对2023年高考物理全国甲卷第20题的深度剖析

杨培军 王伟民

(1.安徽省阜阳市教育科学研究所,安徽阜阳 236031;2.安徽省太和县宫集镇中心学校,安徽阜阳 236652)

1 原题呈现

例1.(2023年高考物理全国甲卷第20题)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场,筒上P点开有一个小孔,过P的横截面是以O为圆心的圆,如图1所示.一带电粒子从P点沿PO射入,然后与筒壁发生碰撞.假设粒子在每次碰撞前、后瞬间,速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变,沿法向方向的分量大小不变、方向相反;电荷量不变.不计重力.下列说法正确的是

图1

(A)粒子的运动轨迹可能通过圆心O.

(B)最少经过2次碰撞,粒子就可能从小孔射出.

(C)射入小孔时粒子的速度越大,在圆内运动时间越短.

(D)每次碰撞后瞬间,粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线.

2 题目剖析

本题是一道综合性很强的题目,知识层面重点考查学生对洛伦兹力公式、圆周运动的向心力公式等内容的掌握情况,能力层面考查学生是否具备推测、设想、周密论证的能力及综合运用数学知识解决相关物理问题的能力.[1]

由题目条件可知,带电粒子进入磁场后由于受洛伦兹力的作用,会在匀强磁场中作匀速圆周运动.因为带电粒子每次与筒壁碰撞之后,粒子运动速度的大小不变,而粒子在碰撞前后瞬间的速度与过碰撞点半径的夹角相等(这一碰撞规律类似于光在反射现象中角度的变化规律),所以,在圆形有界磁场范围内,带电粒子的运动轨迹是一系列连续排列的相等的圆弧.因为粒子是沿对着圆心的方向由P点进入圆形磁场的,所以,带电粒子在磁场中运行轨迹的第一段圆弧所在圆,是与直线PO相切于P点的圆,如图2所示(我们以带电粒子带负电情形进行的研究,带电粒子带正电时粒子的运动规律不变),设带电粒子的质量为m,电荷量为q,磁感应强度为B,当粒子以速度v进入磁场后轨迹圆的半径为R,则有

图2

由该公式可知,当带电粒子的质量、电荷量、磁场的磁感应强度一定的情况下,粒子轨迹圆的半径正比于它进入磁场时的初速度.所以,同一个带电粒子先后以不同初速度由P点进入磁场,如果它的初速度是连续递增的,那么,它进入磁场后轨迹圆的半径也将是连续递增的.图2绘出的3条轨迹圆的圆弧,指的就是同一个带负电的粒子,先后以不同速度进入磁场后的运动轨迹.这些半径不等的轨迹圆的圆心都在过点P与直线PO垂直的直线上.由图2可知,轨迹圆的半径增加时,它与磁场边界的交点逐渐地向右移动,但是,无论轨迹圆的半径有多大,轨迹圆与磁场边界圆的交点都不可能到Q点,所以,粒子在磁场中运行的第1段圆弧一定不过O点.带电粒子的运动轨迹以后的相邻各段圆弧都是相等的圆弧,可视为第1段圆弧绕O点按逆时针旋转一定角度得到的,所以,以后各圆弧轨迹也不可能过O点,因此,选项(A)错误.

因为轨迹圆的第1段圆弧与磁场边界的交点,一定在磁场边界圆弧下面的半圆弧上(指负电粒子,不含P、Q两点),而且可以是半圆弧上除了两个端点P、Q之外的任意一点,所以,如果粒子进入磁场的初速度大小合适,可以使得轨迹圆弧与磁场边界的第一个交点在磁场边界上截得的圆弧(劣弧)恰为磁场边界圆周长的1/3.在此情况下,带电粒子进入磁场将与磁场边界碰撞2次,沿3段相等的圆弧运动之后恰好从P点射出,选项(B)正确.

选项(C)对应的物理情景比较复杂,为了分析得更为透彻,后面作为一个独立的问题单独详细讨论,先分析选项(D)是否正确.

