A回到初始位置,整个过程中弹力做功为0,A重力做功为0,当A回到初始位置时速度为0,根据系统功能关系可知整个过程中A、B克服摩擦力做总功等于B的重力势能减小量,选项(D)错误.

可见,两道高考题乍看很不一样,但细细品味考查的知识点和规律竟然如此相近,而且都可以利用恒定摩擦力作用下的简谐运动来快速解答,但也有区别.2023年辽宁高考压轴题木板所做简谐运动是在木块施加的恒定摩擦力时,而2022年江苏高考题A或AB整体所做的简谐运动其实是受到变向的摩擦力,仅从A来看则是在定值变向的摩擦力下,所以A完成的不是真正意义上的简谐运动,但之所以能够完成振幅不变的简谐运动全程,是因为B给了A一个向下的驱动力补充了能量.

那么,定值变向摩擦力下的简谐运动如果加以深入研究又会有怎样的结论?对称性能否使用,对解决一些复杂的往复运动有没有什么优势呢?下面,不妨以2023年苏州市高考零模第10题为例做深入探讨.

例3.(2023年苏州零模卷第10题)如图4所示,水平桌面上的轻质弹簧一端固定,另一端与小物块相连,弹簧处于自然长度时物块位于O点(图中未标出).物块质量m=1 kg,弹簧劲度系数k=100 N/m,物块与桌面间的动摩擦因数μ=0.1.现用水平向右的力将物块从O点拉至A点,弹簧伸长量Δx=11 cm,撤去拉力后物块由静止向左运动经O点最远到达B点.重力加速度为g=10 m/s2.下列说法中正确的是

图4

(A)物块在B点所受弹簧弹力与在A点大小相等.

(B)物块运动的总路程为60.5 cm.

(C)物块最终停在O点左侧1 cm内某处.

(D)物块最终停在O点左侧1 cm处.

方法1.A→B过程摩擦力做负功产生热量,EpA＞EpB,因此弹簧弹力FA＞FB,(A)错误.

解得xB=xA-2=9 cm.

同理,当物块再次到达最右端C点时,

解得xC=xB-2=7 cm.

依次类推为一个等差数列:xD=5 cm,xE=3 cm,xF=1 cm(如图5所示),当在F点时刚好达到F=f,处于平衡状态,静止,故选(D).

图5

路程为s=(11+9+9+7+7+5+5+3+3+1)cm=60 cm.故(B)错误.

方法2.取O点为坐标原点,向右为正.

(A)物块运动示意图如图6所示,物块在自右向左运动时,运动形式为半个周期的简谐运动,其平衡位置位于O点右侧的O'点,其位置坐标满足

图6

-kxO'+μmg=0,

可得

xO'=1 cm.

从A点开始向左运动时弹簧伸长量为11 cm.根据简谐运动的对称性可得B点位置为弹簧压缩量为9 cm处.故AB两点弹力大小不等.(A)选项错误.

(B)(C)(D)选项分析:自左向右运动时,运动形式也为半个周期的简谐运动,其平衡位置位于O点左侧的O″点,其位置坐标满足

-kxO″-μmg=0,

可得

xO″=-1 cm.

因为物块停止运动的条件为弹簧弹力小于等于最大静摩擦力,即-kxO'+μmg≤0或-kxO″-μmg≤0时物块在xO″≤1 cm和xO″≥-1 cm停下.

类似上述推导过程,可得物块继续从B点开始向右运动时弹簧伸长量为9 cm,根据简谐运动的对称性可得A'点位置为弹簧压缩量为7 cm处.

依次类推,A'B'=(7+5)cm,B'A″=(5+3)cm,A″O″=(3+1)cm,且xO″=-1 cm.

因此,物块依次经历A→B→A'→B'→A″→O″的运动,最终停于O″点.总路程为

s=AB+BA'+A'B'+B'A″+A″O″=60 cm.

(D)正确,(B)(C)错误.故选(D).

点评:简谐运动具有对称性,本题虽属于阻尼情形,但阻尼为定值摩擦阻力,其实仍具有对称性,只是不是关于弹簧原长位置处对称,而是关于弹簧弹力与摩擦力相等的位置对称,而且向左运动和向右运动两种情况的对称点O1、O2关于O又对称(如图7所示).这也导致每半个周期振子的振幅会衰减2 cm或弹簧的形变量(拉伸量或压缩量)依次交替减小2 cm,当然使用归纳法也能找出这一一般规律.

图7

需要特别指出的是,本题有一个思维陷阱,学生可能会不假思索地认为振子最终会停在xO'=1 cm或xO″=-1 cm处,实际上那仅仅是数据设计中的一个巧合.如果改变初位置,小物块在-1 cm＜x＜1 cm也完全可以停下,例如条件改为“将物块从O点拉至A点,弹簧伸长量Δx=10.5 cm”,那么振幅或弹簧的形变量(拉伸量或压缩量)依次交替减小2 cm,最终停在O点左侧-0.5 cm处.

那么,在“定值摩擦力作用下的弹簧振子仍具有对称性”如何证明?

证明1:OA为第一次距离O的最远处,记为A0,此后每半周期到达距离O最远处1次,每次到达距O点最远距离依次记为A1,A2,A3…An.任取小物块从A释放后i个半周期,由功能关系可得

整理可得

ΔA=Ai-1+Ai=,其中k为弹簧的劲度系数.

可见,小物体振幅每半个周期衰减2μmg/k,是一个常量.

虽然,上述证明是基于水平方向定值摩擦力作用下弹簧振子模型,事实上在竖直方向或斜面上的定值摩擦力作用下弹簧振子模型也是成立的,这里就不再赘述.那么,如果要画出振动过程中的位移与时间的xt图像又是如何呢?

首先,虽然,定值摩擦力作用下弹簧振子的能量不断减小,振幅不断按等差数列减小,但振动周期与振幅无关,仍为,因此,x-t图像仍是正弦(或余弦),只是不断比例缩小,具体情形如图8所示.

图8 振动的x-t图像