粗糙水平面上弹簧振子运动的研究

王兴堂

(沛县中学 江苏 徐州 221600 )

编者按：本文似可进一步推敲，欢迎读者参与讨论.

1 问题的提出

如图1(a)所示，将一根劲度系数为κ的弹簧与一质量m物块相连，置于粗糙的水平面上.已知物块与水平面的滑动摩擦力为f，弹簧处于原长时，物块位于O点.用力向左缓慢推物块从O点至A点，且使OA=L.之后撤去外力， 物块将在水平面上来回运动.问:

(1)物块在水平面上的振动是简谐振动吗？

(2)物块最终停止的位置在哪里？

(3)物块振动的总时间为多少？

图1 弹簧振子

2 问题的探究

设物块从A处释放后第一次最远能到达B点.物块从A到B的过程中，在水平方向只受到弹簧弹力和不变的滑动摩擦力.把弹力和摩擦力相等的位置O1设为振动的平衡位置，此时弹簧的形变量为x0， 则有κx0=f；当物块滑到O1点左侧距O1为x时，振子受到的合力为F=κ(x+x0)-f=κx,方向指向O1;当物块滑到O1点右侧距O1为x时，振子受到的合力为F=f-κ(x0-x) =κx,方向指向O1.

由此可知，物块受到的合力总指向平衡位置，即提供回复力，且其大小与相对平衡位置的位移成正比.这正是简谐振动的特征.因此，物块从A到B的运动符合简谐振动的规律.当物块从B返回时，物块受到的摩擦力方向发生了变化，其平衡位置应在O点的右侧O2处(且O1，O2关于O点对称).同理分析可知，从B到A的运动仍符合简谐振动的规律.

物块运动一段时间后最终停在哪里呢？物块往返时将分别以O1,O2为平衡位置振动，随着平衡位置的变化，物块振动的振幅将不断减小，由图1(b)可知，OA=L则OB=L-2x0，从B向左运动到最远处A1时，OA1=OB-2x0=L-4x0,再向右运动到最远处B1，OB1=L-6x0，…物块第N次通过O点后运动的最远处到O点的距离为d=L-2Nx0，向右运动时N取奇数，向左运动N取偶数，当d>x0时，也就是弹力大于最大静摩擦力，物块就能返回，若d

虽然物块的振幅在不断变化，但其往、返的时间应是相同的，都等于同一简谐振动周期的一半.把粗糙水平面上的物块运动与竖直方向弹簧振子比较，摩擦力等效重力，我们知道竖直方向弹簧振子的振动周期

3 总结