数学解题之“完形构造”

彭亚 高明

【摘要】构造法内涵丰富且不局限于固定模式，就格式塔完形法则而言，构造法就是“完形”的过程，解题时，学生不能孤立地只反映题中的条件式与目标式，而应把它们组成某个整体或完形，建立起符合题意的格式塔图形，从而达到化繁为简、化难为易的目的.格式塔学派在心理学方面提出了三个主要理论观点：“整体性”“异质同构”“完形法则”，文章以格式塔心理学中的完形法则为理论基础，通过典例进行阐明有则组之、缺则补之、无则变之的三条数学解题构造法则，为中学数学教师的解题教学提供一些新的参考.

【关键词】格式塔心理学；完形法则；构造法；数学解题

【基金项目】基于核心素养下的《初等代数研究》课程开发，西华师范大学2018年教学改革项目，项目编号403350.

引 言

在数学解题中，学生常会因为解题经验不足而找不到题干中条件与问题的联系，或是勉强有一点思路但在解题过程中又遇到新困难，导致解题失败.因此，教師可引导学生在遇到一道无从下手的难题时尝试用构造法重新审题.构造法解题可分为构造函数、方程、不等式、向量、复数等多种类别，在中国知网里收录了许多相关文献可供大家参考.皮亚杰的建构主义学习理论尤为关注认识结构在学生学习和发展中所起的作用，该理论的精粹就在于主体内部的逻辑构造.弗赖登塔尔的著名数学教育理论中提出了数学化，指人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究世界的种种想象并加以整理和组织的过程.由此为解决实际问题而构造数学模型的过程便是数学化的过程.在《怎样解题表》中，波利亚认为在第二步拟定方案时，尽量回想起类似的题目，即重视辅助题目的应用.从他的叙述来看，辅助型题目所展现的就是数学构造的思想.大多学者均把以上三位数学教育家的理论看作构造法的理论依据.但笔者认为，构造的过程是一种心理认知过程，从格式塔心理学观点来看，题干呈现的问题其实是缺失的或不完整的模型，构造法就是完形的过程，要想解决问题就需要构造出一个完整的模型，把问题化难为简、化隐为显.因此本文选择从格式塔心理学观点的角度出发，研究数学解题中的构造法，希望能为大家带来一些新的思考.

二、构造法概述

（一）构造法内涵

构造法是指对于某些用常见方法或者按照定向思维难以直接正面求解的数学问题，可以根据题干条件和结论的特征，从另一种角度，用另一种观点去观察、分析对象，牢牢把握题干的条件与结论之间的内在联系，利用问题的数据、图形、坐标等特征，以题中的已知条件为原材料，运用已有的数学关系式或公理为工具，在大脑中构造出满足条件或结论的数学模型或对象，从而使原问题中隐藏的关系和性质在新构造的数学对象或模型中显现出来，并利用这个数学对象更容易地解决数学问题的一种数学方法.

从数学发展的历史进程来看，许多经典数学问题按照思维定式或常规思维是无法解决的，最后都可以通过构造法得以破解.如拉格朗日中值定理、柯西中值定理、素数无限定理等.它在数学解题中是最有活力的化归方法之一，它有利于发展学生的创造性思维和创新能力.可以说构造法在一定程度上促进了数学这一学科的发展，直至今日，构造法不仅是解决数学问题所采用的一种数学方法，更是一种极其重要的数学思想.

（二）构造法解题的优点

第一，优化解题途径.有的问题虽然不使用构造法也可以求解，但是其求解过程复杂烦琐，如果用构造法求解往往可把复杂的运算简单化，把问题快速优化求解.

第二，揭露隐含条件.用构造思想分析题干中的数量关系或结构特征，有利于挖掘出隐含在题干背后的条件，达到“化隐为显”的目的.

第三，关联条件与结论.对于某些难以直接求解的问题，根据条件与结论之间的逻辑联系，构造数学对象数、式、方程、函数等作为中介，从而去求解问题.

第四，促进数学知识迁移.可用构造思想解决某些综合类型的题目，如构造图形解代数问题、构造函数求图形面积的最值、构造方程解几何问题等，在这个构造过程中也进一步促进了数学知识的迁移.

三、格式塔的完形原理概述

格式塔心理学理论观点主要包含以下三个观点：

第一，整体性.整体性理论是指人们在看待和认识事物时应从整体来看，而不是仅从局部信息出发来判断事物.对于人的感知觉而言事物的整体形象比部分形象更为明显，即人们一开始感知到事物整体的几率高于事物局部.

