高中数学教科书“正、余弦定理”内容的比较研究

姜梦洁 王盼 华子艳 刘冰楠

摘 要： 正、余弦定理是平面三角学中刻画三角形边角关系的基本定理，有丰富的教育价值.而教科书是实现课程目标的重要教学资源，在新课程“一纲多本”教育背景下，我国教科书百花齐放、各具特色.故选取现行六版高中数学教科书，比较其“正、余弦定理”内容的呈现方式，整合教学资源，博采众长，提出教学建议；联系现实融合史料，丰富问题情境创设；促进关键知识生长，构建数学知识网络；聚焦探究启发思考，落实核心素养导向.

关键词： 高中数学；正弦定理；余弦定理；教科书比较

教科书承载着课程内容文本与教学活动文本的双重属性，是教与学的主要依据.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标》）明确指出，数学教材是实现数学课程目标、发展学生数学核心素养的重要教学资源，要积极探索教材的多样化［1］.随着新一轮基础教育改革方案与新课标的颁布，教科书也同步更新并陆续投入使用.教科书的编写实质上是编写者依据课程标准进行再创造的过程，它关系着教科书的水平和质量，决定着教科书的风格特色，影响着师生对教科书的评价与使用［2］.

正、余弦定理是平面三角学中刻画三角形边角关系的基本定理.它们与平面几何中的勾股定理、射影定理、海伦公式等水乳交融，又与解析几何中的向量运算、两点间距离公式等息息相关，可以重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象等核心素养.比较各版本教科书，整合教学资源，博采众长，这对教科书的编写和教学质量的提升有一定促进作用.选取现行六版高中數学教科书（人教 A 版、人教 B 版、北师大版、苏教版、湘教版、鄂教版），以“正、余弦定理”内容为载体，从章节设置、知识编排、例习题设置三个方面比较其呈现方式，透视各版本教科书的编写特色，以期为教科书编写与教师教学提供参考.

1  正、余弦定理内容的呈现方式比较

1.1 章节设置

章节设置体现编者对知识所属领域的划分，前后知识在一定程度上影响着当下内容的学习.《课标》中正、余弦定理属于几何与代数主题，呈现在“平面向量及其应用”的“向量应用与解三角形”中.人教 A 版、北师大版、湘教版及鄂教版都将其设置于“平面向量及其应用”章节，与平面向量在几何、 物理中的应用并列，从知识体系上看从属于平面向量，强调平面向量学习的连贯性.人教 B 版和苏教版均将“解三角形”设置为独立章节，重视三角学知识体系的独立性.不同于其他四版按照“余弦定理——正弦定理”的顺序编排，人教 B 版与鄂教版先介绍正弦定理.此外，人教 B 版结合数学建模与数学探究活动主题，以课题研究形式设计与正、余弦定理相关的数学探究活动相结合，重视数学建模素养的培养.

1.2 知识编排

六版教科书正、余弦定理的知识编排如表1所示.

1.2.1 栏目设置

栏目是教科书的基本功能单位，栏目的设置与 编排关系着教科书内容的选择与呈现，并进一步影响课程目标的达成.各版教科书在正、余弦定理的编排中均设置探究栏目，学生在数学探究活动中完成对正、余弦定理的再发现、再创造，凸显以学生为本的价值取向.其中北师大版最具特色，两个定理均依照“问题提出——分析理解——抽象概括”的栏目框架进行编写，得出正、余弦定理的过程正是从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的过程，有助于发展学生自主学习的能力.

1.2.2 引入方式

引入是新课学习的开端，对激发兴趣、启发思考有重要作用.除人教 B 版及鄂教版外，其余四版教科书均先设置余弦定理的内容，且都从数学问题出发.其中，人教 A 版、北师大版、湘教版提出“如何用两边及其夹角表示第三边”，以解三角形为目标展开探究.引入正弦定理时，人教 A 版沿用了类似“用两角和一边解三角形”的问题；北师大版和湘教版则直接切入课题，聚焦 “三角形各边和所对角正弦之间的关系”；苏教版关注余弦与正弦定理的内在联系，从同一个问题“将△ABC中的向量等式BC =BA +AC 数量化”的两种不同解法分别引出余弦定理与正弦定理；人教 B 版及鄂教版利用测量距离的问题情境导入，生活实例有助于引起学生兴趣，同时体现正、余弦定理在其他领域的应用价值.

