巧思维视角切入，妙技巧方法求解

任小瑞

摘 要： 解三角形一直是高考数学试卷中的一个重要知识点，是沟通初中平面几何与高中三角函数等基础知识的一个主场所，实现数学知识与能力的交汇与融合.结合一道高考真题加以实例分析，从不同思维视角切入，总结解题规律，启示教学学习，引领并指导数学教学与解题研究.

关键词： 解三角形；面积；中点；公式；余弦定理

解三角形是新教材模块中平面向量及其应用中的一个重要知识点，是平面向量的一个应用方向，也是联系初高中知识的一个很好的媒介.此类问题有“数”的内涵，有“形”的本质，“数”“形”结合，充分契合新课标的命题理念——“在知识交汇点处命题”，合理融合初中的平面几何，高中的函数与方程、不等式、三角函数、平面向量以及平面解析几何等相关知识，成为新高考数学试卷命题中的一个基本考点，倍受各方关注.

1 真题呈现

【高考真题】   （2023年高考数学新课标Ⅱ卷·17） 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为 3 ，D为BC的中点，且AD=1.

（1） 若∠ADC=  π  3 ，求 tan  B；

（2） 若b2+c2=8，求b，c.

2 真题剖析

本题通过两小题的合理设置，通过题设中三角形的面积、中线长这两个数值的给出，分别通过不同条件来设置两个不一样的问题，对应两个不一样的三角形，给考生两种不同的体验，具有很好的创新性.

同时借助相关角、边的关系式等数据，全面调动三角形中相关元素及其对应关系，合理构建关系式并加以变形与转化，是考查学生逻辑推理与数学运算等数学能力与核心素养的一个重要场所.

而在具体解决解三角形综合应用问题时，充分挖掘题设条件，进行有效审题，合理妙用定理（平面几何中的相关定理，解三角形中的正弦定理或余弦定理等），正确应用公式（平面几何中的相关公式、三角函数的相关公式等），合理化归与转化，科学逻辑推理，正确数学运算，优化解题过程，提升解题效益.

3 真题破解

解析：  （1）   方法1  （平面几何法）

在△ABC中，D为BC的中点，∠ADC=  π  3 ，AD=1，S △ABC= 3 ，

则S △ADC= 1 2 AD·DC sin  ∠ADC= 1 2 ×1× 1 2 a×  3  2 =  3  8 a= 1 2 S △ABC=  3  2 ，解得a=4，

在△ADC中，由余弦定理可得b2=AD2+CD2-2AD·CD cos  ∠ADC=1+4-2×1×2× 1 2 =3，解得b= 3 ，

而AC2+AD2=4=CD2，则知∠CAD=  π  2 ，且有C=  π  6 ，

如图所示，过点A作AE⊥BC交BC于点E.

于是CE=b cos  C= 3 ×  3  2 ＝ 3 2 ，AE=b sin  C= 3 × 1 2 ＝  3  2 ，BE=a-CE=4- 3 2 ＝ 5 2 ，

所以 tan  B= AE BE ＝   3  2   5 2  =  3  5 .

方法2  （解三角形法）

在△ABC中，D为BC的中点，∠ADC=  π  3 ，AD=1，S △ABC= 3 ，

則S △ADC= 1 2 AD·DC sin  ∠ADC= 1 2 ×1× 1 2 a×  3  2 =  3  8 a= 1 2 S △ABC=  3  2 ，解得a=4，

在△ABD中，∠ADB= 2 π  3 ，由余弦定理可得c2=AD2+BD2-2AD·BD cos  ∠ADB=1+4-2×1×2× - 1 2  =7，解得c= 7 ，

利用余弦定理有 cos  B= AB2+BD2-AD2 2AB×BD = 7+4-1 2× 7 ×2 = 5 7  14 ，

由同角三角函数关系，得 sin  B= 1- cos 2 B =  21  14 ，所以 tan  B=  sin  B  cos  B =  3  5 .

解后反思：  根据题设条件，结合三角形的面积公式以及中点性质等，求解相应的边长是关键.而在边a求得的基础上，可通过平面几何数形结合，也可通过解三角形与三角函数的代数关系进行代数运算，以在一定程度上引导学生深入思考培养数学思维为目标，对于教学与学习都有一定的帮助.

