中职数学解题技巧之“数”“形”结合

张泽润

【摘要】解题教学一直都是中职数学教学的重中之重.在解题教学中渗透数学思想有利于增进学生对数学解题技巧的感悟，进一步提高学生审题、解题的效率.文章基于中职数学解题教学实际教情对应用数形结合思想传授学生解题技巧展开研究，在指出“数”“形”定义、介绍数形结合思想的同时，结合高教版课程教学案例指出教师可以从以形助数、以数解形、数形结合三个层面出发落实解题教学工作，希望为提升中职数学解题教学质量提供参考.

【关键词】中职数学；解题；数形结合；技巧

中职数学解题教学中，教师应认识到“数”与“形”的教育价值，同时结合中职数学解题教学的根本需求合理设计解题教学方案，引导学生在以形助数、以数解形、数形结合的过程中体会化简问题、转换问题的方法，进一步丰富学生的解题技巧.

一、“数”与“形”的定义及数形结合思想的应用价值

（一）“数”与“形”的定义

“数”是一种抽象的概念，用于表示长短、多少、高低等，本质上是一种度量符号.在数学研究中，“数”的定义十分广泛，包括整数、分数、小数、无理数、负数、用字母表示的数、方程、函数、代数等.“形”是一种直观概念，指的是可以看得见的图形.在数学研究中，“形”可以指代直线、圆、三角形、球、正方体、双曲线、正方形等多种可以用肉眼直接观察的图形.

（二）数形结合思想的应用价值

“数”与“形”相互依存，也可以相互转化.数形结合思想的应用价值主要体现在以下两方面：一方面，有助于加深学生对数学解题理论的理解.数学解题理论包括数学概念、数学性质、数学方法等多项内容.中职数学教学内容具有一定的抽象性，直接为学生讲解的话，无法使其在第一时间领会解题理论，会限制其解题能力的形成与发展.借助数形结合思想，教师可以用直观的图示将复杂、抽象的数学理论展示出来，增进学生对数学理论的理解，进一步提升学生的解题能力.另一方面，有利于提升学生数学解题思维的灵活性.中职数学解题教学涉及一些形式新颖、内容复杂的数学习题.常规思路无法快速、高效地解决此类问题，容易使学生产生负面的解题情绪.将数形结合思想用于中职数学解题教学中，有利于引导学生从“数”“形”两个角度分析数学问题，让其在形转数、数转形的过程中开展一系列的思维活动，增强学生的思维灵活性，使学生总结出更多的解题技巧.

二、“数”“形”结合解决中职数学问题的基本技巧

（一）以形助数，加强直观，快速解决问题

中职数学解题教学中的代数问题具有抽象性强、复杂程度高的特征.应用以数解数的方法可以解决大部分代数问题，但其解题过程复杂，错误率高.在解决代数问题时，教师可以指导学生应用以形助数的方法解决代数问题，将代数问题转化为直观、具体的图形简化问题，帮助学生快速确定解题思路，快速解决代数问题.

1.用“形”助力集合问题求解，提高学生审题能力

审题是解决数学问题的第一项程序，也是正确解题的关键.让学生掌握审题技巧可以极大程度地缩短学生的审题时间，从而提高学生的解题效率.集合问题看似抽象，但应用数形结合思想却可以快速提炼题目的主干信息，从而确定解题思路，加快解题步伐.解决集合问题时，教师可以指导学生根据题意绘制数轴图、文氏图等多种图形，让学生在绘图、看图的过程中明确题目关键信息，确定问题求解思路，为高效解题奠定基础.

以高教版“集合的运算”一课的解题教学为例，教师可以先应用多媒体课件呈现典型例题，再指导学生用以形助数的方式解决问题.

