以数学思维为核心探寻数学教学活动的设计方法

唐其吉

摘要：教学过程中必须发展学生的思维能力，本文中围绕思维能力的发展，提出了课堂教学活动的几种设计方法.以落实思维灵活性为核心设计一题多解的活动；以落实思维深刻性为核心设计推广引申的活动；以落实思维发散性为核心设计一题多变的活动；以落实思维创造性为核心设计引发联想的活动；以落实思维探索性为核心设计深入探究的活動.

关键词：数学思维；一题多解；一题多变；联想；探究

数学是思维的体操，要想让学生长久保持思维热情，教师则需努力去展示知识的魅力，基于对教材中不同内容的解读，构建充满探究韵味的数学课堂，以开发学生的智力，培养和发展学生的思维能力.教学过程中需要通过有效的活动设计来发展学生的思维能力，本文中围绕思维能力的发展浅谈课堂教学活动的设计方法.

1 以思维灵活性为核心设计一题多解的活动

“思维”是人类特有的一种脑力活动，对于数学教学而言，培养思维的灵活性是教学中不可忽视的一环.一方面，一题多解的训练属于培养学生数学思维范畴的活动，其出发点与最终归宿必须与学生灵活性思维的培养目标保持一致.那么，在课堂中设计“一题多解”的训练，除了可以促进学生理解知识间的内在联系，提升学生的数学应用能力，最重要的就是让学生在多解训练中逐步掌握“举一反三”的本领.因此，以落实思维灵活性为核心来设计一题多解的训练合乎一题多解本身的特点.

例1  因式分解：m4+m3－m2－m.

本题作为一道典型的一题多解问题，只需教师稍加点拨，学生在深入思考和探究之后，即可生成以下解法.

解法1：

原式=m（m3+m2－m－1）

=m［（m2（m+1）－（m+1）］

=m（m+1）（m2－1）

=m（m+1）2（m－1）.

解法2：

原式=m（m3+m2－m－1）

=m［m（m2－1）+（m2－1）］

=m（m2－1）（m+1）

=m（m+1）2（m－1）.

解法3：

原式=m（m3+m2－m－1）

=m［（m3－1）+m（m－1）］

=m［（m－1）（m2+m+1）+m（m－1）］

=m（m－1）（m2+2m+1）

=m（m+1）2（m－1）.

解法4：

原式=m（m3+m2－m－1）

=m［m3+（2m2－m2）－（2m－m）－1］

=m［（m3+2m2+m）－（m2+2m+1）］

=m［m（m2+2m+1）－（m2+2m+1）］

=m（m+1）2（m－1）.

在学习中，学会随机应变十分重要.本题通过一道典型例题，引导学生从不同角度、不同方位进行思考，采用不同的方法去解决相同的问题.在解题的过程中，学生思维敏锐，通过知识间的相互转化厘清了知识间的纵横联系，深化了对因式分解的理解，让思维变得更加灵活、宽广、深刻.

2 以思维发散性为核心设计一题多变的活动

发散思维是一种“不走寻常路”的思维活动，它寻求变异，就是对给出的素材和信息进行多角度、多方位思考，采用多方法、多途径来分析与解决问题的一种思维.一题多变是培养学生发散思维的一种好方法，通过拓宽、深化问题，使得学生获得更多、更广、更新的知识，实现知识的串联.可见，以落实思维发散性为核心设计一题多变是值得推广的.

例2  如图1，已知等腰三角形ABC中，∠A=36°，AB=AC=a，试求出底边BC的长.

变式1  如图1，已知△ABC，∠A=36°，AB=AC，且底边BC=a，试求出腰长AB.

变式2  如图2，已知△ABC，BC=BD=DA，AB=AC，试求∠A的度数.

变式3  如图2，已知△ABC，AB=AC，BD为∠ABC的角平分线，且交AC于点D，AD=BD，若BC=a，试求∠A的度数和AD的长.