为便于分析,绘出带电粒子从进入磁场开始,在磁场中与磁场边界连续碰撞而形成一系列圆弧的前面3段圆弧及其所在的圆,如图3所示.这些圆分别是☉O1、☉O2、☉O3,它们与磁场边界的交点分别为P1、P2、P3.因为圆弧PP1与☉O的半径OP相切,而圆弧一定是轴对称图形,对称轴为过圆弧中点的圆弧半径所在的直线,所以,圆弧PP1与☉O的另一条半径OP1一定相切.同理,后续的各段轨迹圆弧都与过各碰撞点的☉O的半径相切.这就是说,每次碰撞前后的瞬间,粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线,选项(D)正确.

图3

3 进入磁场的粒子未必都能够从P点射出

假设☉O的周长为C,带电粒子进入磁场之后与磁场边界连续碰撞,☉O上相邻两个碰撞点之间的弧长为L,因为粒子速度连续变化时,L的大小也是连续变化的,因此,L/C是小于1/2的任意实数,其中v→∞时,L/C→1/2.若L/C是有理数,不妨设为k/n(k/n是一个既约分数),则带电粒子进入磁场,与磁场边界连续碰撞(n-1)次后从P点射出.如果L/C是一个无理数,则带电粒子进入磁场之后,无论与磁场边界碰撞多少次,它都不会从P点射出.因为题目并没有限制带电粒子进入磁场的速度,所以,它可以任意速度进入磁场,因此,L/C既可能是有理数,也可能是无理数,所以,进入磁场的带电粒子最终未必都能够从P点射出.

4 带电粒子在磁场中运行时间长短分析

因为不是所有的带电粒子最终都可以从P点离开磁场,所以,进入磁场之后永远无法离开磁场的带电粒子,也就无所谓运行时间长短的比较了,因此,我们只需分析L/C为有理数时,带电粒子在磁场中运行时间的长短即可.下面以和两种情形分别讨论.[2]

4.1 =的情形

在☉O的圆周上,从P点起按逆时针方向把☉O的周长分成n等份,各分点依次为P1,P2,…Pn-1.如果带电粒子(带负电荷)从P点进入磁场之后,与☉O的圆周发生多次碰撞,第1次只“跨越”一段圆弧而与边界圆的圆周相交于P1,那么,粒子将分别沿着各轨迹圆所在的n条相等的圆弧绕O点运动一圈之后,最终恰好从P点射出,如图4所示(图4中仅画出了第1段轨迹圆弧,即圆弧PMP1).设∠POP1=α,∠PO1P1=β,则,α=所以

图4

设轨迹圆☉O1的半径为R,由可得,因为带电粒子沿轨迹圆运动1周需要的时间为,所以,粒子沿圆弧PMP1运动需要的时间为

因此,带电粒子从由P点进入磁场到最终由P点离开磁场的整个过程中,运行了与圆弧PMP1相等的n段圆弧,运行的总时间为

4.2 =的情形

在☉O的圆周上,从P点起按逆时针方向把☉O的周长分成n等份,各分点依次为P1,P2…Pn-1.如果带电粒子(带负电荷)从P点进入磁场之后,第1次便“跨越”☉O圆周上的k个圆弧,而与☉O的圆周相交于第k个分点Pk点,如图5所示.那么,以后粒子每次都“跨越”☉O圆周上的k个圆弧(k＜n/2).这样,带电粒子将分别沿着各轨迹圆所在的n条相等的圆弧,绕O点运动若干圈之后,最终恰好从P点射出——图5中仅画出了第1段轨迹圆弧,即圆弧PMPk.设∠POPk=α,∠PO1Pk=β,则α=,所以

图5

轨迹圆☉O1的半径为R=,由于带电粒子沿轨迹圆运动1周需要的时间为所以,粒子沿圆弧PMPk运动需要的时间为

因此,带电粒子由P点进入磁场到最终由P点离开磁场的整个过程中,运行了与圆弧PMPk相等的n段圆弧,运行的总时间为

当k=1时,t=,这正是我们在上面情形中分析得出的结果.

以n=13,k=1,2,3,4,5,6的情形为例,绘出了带电粒子从P点进入磁场开始,在圆形磁场内与磁场边界发生多次碰撞,最终由P点离开磁场的整个过程中,粒子运动轨迹示意图分别如图6(a)-(f)所示.为方便作图,粒子的运动轨迹本应为圆弧,这里全部画成直的线段了,这样画图主要是为了寻找粒子运动轨迹的变化规律,线段替代圆弧并不影响我们对问题的分析.

