MathCAD在连接体问题研究中的应用——再议连接体中物体最大速度问题

姜付锦

（武汉市黄陂区第一中学 湖北 武汉 430030）

文献［1］～［3］都是讨论连接体中物体最大速度问题；其中文献［1］准确、精炼地研究了这个问题并且利用几何画板求得一个物体最大速度的位置，但是没有求出两个物体的最大速度及另一个物体取最大速度的位置；文献［2］与文献［3］非常系统和完整地研究了这个问题中的加速度关系及两个物体在取最大速度时的位置并且得到了最大速度的表达式，但计算过程非常简单不直观、具体；文献［2］不仅得到两物体达到最大速度时的位置而且还通过理论证明了在此位置有最大速度的原因，但是文中的公式和描述性语言过多不便于读者深刻领会.现笔者通过MathCAD来研究此问题，如果文中有不当之处，请各位物理同仁批评指正.

MathCAD是美国Mathsoft公司推出的一个交互式数学软件，该软件定位于向广大教师、学生、工程人员提供一个兼备文字、数学和图形处理能力的集成工作环境，使他们能方便地准备教案，完成作业或准备科学分析报告.在输入一个数学公式、方程组、矩阵之后，计算机能直接给出结果，而无需考虑中间计算过程.在计算机中输入数学公式、符号和等式，可以很容易地算出代数、微积分、三角函数以及很多科技领域中的复杂表达式的值，并可显示数学表格和图形，通过对图形结果的分析，使对问题的理解更加形象.

1 题目1

如图1所示，一轻绳通过无摩擦的定滑轮，一端与放在倾角为α＝30°的光滑斜面上的质量为m1的物体A相连，另一端与套在光滑竖直杆上质量为m2的物体B相连.定滑轮M到竖直杆的距离为l＝m，杆上N点与定滑轮的高度相同，当物体B在距N点下方1m处时，A和B恰好静止，求

（1）物体A和B的质量之比；

（2）将物体B从N点由静止开始释放，物体B下滑过程中的最大速度大小.

图1

1.1 分析

第一问的结果为＝4.以物体B出发点为原点竖直向下为正方向建立x轴，设某一时刻物体B下降位移为x，则物体A沿斜面移动距离为y＝.设绳子的拉力大小为F，与水平方向成θ角，则有以下微分方程组

初始值为

所以上式可化为

1.2 利用MathCAD解微分方程

利用MathCAD解微分方程，如图2所示.

图2

1.3 图形分析

在图2（c）中v1i，v2i分别表示B物体与A物体的速度，Ti表示物体运动的时间，表示绳子与水平方向的夹角.由图可知，两物体的运动都是周期性的，周期是3.6s.当θ＝20.01°，即t＝0.4s时，B物体第一次达到最大速度2.358m／s；当θ＝36.452°，即t＝0.7s时，A物体第一次达到最大速度1.130 8m／s；两物体达到最大速度时的位置与时间都不同.这与文献［1］和文献［3］中的结论是一致的.

2 题目2

如图3所示，一段足够长轻绳跨过两个等大等高的定滑轮后，两端各有一个质量为m的物体A和B，系统开始处于静止状态.此时，在绳子的中点挂一个质量也为m的物体C，已知两定滑轮的间距为2L，忽略滑轮的摩擦力和空气阻力，设重力加速度为g.试分析物体C在什么位置取最大速度及最大速度为多少？

图3

2.1 通常分析

当DC，EC夹角为120°时，系统处于平衡状态，物体C有最大速度，设最大速度为vm.由运动的合成与分解知识可知物体A，B的速度为vmcos 60°，设物体C下降的高度为h，则有h＝；物体A，B上升的高度为.由系统机械能守恒定律可知

2.2 正确分析

初始值为

所以上式可化为

2.3 利用MathCAD解这个微分方程

用MathCAD解该方程，如图4所示.

图4

2.4 图形分析

设三个物体的质量均为m＝1kg，重力加速度g＝10m／s2，两定滑轮的间距2L＝20m，v1i，v2i分别为物体C和物体A（B）的速度，Ti，分别为时间及绳子与水平方向的夹角.由图4（c）可知，当时间为1.033 3s时，物体C第一次达到最大速度vm＝6.211m／s，绳子与水平方向的夹角为22.921°；当时间为1.633 3s时，物体A（B）第一次达到最大速度3.238 6m／s，绳子与水平向上方向的夹角为38.038°；三个物体运动的周期为7.433s.这与文献［2］中的结论是一致的.

从以上的应用可以发现MathCAD具有强大的数学运算功能，利用它可以进行复杂的理论计算和创作设计物理教学与研究，也可以用来精确模拟各种物理现象，把物理概念、物理方程及其解答有机结合起来，达到“形象思维与抽象思维的统一”.用MathCAD研究物理问题，效率很高，操作简便，避开了复杂、重复、容易出错的数学计算和耗费精力的计算机编程，把精力和智慧集中在物理问题的本质部分.运用它可以在计算机上开展实验，尤如“在智力游戏的同时，探索极其复杂的原理”.这里既有数学和物理，也有艺术.

1 何征宇.用“几何画板”的函数功能研究物理疑难问题.物理通报，2010（4）：65～66

2 孙林燕，黄振平.轻绳连接体中的加速度问题.物理通报，2010（5）：70～71

3 易行.谈谈充分发挥习题的“物理营养”.物理通报，2010（6）：56～58