（2）   方法1  （解三角形法）

在△ABD与△ADC中，

由余弦定理可得

c2= 1 4 a2+1-2× 1 2 a×1× cos  （ π -∠ADC），

b2= 1 4 a2+1-2× 1 2 a×1× cos  ∠ADC，

整理，得 1 2 a2+2=b2+c2，而b2+c2=8，解得a=2 3 ，

因为S △ABC= 3 ，则S △ADC= 1 2 AD·DC sin  ∠ADC = 1 2 ×1× 3 × sin  ∠ADC= 1 2 S △ABC=  3  2 ，

解得 sin  ∠ADC=1，又0＜∠ADC＜ π ，所以∠ADC=  π  2 ，

由D为BC的中点，得△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形的性质知b=c=2 2 .

解后反思：  根据三角形的图形特征，结合余弦定理建立相应的方程，并通过三角形面积公式的应用来深入，探求对应角的数值，这是破解问题的关键点所在.借助直角的特征，以及中点的性质，回归到等腰三角形中去，利用等腰三角形的性质来分析与求解.由代数思维的数学运算推导出图形的结构特征，由“数”转“形”.

方法2  （平面向量法）

在△ABC中，D为BC的中点，则2AD =AB +AC ，

又CB =AB -AC ，

则4AD 2+CB 2=（AB +AC ）2+（AB -AC ）2=2AB 2+2AC 2=2（b2+c2）=16，

即4×12+a2=16，解得a=2 3 ，

后续同方法1，可得b=c=2 2 .

方法3  （平面向量+三角函数法）

在△ABC中，D为BC的中点，则2AD =AB +AC ，

又4AD 2=（AB +AC ）2=AB 2+AC 2+2AB ·AC ，即4×12=b2+c2+2bc cos  A，

又b2+c2=8，解bc cos  A=-2，

因為S △ABC= 1 2 bc sin  A= 3 ，所以bc sin  A=2 3 ，

以上两式相除，整理，得 tan  A=- 3 ，又0＜A＜ π ，即A= 2 π  3 ，

因为bc sin  A=2 3 ，所以bc=4，又b2+c2=8，解得b=c=2 2 .

解后反思：  根据三角形中的中点巧妙引入平面向量的线性关系，回归解三角形的知识本源，借助平面向量的线性运算、数量积等来转化与应用，同时结合三角形的面积公式构建对应的关系式加以综合.将解三角形问题回归到平面向量中去，利用平面向量的基础知识来分析与应用，是解决此类问题中比较常用的一种技巧方法.

方法4  （平面几何法）

在△ABC中，D为BC的中点，

由中线长公式，得4AD2+BC2=2（AB2+AC2），即4+a2=2（c2+b2），

由b2+c2=8，解得a=2 3 ，

如图所示，过点A作AH⊥BC交BC于点H，又S △ABC= 1 2 a·AH= 3 ，解得AH=1，

因为AD=1，所以点H与点D重合，利用等腰三角形的性质知b=c=2 2 .

解后反思：  回归平面几何图形与几何性质，通过数形直观或性质应用来解决一些相应的解三角形问题，有时可使得问题的解决更加简单快捷，也是一种不错的思维方式.

4 教学启示

4.1 拓展思维视角

4.1.1 代数思维

“数”的视角解决解三角形问题，就是其中的代数思维，或借助解三角形中的定理、公式等构建边与角的关系式，或借助坐标运算、向量运算、解析几何运算等来处理并解决解三角形问题.

在此过程中，往往离不开函数与方程、三角函数、不等式、平面解析几何等相关知识与代数思维的综合与应用.

4.1.2 几何思维

“形”的视角解决解三角形问题，就是其中的几何思维，或借助平面几何图形的直观来分析处理问题，或借助平面向量的数形综合来转化与应用等，都可以从“形”的层面来解决解三角形问题.

在此过程中，往往离不开平面向量、三角函数、平面解析几何等相关知识与几何思维的综合与应用.

4.2 培养思维能力

在平时数学教学与复习备考时，不能片面注重数学“刷题”，只注重数量，往往事倍功半；做题要注重质量，要少而精.

而要做到少而精的做题，就需要典型性的问题，以及对问题的深入研究，借助典型问题，开展“一题多解”，“串联”起不同的知识点，构建相应的数学知识网络，同时进一步加以拓展，实现“一题多得”的效果，优化解题效益，从而更加有效促进学生的“四基”，全面提升数学能力，发展并开拓学生的数学思维，举一反三，有效进行“促双减”的深化与改革.

参考文献：

［1］ 单墫.解题研究［M］.上海：上海教育出版社，2013.

［2］ 于道洋，宁连华.试论墨家的理性精神及其对数学教育的启示［J］.数学教育学报，2021，30（5）：87 91.