1.2.3 证明方法

余弦定理与正弦定理都有多种证明方法.《课标》要求“借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理”，且借助向量证余弦定理过程十分简洁，因此六版教科书均选择在正文中以向量法证明余弦定理.而借助向量证明正弦定理难度稍高，人教 A 版设置思考栏目启发学生添加辅助向量；苏教版延续余弦定理探究中的“将 △ABC中的向量等式BC =BA +AC 数量化”，并作进一步研究； 鄂教版直接给出思路；人教 B 版、湘教版则选择面积法证明正弦定理；北师大版选择作高法.此外，苏教版在思考栏目和习题栏目又提供勾股定理和坐标法证明余弦定理、作高法和面积法证明正弦定理的思路，从多个视角建构和解决问题，培养高阶思维.

1.2.4 拓展素材

为适应学生学习的个性化需求，以及为教师开发课程内容资源提供可能，六版教科书均加入了各具特色的拓展素材，主要包括相关公式及性质定理和数学史料两类.

在相关公式及性质定理方面，作为平面三角学中刻画三角形边角关系的基本定理，正、余弦定理与许多平面几何性质有着密切联系，六版教科书都补充介绍了三角形的面积公式 S△ABC= 1 2 ab sin  C= 1 2 ac sin  B= 1 2 bc sin  A. 除鄂教版外，其余五版都对正弦定理进行扩充，关注其几何意义（三角形各边与它所对角正弦的比值等于该三角形外接圆的直径）.此外，正、余弦定理与三角形全等和勾股定理的关系、射影定理、三斜求积术和海伦公式、三角形中线定理、平行四边形四边对角线平方和定理也以正文或习题的形式被引入多个版本的教材.

在数学史料方面，人教 A 版、人教 B 版、鄂教版均介绍了三斜求积术和海伦公式.人教 A 版还引用了法国天文学家用数学方法测量地月距离的历史事件（如图1）.北师大版设置了古希腊数学家特埃特图斯构造无理数的图形中解三角形的例题（如图2）.湘教版简要介绍了正弦定理的发展历史.总的来说，数学史料均以附加式或复制式融入教科书［3］.

1.3 例习题设置

习题作为数学教科书的一个重要组成部分，有巩固和深化新知、补充与延伸新知、综合运用新知、领悟数学思想方法、诊断反馈补救与育人等功能［4］.六版教科书的例习题设置情况如图3所示.

从例习题数量上看，苏教版总数高达72题，是其余五版的二至三倍；而北师大版习题最少，为24题.习题类型上，各版本都重视解三角形的训练，除苏教版外，其余五版该类题型均占比最大.而苏教版设置最多的是与三角形有关的实际问题，即运用正、余弦定理解决现实世界中的问题，这类问题往往涉及测量、航海等跨学科知识，具有较强的综合性，能够很好地培养数学建模素养.此外，正、余弦定理还可应用于判断三角形的形状、计算平面图形面积、证明平面几何性质，在各版本习题中均有涉猎，但侧重点不同.如人教 A 版约四分之一的习题是围绕平面几何的性质证明，其更注重对于逻辑推理素养的考查.

2  教学建议

2.1 联系现实融合史料，丰富问题情境创设

问题是数学的心脏.问题情境既为知识的掌握与运用提供了活动的背景，同时也是知识的习得和运用得以发生的活动场景和资源条件［5］.因此在学习过程中为学生创设具有思考性的问题情境至关重要.正、余弦定理具有丰富的情境素材可供教师选择. 一方面，正、余弦定理在测量学、力学、运动学、电学等方面有广泛的运用，以这些生活实际为情境保证了学生有相关的观念来理解问题［6］，让学生明白通过学习能够解决什么问题，更积极主动地把新知与已有认知结构建立联系.同时，将数学学习的价值指向现实世界，提升数学建模素养，符合《课标》中“能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题”的要求.

