感悟数形结合思想 提升数学核心素养

刘剑华

摘 要：数形结合思想作为重要的数学思想，其有利于学生掌握数学学习方法，让学生获得更好的学习体验，提升学生学习品质.在二次函数的复习教学中，教师精心创设问题链，让学生在问题的引领下积累研究函数的数学活动经验，领悟数学研究中蕴含的数形结合的思想，着力提高学生的数学核心素养.

关键词：数形结合思想；学习品质；数学核心素养

在每章内容学习后，教师大多会安排时间进行单元复习，以便通过有效的复习帮助学生建构完善的知识体系，提炼数学思想方法，提升学生解决问题的能力.笔者以“二次函数的复习课”为例，通过数形结合思想方法的渗透，提高教学有效性让学生较好地感悟思想、理解数学.

1 教学分析

二次函数的复习课安排在本章内容全部学完后，通过有效地回顾、思考、总结归纳本章教学的重难点，让学生掌握数学研究方法，提升学生自主学习能力.二次函数在初中数学教学中具有举足轻重的地位，其既有利于学生进一步理解函数的概念，又为后期学习一元二次不等式奠定了基础.

从教学反馈来看，学生在解题时大多是从“数”的角度出发，习惯运用代数的方法解决问题，从而使得运算过程烦琐，影响了解题效果.其实，学生之所以数形结合意识不强也与教师的教息息相关，大多教师对数形结合的认识不够充分，导致课堂上数学思想方法的渗透流于形式，导致学生对知识的理解不够深刻，难以灵活应用相关知识解决问题，影响了解题效果.因此，在复习课教学中，教师可尝试通过适度的启发和引导让学生逐渐感悟数形结合思想，激发学生参与课堂的积极性，提高教学效率.

2 教学简述

2.1 内容回顾，体验数形结合思想

师：对于数形结合的思想方法大家并不陌生，誰来说一说，应用数形结合有什么好处呢？

生1：“形”比较直观，利用“形”可以开阔视野，拓宽思路.不过“形”不够严谨，需要以“数”为依托，两者相互联系，相互依存.在解题时合理应用数形结合可以快速形成思路，提高解题效率.

师：说得很好，今天我们就用数形结合的思想来复习二次函数的图象和性质.

师：图1是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象，结合图象说一说，你能得到什么结论？

生1：与x轴交点坐标分别为（3，0）和（-1，0），顶点坐标为（1，4）.

师：很好，还有其他发现吗？

生2：图象开口向下，故a＜0；对称轴位于y轴的右侧，而a＜0，根据左同右异原则可知b＞0；图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，故c＞0.

师：很好，观察得非常仔细.请大家继续观察，看看还能得到哪些信息？（生沉思）

生3：根据以上发现可以图象有最大值，且最大值为4；图象与x轴有两个交点，所以有b²-4ac＞0；根据顶点式易求得二次函数表达式y=-（x-1）²+4.

师：很好，你刚刚是利用哪两个点得到二次函数的

顶点式表达式的呢？

生4：利用顶点（1，4）和与x轴交点（3，0）.

师：如果把二次函数y=-（x-1）²+4向左平移1个单位，向下平移4个单位，你会得到一个什么样的二次函数？

生5：平移后图象的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），得到的二次函数的解析式为y=-x².

师：很好，如果把二次函数y=-x²向上平移6个单位，你得到的二次函数解析式是什么？把二次函数y=-x²向右平移3个单位呢？

生6：两个函数分别为y=-x²+6和y=-（x-3）².

师：结合以上平移过程，请大家总结归纳一下，函数图象的平移遵循的什么原则？

生齐声答：左加右减，上加下减.

师：刚刚这位同学结合函数图象特点，利用顶点式得到了二次函数表达式，是否可以用其他方法得到二次函数表达式呢？

生4：已知二次函数与x轴交点坐标分别为（3，0）和（-1，0），故可以应用交点式求出二次函数表达式.

生7：已知二次函数与x轴交点坐标分别为（3，0）和（-1，0），顶点坐标为（1，4），所以还可以利用一般式来求二次函数的表达式.

师：很好，大家现在动手做一做，看看利用其它两种方法求出的二次函数解析式是什么？本题应用哪种方法最方便呢？

设计意图：教师预留充足的时间让学生观察，尽量多地挖掘已知信息，这样既帮助学生回顾了旧知，促进了知识的巩固，又为接下来多角度探究奠定了基础.在此过程中，教师精心创设问题链，让学生在问题的引领下自主探究、合作交流，总结归纳图象的平移遵循的法则，并自然得出了二次函数的另外两种表达方式，促进了学生认知体系的建构与完善^［1］.

师：观察图1，你还能挖掘出其他的信息吗？

生8：令图象与y轴的交点为点C，其坐标为（0，3），点F与点C关于x=1对称，其坐标为（2，3），直线CF平行于x轴.