本例中，从教材出发，充分挖掘教材中例习题的潜在功能，通过变化条件、结论、图形形状等方式，让例题演变成新题，训练学生解题的自主性和积极性，让学生在学习中做一题、变一类、想一串、通一片，促进了对等腰三角形性质的全面、深刻理解，训练和发展了学生的发散性思维.同时，这样的方法告别了传统教学中的题海战术，与新课改减负的要求相吻合，可以让学生兴趣盎然地进行数学探究，使教学收到事半功倍的效果.

3 以思维创造性为核心设计引发联想的活动

联想是一种心理活动，就是从一个事物展开想象，想到与之相关的一个或多个事物的过程.伟大的数学家牛顿曾说：“没有大胆的联想就做不出伟大的发现.”由此可见，大胆联想对于学生思维能力的培养十分重要.因此，教学中，教师需要设计一些具有创造性的问题，让学生从问题本身出发，集合头脑中的已有知识与题目信息，大胆联想，深入探索，以获得新方法、新思路、新结论，促进创造性思维的发展.

例3  如图3，已知矩形ABCD，AB=a，BC=b，DE⊥AN于点E，且点N平分BC.

证明：DE=2ab4a2+b2.

分析：本题在教师点拨前，大部分学生会选择一般性解法，即根据勾股定理先求出AN，进一步证明△ABN∽△DEA，再根据比例线段求出DE.这种方法求解过程繁琐，学生也极易出错.倘若教师可以进一步点拨，引导学生观察、分析图形，学生则可以很快展开丰富的联想，将矩形ABCD的宽扩大至原来的2倍，得出矩形AFHD，从而不难得出AN的延长线必定与FH交于点H，可得DE为Rt△ADH斜边的高，于是有S△ADH=12DE·AH=12AD·DH，从而求出DE=2ab4a2+b2.

本例中，通过鼓励和引导学生对问题中所涉及的知识进行梳理，顺着知识的内在联系展开多角度的联想，从而转化到一个崭新的角度去看待问题，探寻新颖而独特的解题方法.同时，在分析和解决问题的过程中，学生的创造性思维自然得以发展.

4 以思维探索性为核心设计深入探究的活动

教育教学的改革关键在于教师教学思想的重大变革，因为教师的教学思想对教学活动起定向作用，只有在正确的教学思想的指导下设计的教学活动，才能调动学生学习积极性，才能培养学生的探究能力和创造精神.探究能力是学生学习的瑰宝，是教学中必须重点培养的能力，需要不断发展.因此，教学中，教师需要通过典型例习题的设计来引导和鼓励学生仔细观察、深入分析和探究，以培养思维的探索性.

例4  如图4，已知PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且有弦AC=PA=AB，据此你可以得出什么结论？

本题是教师针对本节课的教学精心设计的，题目不仅具有一定的探究性，还具有开放性和创造性.在教师的鼓励下，学生大胆想象，深度思考，最终得出以下多种多样的数学结论：

（1）四边形APBC是菱形；

（2）P，O，C三点共线；

（3）△PAB≌△ABC，且两个三角形均为等边三角形；

（4）S四边形APBC=12PC·AB；

（5）PC与AB相互垂直且平分.

灵活的思维、多样的方法和探究过程，恰恰是数学的魅力所在.本例中，教师通过引导和启发，让学生展开深度思考与探索，在获得各种结论的同时，深化了对相关知识的理解和掌握，更重要的是，这样的探索过程激起了学生浓厚的兴趣，极好地培养了学生勤于思考、勇于探索的良好习惯.

总之，教学不仅是一门科学，更是一门艺术.优秀的问题设计固然有灵感所致，但也离不开教师对教材的钻研、对学情的思考和对数学本质的探索.将学生思维能力的培养贯穿于数学教学的始终，可以让教学设计有迹可循，让数学问题聚焦思想，让数学活动发展思维，极好地培养学生的思维活力，让数学课堂绽放光彩.

作者单位：贵州省贵阳市第一实验中学