第二，异质同构.“异质”指人的心理认知与外在事物是两种不同的介质，二者相互对立.“同构”指人类主体的各项感知和外在事物虽然处于互相对立的状态，但是两者的结构立场却趋向一致.

第三，完形法则.格式塔心理学的研究出发点在于“形”，完形法则是格式塔心理学中一个应用广泛，并且占有重要地位的理论.它是指，人类在视知觉的体验过程中往往会追求事物的完形性以及整体性，当我们看到了部分不符合自身习惯的图形或事物时，心里常常会产生排斥感，所以人们会依据自己的视觉经验和喜好把不完整、未闭合的图形进行处理、加工，从而得到完整的“形”.因此，“完形”不仅仅是视觉上的补全，也是思维上的整体化感知.

四、格式塔心理学视角下的构造策略

格式塔理论已经为美术书法雕塑与摄影、建筑科学与工程、计算机软件、戏剧电影与电视艺术、中国文学、工业通用技术及设备等方面的研究提供了理论支撑.而以“中等教育”为主要主题做计量可视化分析，主要包括在阅读教学、格式塔心理学等方面.在目前能查找到的78篇文献中，有关数学学科的很少.

农江萍、姚源果和吕晓亚认为数学问题解决模式之一是基于格式塔理论；凌纪霞认为格式塔心理学对高中数学教学具有一定的启示，教学设计要体现整体观，教学方法可采取迁移教学法、顿悟教学法；刘晓燕提出基于格式塔理论在教学中培养学生的创造性思维；邓安邦、冯德雄运用完形、组块原理探讨了几何教学的改善方法.从以上学者的研究可以发现，格式塔理论的各个观点都可以应用到数学教学的各个方面，只是有关这方面的研究暂时不多.

格式塔理论是认知心理学派的主流学派之一，它的观点被应用于各个领域并且行之有效，所以笔者基于格式塔理论中的观点，从认知心理的角度来研究数学解题中的构造法.数学解题中构造法的构造过程就是“完形”的过程，所谓的“形”指的是题目中的图形、结构式、关系式、模型等，它们是不完整的、未闭合的格式塔图形，要达到目标式，就要以完形法则为基础，将不完整的格式塔图形进行完形设计，从而使我们对格式塔图形的视觉感受由陌生变为熟悉，数学题目就会由繁到简，由隐到显，由难到易.

笔者认为，基于“完形”的构造策略体现在三个方面：

第一，有则组之.某些数学题目的条件或问题中会给出一组结构趋于完整的式子或图形，但当这类式子或图形无法直接求解，或者直接求解的过程中又产生了新的难以解决的障碍时，就可以选取构造法，观察已有的式子或图形的特征，在其基础上进行重组，建构成我们熟悉或容易处理的“形”，从而化解了难题.

第二，缺则补之.某些数学题目中出现的式或图形可能会与我们熟悉的或常见的数学模型接近，但又缺少一部分，所以没有办法直接求解.这时选取构造法，将式或图形残缺的部分进行补全使其达到平衡完整，变成易处理的数学问题.

第三，无则变之.当问题难以直接求解或者题中的条件式与目标式看起来暂时没有关联时，选取构造法将条件或问题中的式或图形进行变“形”，转变为熟悉的模型进而求解.

构造法本身具有一定的特殊性和广泛性，解题时要根据具体问题的特点选取不同的完形法则.下面给出六道例題来说明构造法中的三种完形法则.

（一）完形构造法则一：有则组之

结 语

在数学解题中遇到无法直接求解的难题，可优先考虑构造法.从格式塔的心理学的完形法则观点来看，每一道数学题都不是完美的标准形，当我们遇到这类事物本身不太完整的题目时，会通过内在的心理活动对事物本身的不完整性进行修复，即“完形”的过程.通过对问题中数学对象特征的观察，展开丰富的联想，将题中的格式塔图形通过重组、补形、变形而组织成具有规则性、对称性、和谐性的图形，完善其“形”，把复杂问题简单化，问题解决自然水到渠成.在这个过程中学生为了进一步解决问题或学习知识，会充分调动自身的创造思维和创新能力，激发内心的创造心理机制，以达到“完形”而解决存在的数学问题，这对于学生的数学学习大有裨益.

在数学解题教学的过程中，教师应基于学生的实际认知水平，遵循心理发展的规律和课堂中教学的规律，培养学生的基本数学素养以及观察能力，使其具备了良好的数学基础，构造法的学习和应用方能事半功倍.

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