另一方面，正、余弦定理有着源远流长的历史.正弦定理早在公元150年左右就被古希腊科学家托勒密所知晓，而到10世纪才被阿布·瓦法证明；余弦定理最早在《几何原本》中作为勾股定理的推广而诞生，当下每版教科书都在使用的向量法证明却于20世纪60年代才出现.从应用上看，秦九韶的三斜求积术与海伦公式彰显着东西方学者对于数学孜孜不倦的探求，法国天文学家测量地月距离的史实印证着数学是科学研究中不可或缺的有力工具.这些饱含人文气息的史料素材均可化用为引入新课或拓展练习的问题情境，不仅能提升学习兴趣、活跃课堂氛围，还蕴含着丰富的德育价值，有助于立德树人根本任务的达成［6］.

2.2 促进关键知识生长，构建数学知识网络

正、余弦定理作为平面三角形中的重要定理，其证明和应用与前后知识点有着千丝万缕的联系.余弦定理可由勾股定理、圆幂定理、托勒密定理等推出，也可借助向量或坐标进行证明；正弦定理可借助三角形的高线、面积、外接圆，或引入向量、复数等进行证明.此外，余弦定理、正弦定理、射影定理之间也能够相互推导，并与三角形全等和勾股定理都密不可分.此外，运用正、余弦定理能够求三角形面积，推导出三斜求积术与海伦公式、三角形中线定理、平行四边形四边对角线平方和定理等.

以正、余弦定理为生长点构建出的数学知识网络，沟通数形，应用广泛.而数学知识网络体系是以数学问题为载体建立起来并不断充实、巩固、深化、扩张的知识网络［7］.在教学中可将这些相关性质以证明题的形式留给学生思考交流，再进行总结归纳，既能巩固正、余弦定理的掌握与运用，又能促进知识的迁移，强化前后知识的联系，帮助学生构建良好的知识结构网络.

2.3 聚焦探究启发思考，落实核心素养导向

数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程，承载着发展学生数学学科核心素养的重要使命［8］.六版教科书在正、余弦定理编排中均设置探究栏目，通过参与探究，学生能在已有认知的基础上完成对定理的自主建构，深化对定理的理解.正、余弦定理的探究过程蕴含数形结合、从特殊到一般等多种数学思想方法，对数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的提升大有裨益.

编者、学者、教师是教科书使用共同体［9］，因此教师在课堂教学之中对于数学探究的处理对达成教学目标、提升核心素养有举足轻重的作用.其一，应注重对学生的引导，让学习者主动参与“做数学”“学数学”的全程［10］.如：在教学中分析用向量研究三角形边角关系的背后逻辑（三角形的边与角涉及长度与方向两个要素，向量作为研究工具能够充分描述这两个要素）， 而并非因章节设置上属于“平面向量的应用”就理所当然将向量作为研究工具.其二，在探究活动中应强化“发现问题——提出问题——分析问题——解决问题”的基本过程，重视基本数学活动经验的积累，为数学真正应用于现实世界作出铺垫.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］  孔凡哲，张恰.教科书研究方法与质量保障研究［M］.长春：东北师范大学出版社，2015.

［3］ 汪晓勤，沈中宇.数学史与高中数学教学——理论、实践与案例［M］.上海：华东师范大学出版社，2020.

［4］ 吴立宝.中澳数学教科书习题比较研究——以人教版和HMZ8年级教科书为例［J］.数学教育学报，2013，22（2）：58 61.

［5］ 张琼，胡炳仙.知识的情境性与情境化课程设计［J］.课程·教材·教法，2016，36（6）：26 32.

［6］ 何小亚.建构良好的数学认知结构的教学策略［J］.数学教育学报，2002（1）：24 27，85.

［7］ 童水长.运用思维规律，构建知识网络——浅谈高中数学总复习［J］.数學教学研究，2002（2）：8 9.

［8］ 杨怡，梁会芳，张定强.“数学探究”研究二十年：回顾 经验 展望［J］.数学教育学报，2020，29（6）：40 45.

［9］ 李功连.教科书使用共同体：内涵、特征及实践［J］.课程·教材·教法，2021，41（12）：19 25.

［10］ 史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读［M］.北京：高等教育出版社，2018.

［11］ 李亚琼，宁连华.数学知识观视角下学习进阶的再审视［J］.课程·教材·教法，2023，43（7）：111 117.