构造三角形 解梯形问题

李江

摘 要：对第7届世界团体锦标赛少年组团体赛第17题的解法进行了深入研究，通过构造三角形将梯形问题转化为三角形问题.利用三角形的性质得到了多种解法.一是借助15°角构造其中一角为30°角的直角三角形，再运用勾股定理求解；二是借助15°角和45°角，或120°角构造等边三角形，然后利用三角形的性质求解；三是构造相似三角形，运用勾股定理和相似三角形性质求解.通过“一题多解”，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力，有利用于提升学生的数学核心素养.

关键词：梯形；构造；转化；三角形

1 试题呈现

题目：梯形是初中数学中常见的几何图形，与梯形有关的几何计算问题是中考或竞赛试题中常见的题型.如图1，在梯形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，∠ABD=15°，∠C=45°，CD=1，求梯形中位线的长.

2 试题分析

本题是一道以梯形ABCD为基本图形的几何计算问题，求解本题的关键求得线段AB的长.易知AB∥CD，所以∠BDC=∠ABD=15°.△ABD是含有15°角的直角三角形，△BCD的三个内角分别是15°，45°，120°.根据图形特征易发现，借助15°角或120°角可构造含30°角的直角三角形；借助15°角和45°角，或120°角可构造等边三角形；相似三角形的性质也是求解线段长度问题的基本工具，可考虑构造相似三角形.由此可以看出求解本题的基本思路：构造三角形，将梯形问题转化为三角形问题，然后借助直角三角形、等边三角形、相似三角形的性质求解.

3 解法探究

思路1：借助15°角或120°角构造其中一角为30°角的直角三角形，利用直角三角形的性质求解.

解法1：如图2，过点B作BE⊥CD，垂足为E.在线段DE上取一点F，使BF=DF.

点评：解决与线段长度有关几何计算问题的基本工具之一是相似三角形的性质，故易想到通过构造相似三角形解决问题.这两种解法运用勾股定理和相似三角形的有关判定与性质等知识求解，方法自然，思路顺畅，但求解过程较为繁琐，计算量较大，容易出现计算失误.由以上两种解法可以看出，本题构造相似三角形的方法不唯一.

4 结束语

梯形是初中数学中常见的几何图形，与梯形有关的几何计算问题是中考或竞赛试题中常见的题型.由以上解法可以看出，通过构造直角三角形、等边三角形、相似三角形等基本图形，可将梯形问题转化为三角形问题，然后利用基本图形的性质求解.转化的基本策略是：根据图形特征，添加辅助线，构造基本图形，使所求结论与已知条件之间的逻辑关系外显化，为问题解决创造条件.通过“一题多解”，有利于提升学生综合分析问题和解决问题的能力，有利于提升学生的数学核心素养.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］ 刘敏.巧作辅助线解决与梯形相关的几何问题［J］.数理天地（初中版），2022（7）：67-69.

［3］ 朱月群.巧作辅助线解梯形问题［J］.初中数学教与学，2015（15）：21-23.

［4］ 朱俠，余纯.解决梯形问题常添加的四种辅助线［J］.读与写（教育教学刊），2014，11（7）：125.

［5］ 朱梅强.理解梯形实质，解决梯形问题——综述梯形中常用辅助线的添加方法［J］.中学生数理化（教与学），2011（4）：89.

［6］ 邵锐.灵活构造三角形，妙解“kPA+PB”型最值问题［J］.中学数学，2023（10）：82-83.

［7］ 郝国云.转化—解决梯形问题的基本思想［J］.中学课程辅导（八年级），2006（Z1）：54.

［8］ 单墫.解题研究［M］.上海：上海教育出版社，2016.

［9］ 李庆社.解决梯形问题的几种方法［J］.语数外学习（初中版八年级），2008（6）：20-22.