2.用“形”助力不等式问题求解，提高学生解题效率

不等式问题是中职数学解题教学中的常见问题.很多学生在解不等式问题时习惯性地使用作差法、作比法等代数方法.然而，此类方法的计算量较大，对学生的运算能力要求较高.部分学生存在运算能力差、马虎的问题，得出的运算结果准确率不高，继而影响不等式问题的求解质量.为此，教师可以指导学生应用“形”解决不等式问题，让学生在直观看图的过程中比较大小，从而提高学生的解题效率.

（二）以数解形，细致入微，巧妙解决问题

中职数学解题教学中的几何问题具有直观性强的特征.但是，直观性强并不意味着题目简单.很多学生在解决几何问题时缺乏解题思路，最终解题失败.对此，教师可以指导学生应用以数解形的方法解决此类问题，通过为图形赋值等方式帮助学生理解图形的真正含义，从而帮助学生确定解题方向，巧妙解决几何问题.

1.用“数”助力立体几何问题求解，培养学生直观想象素养

立體几何问题看似简单，实则不易解决.由于部分学生缺乏良好的几何直观、数学联想、数学抽象等能力，不能在解题时快速找到“题眼”，导致几何问题解决效率低下.为此，教师可以将数形结合思想用于立体几何解题教学中，通过指导学生应用代数的方法解决立体几何问题，为学生指明解决立体几何问题的方向，从而提升其数学直观水平，使学生能够巧妙地解决立体几何难题.

以高教版“柱、锥、球及其简单组合体”一课的解题教学为例，有问题如下：

2.用“数”助力解析几何问题求解，培养学生逻辑推理素养

解析几何具有点与实数对一一对应、曲线与方程一一对应的特征，是中职数学几何教学的重点内容.在中职数学解题教学中，解析几何问题多体现为求直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，等等.同时，受题目信息限制，很多时候学生无法应用几何方法求证直线与圆、圆与圆的位置关系，不能正确解答数学题目.为此，教师可以在教学中渗透数形结合思想，指导学生应用代数的方式进行逻辑推理，构建数学模型，以此求解出问题答案.

以高教版“两点间的距离与线段中点的坐标”一课的解题教学为例，

例4 已知△ABC的三个顶点分别为A（1，0），B（-2，1），C（0，3），试求BC边上的中线AD的长度.

（三）数形结合，综合应用，高效解决问题

数形结合百般好，隔离分家万事休.我国数学家华罗庚的这句名言说明了“数”“形”结合的重要性.在中职数学解题教学中，很多学生在解题时存在解题视野局限、解题思路单一的问题，不能高效解决数学问题.为此，教师可以在解题教学中渗透数形结合思想，指导学生综合代数、几何的相关知识解决问题，从而提高学生灵活解决数学应用问题的能力.

以高教版“函数的应用”一课的解题教学为例，教师可以为学生呈现典型例题：

例5 已知f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值记为h（t），请写出h（t）的表达式.

针对这一例题进行解题教学时，教师可以先给学生3～5分钟的时间自主思考，之后应用数形结合思想进行思路点拨：依据函数f（x）=x2+3x-5的对称轴与区间的位置关系，结合函数图像确定f（x）在x∈[t，t+1]上的增减情况，进而可以明确在何处取最小值.之后，教师可以在黑板上演绎解题过程，让学生学习更加新颖的解题方法：

通过解题可以发现，将数形结合思想用于函数问题的求解，可以使函数问题变得清晰、直观，有利于学生明确自身解题思路，从而快速求解函数问题.解题教学中，教师应抓住数形结合思想的渗透时机，同时不断组织类似的演绎教学活动，以此加深學生对数形结合思想的认识，提升学生的数学解题思维水平.

结束语

中职数学教学以培养学生的数学抽象、建模应用、几何直观等核心素养为主要教学追求，将更多教学资源融入数学解题教学是非常有必要的.在具体的解题教学过程中，教师应把握“数”“形”的本质，根据“数”“形”之间的具体关联合理开展解题教学工作，以此锻炼学生的审题、析题、解题能力，有效培养中职学生的数学学科综合素养.

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