图6

由公式t=可知,n一定时,粒子在磁场中运行的时间,随着运行轨迹中一个圆弧“跨越”的☉O圆周被等分圆弧个数的增加而增大.由图6可以推测,对于n一定,且粒子最终都可以离开磁场的各种情形.k越大,对应粒子的运动速度就越大,所以,n一定时,对于最终可以离开磁场的带电粒子,射入小孔时粒子的速度越大,在圆内运动时间越短”的运动规律也是正确的.

那么,如果综合考虑公式中n和k的变化,对于最终能够离开磁场的带电粒子,上述运动规律是否还正确?

答案是否定的.从公式t=可以看出,对于n=11,k=1,和n=13,k=2,这两种不同的运动情况,带电粒子在磁场中运行的时间却是相同的,都是t=,但是,后者对应的轨迹圆弧在☉O圆周上截得的圆弧较长,其对应的带电粒子进入磁场时的速度较大.所以,“射入小孔时粒子的速度越大,在圆内运动时间越短”的运动规律是错误的.当n、k取不同数值时,我们还可以得出很多类似的反例来进行佐证说明.

上述分析是从定量的视角分类讨论,得出(C)选项的说法是错误的.从定性角度来看,我们只要能够判断粒子运动的轨迹圆弧在磁场边界圆上截得的圆弧长度与边界圆周长之比L/C,可以是小于1/2的任意非负实数,而当L/C是无理数时,带电粒子永远无法离开磁场这一结果,便可以判断“射入小孔时粒子的速度越大,在圆内运动时间越短”的运动规律是错误的.

该题主要考查学生关键能力中的思维认知能力.考查学生是否从多个视角思考同一个问题,思维是否具有发散性,是否分类假设并进行推理论证,主要考查学生的高阶思维能力.[3]

5 对高考题目的变式创新

笔者认为,该题目设置出能够经过深入推理可以判断结果的物理情境.为充分发挥背景材料的应用价值,不妨稍微改动一下题设,创设一道开放性的高考题目变式,以便于培养学生的高阶思维能力.

例2.光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场,筒上P点开有一个小孔,过P的横截面是以O为圆心的圆,如图7所示,P,P1,P2…Pn-1是按逆时针方向排列☉O圆周的n等分点.一带负电粒子从P点沿PO射入,然后与筒壁发生碰撞.假设粒子在每次碰撞前后速度大小不变,只是速度方向发生改变,碰撞前瞬间速度方向与过碰撞点法线的夹角等于碰撞后瞬间速度方向与法线的夹角.已知粒子的荷质比为q/m,磁感应强度为B,☉O的半径为R0.

图7

(1)粒子进入磁场的速度满足什么条件,它在磁场中运动一段时间之后会从P点射出而离开磁场?

(2)若带电粒子进入磁场之后第一次与☉O圆周的碰撞点恰好为Pk点(k＜n/2),试求带电粒子在磁场中运行的时间?

可以发现,跟原来的高考题目相比,该变式给出的背景材料基本没有变化,只是更改了部分题设和要求解的问题,但是,题目难度却增加了很多.

解析:(1)设带电粒子进入磁场后第1次与☉O圆周的碰撞点为A,设轨迹圆的半径为R,∠POA=α,如图8所示.设带电粒子的速度为v时,它在磁场中运动一段时间之后会从P点射出而离开磁场,由题目条件可知R=,所以

图8

(2)由上面的分析可知,带电粒子在磁场中运行的时间为t=(详细的解答过程在上面的分析中已经给出,这里不再重复).

6 结语

2023年高考物理全国甲卷这道选择题目,编者创设了对着圆心方向让带电粒子进入有界圆形磁场后,与磁场边界发生碰撞的物理情境,并精心编制4个很有代表性的选项.对选项(A),根据带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时轨迹圆的位置特征即可定性判断,选项(B)(D)利用与圆有关的几何知识也可判定,(A)(B)(D)3个选项考查学生利用所学知识定性分析问题的能力,体现出高考考查的基础性.而对选项(C),需要对粒子的运动情况进行归纳分类,并分别进行严密的逻辑推理,考查学生定量分析问题的能力,体现出高考考查的综合性和创新性.[3]它能引导高中物理课堂教学加强学生发散性思维能力的培养,指导学生学会推测、分类假设并进行周密论证,进而提升学生的高阶思维能力.[1]