师：你是如何求点C的坐标的呢？（师追问）

生8：我是利用解方程的方法求解的，将x=0代入函数解析式，解得y=3.

师：很好，利用数形结合发现了二次函数与一元二次方程的联系，那么它与一元二次不等式呢？两者是否存在一定的联系呢？

设计意图：借助问题，将二次函数，一元二次方程和一元二次不等式建立联系，让新、旧知识相互沟通，丰富学生已有认知，锻炼学生观察能力、分析能力和迁移能力.

师：若从线段的角度去思考，你又有什么发现？（为了便于表述，教师给出图2）

生9：OA=1，OB=3，OC=3.结合已知，根据勾股定理，易求线段AC的长.

师：思考一下，四边形ABDC的面积是否可求呢？

问题给出后，学生积极思考，分别求出S_△AOC，S_梯形AOCD，S_△BAD的面积，问题即可获解.

设计意图：引导学生从不同角度挖掘图象信息，锻炼了学生“动脑”“动口”的好习惯，充分调动了学生参与活动的积极性，让学生在自主学习和合作交流中获得了可持续发展的能力，提高了学生数学素养^［2］.

在以上教学活动中，教师以学生的发现为主线，有组织、有目的、有针对性地引导学生进行探索研究，侧重于学生能力的提高和思维的训练，提高了学生综合能力和综合素养.

2.2 引导探究，感悟数形结合思想

师：若想使该抛物线经平移后通过坐标原点，可以如何平移呢？

生10：可以左右平移，向左平移3个单位或向右平移1个单位.

师：分别作该抛物线关于x轴和y轴的轴对称图形，你能求出对应抛物线的解析式吗？

（为了降低问题的难度，教师将问题进行拆分，通过分步引导，帮助学生形成策略）

師：我们先来分析关于y轴的轴对称图形，它的开口方向、开口大小如何变化，其对称轴及与y轴的交点又是什么呢？（教师鼓励学生通过动手画寻找解题思路）

生11：开口方向、开口大小、与y轴交点均不变，所以a和c的值也不变.对称轴由直线x=1变成了x=-1，根据左同右异得b=-2，所以抛物线的解析式y=-x²+2x+3关于y轴的轴对称图形的解析式为y=-x²-2x+3.

在此基础上，学生通过分析开口方向、开口大小、与y轴交点等内容，求得该抛物线关于x轴的轴对称图形的解析式为y=x²-2x-3.

师：若将抛物线y=-x²+2x+3绕它的顶点旋转180°，你还能求出抛物线的解析式吗？

设计意图：通过平移变换、轴对称变换、旋转变换，让学生在变换中更好地体验数学，培养思维的灵活性，锻炼学生思维，增强学生学习信心，让学生在合作研究中更好地体验数形结合思想，发展学生数学学习能力.

2.3 课堂小结，升华认知

师：通过本课的复习，你学到了什么？还有哪些困惑？

教师预留时间让学生进行反思、回顾，并鼓励学生进行组内交流.

设计意图：通过反思、交流引导学生对学习内容进行梳理，从而使学生掌握的知识更加系统化、条理化，既便于学生理解与记忆，又促进了知识的迁移与重构，有利于提高学生综合应用能力^［3］.在此环节，教师引导学生对获取知识中涉及的思想、方法、策略进行反思，以此深化知识理解，积累活动经验，明确数形结合思想.另外，通过小结可以让教师更好地了解学生之所思、之所获、之所难，从而为针对性教学活动的创设提供了教学依据，有利于提高教学有效性.

3 教学思考

在本课教学中，教师以数形结合思想为核心，通过创设合理的问题情境将二次函数二项性质、三种表示、平移变换、轴对称变换、旋转变换等内容有效地关联在一起，通过潜移默化的启发和引导帮助学生建构了完善的知识体系.同时，本课教学中，教师贯彻以生为主导，以生为主体的教育理念，打破了传统讲授的枯燥与乏味，让学生体验了自主探究的乐趣，并让学生在自主探究中获得了知识、掌握了技能，明确数形结合思想，提升了数学素养.

总之，在复习教学中，教师不仅要关注于知识与技能的提升，也要关注学生对数学思想方法的理解和感悟.在教学中可以创设有效的问题情境让学生去思考、去探索、去提炼，以此提升学生自主学习能力，发展学生数学核心素养.

参考文献：

［1］ 张海芳.初中数学教学中数形结合思想的渗透［J］.数学大世界：上旬，2021（3）：90-91.

［2］ 徐春华.核心素养下初中数学生本课堂的构建研究［J］.科学咨询，2019（9）：146.

［3］ 巨彦春.初中数学教学中数学学科核心素养渗透路径探究［J］.中学数学：初中版，2021（18）：86-87.