情境·活动：在问题解决中提升核心素养

金鹏 张阿南

摘 要： 以“三角函数的周期性”的课堂教学为例，立足问题解决，通过创设丰富的情境，紧扣问题开展探究活动，引发学生思考，培养学生的探究意识和抽象能力，促进知识概念的自然生成，发展学生思维，逐步提升学生的数学素养．

关键词： 情境；思维；问题解决；核心素养

1  问题提出

2003年的高中数学课程标准已提出“提高数学的提出、分析和解决问题的能力”．2016年以来，“数学核心素养”备受瞩目，且大体已有定论，即包括思维方式、关键能力和通过数学活动培养品格三部分．［1］《普通高中数学课程标准（2017年版）》中明确指出：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质．”［2］

那么指向核心素养的数学课堂教学应如何进行呢？笔者认为，在高中数学教学中，要把数学知识与生活实际相联系，遵循学生的思维轨迹，通过创设适当的问题情境而让学生产生“冲突”，设置层层递进的问题来思考“冲突”，并在化解“冲突”中积累基本活动经验，以达到问题解决，提升数学核心素养的能力．本文以“三角函数的周期性”教学为例，对照新课标要求，深入思考，教学实践后进行了整理.

2  教学分析

2.1 内容分析

在这一章的学习中，三角函数的定义是研究三角函数的基础，单位圆中的三角函数线是研究三角函数的重要工具．由于周期现象一般与圆周运动有关，教材中选择用“圆周上一点的运动”这个简单又基本的例子作为研究对象（如图1［3］）．在本节课之前，教材中与之相似的图形前后共出现了30余处，可见其重要性．学生不断地围绕这个图形展开研究，引导学生逐步刻画、完善圆周运动的数学模型，构建问题解决模式．

本节内容是 § 7．3三角函数的图像和性质的第一节，主要内容是周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性．前面已经学习了二节内容，第一大节是角与弧度，第二大节是三角函数概念，后面将要研究学习三角函数的图象和性质及其应用，这就需要应用周期性来简化函数图象的作图，所以三角函数的周期性是研究三角函数图象与性质的基石，为后面的学习构建了范式．

2.2 学情分析

认知结构在迁移中起着决定性作用．从学生的知识储备与能力水平两个层面上来看，学生已经学习了三角函数定义，三角函数线，诱导公式，具有一定的抽象归纳能力，并掌握了数形结合、特殊到一般等数学思想方法．正是这些思想、方法、经验等影响着新的学习，需要我们去了解学生在前面的知识领域中认知结构的组织特征，如清晰性、稳定性、概括性等，从而间接地影响新的学习与迁移．同时，在学习本节内容之前，学生虽已经历过一些概念与定义的刻画，如函数的概念、单调性与奇偶性的定义等，但过程中却呈现不同程度的刻画水平差异与能力不足，如对函数奇偶性的定义中只关注了 f（-x）＝f（x）与f（-x）＝-f（x）这种代数表示，而定义中的“定义域”“任意的x∈A，都有-x∈A”等关键语言的提炼与刻画不完整、理解不到位．本节课，学生容易通过了解生活中的一些周期现象发现一些基本特征，但如何用数学的方式去思考周期现象以及概念的抽象素养均有待提高．

2.3 思路分析

本节课用学生比较熟悉的“周期现象”作为具体的问题情境，突出“建立刻画周期性现象的数学模型”的必要性，［4］按照“創设情境—学生活动—数学建构—数学运用”的程序，让学生经历数学建模的过程．同时，从以下三点关注教学的达成与学生的反馈：

一是学生根据生活经验感受周期现象中“循环往复的重复出现”这一变化规律的同时，能否用数学语言将规律中“每隔一定时间出现”“函数值就重复出现”精准的刻画并逐步抽象出函数周期性的定义．

二是周期变化的现象描述与模型刻画中如何培养学生的数学表达和交流能力及特殊到一般的归纳能力．

三是提醒学生重视学科之间的联系与综合，在学习相关内容时，注意运用三角函数来分析和理解，进一步培养学生发现问题、提出问题和解决问题的能力，并在应用与创新中从更深层面上认识到数学的科学、应用和文化价值.

为了使学生通过生活中周期性现象，抽象归纳函数周期性的概念，总结求解函数周期的一般方法，力图让学生通过“经历”“体验”达到“了解”“理解”的水平．

具体如表格：

3  教学实录

3.1 教学片段1—问题情境

情境1    ：（古诗欣赏）离离原上草，一岁一枯荣，野火烧不尽，春风吹又生．

情境2    ：（课件演示）摩天轮上任意一点转动一圈后回到原来的位置．

情境3    ：（实物展示）弹簧振子．

问题1     上面的几个例子有什么共同特征呢？

生：周而复始、循环、重复出现．

师：说得很好，这些都是按照一定的规律周而复始、循环、重复出现，我们把这种现象叫做周期性现象，你们还能在举一些例子吗？

教师先引导学生分析后，让学生找出生活中周而复始的现象如“日出日落”“寒来暑往”“四季轮回”“月亮从亏到盈的变化”“潮汐变化”等，进一步体验生活中的周期性现象．然后引导学生从数学内部进行探寻，如已经学习过的函数知识中是否有类似的周期性现象．

教学说明： 利用多媒体和实物展示引入3个问题情境，让学生体验周而复始、循环、重复出现的直观感受．而情境2与3又成为本节课自始至终的研究对象，充分体现数学来源于生活，又应用于生活.问题1的追问举例，将学生的感受进阶扩展，继续追寻生活中及数学本身更多的相似体会，激发学生的探究欲和求知欲．构建的“生活—数学—生活”这种解决问题的模式，为学生解决如何由实际问题抽象出数学问题及后续学习的思维迁移提供更好的帮助．

3.2 教学片段2—学生活动

探究活动1（通过情境2提出问题）

如图2，点P从半径为1的圆O上A点位置开始在圆周上按逆时针方向进行匀速运动，每4分钟转动一周．设点P 到A的距离为y，运动时间为t，记 y=f（t）．那么当点P每次回到点A位置时，你能发现什么？如何用函数形式表达？

生： f（0）＝f（4）=f（8）＝f（12）=…＝0．

师：P在其他位置呢？

生：无论点P从哪里开始，每隔4分钟，都会到达的相同位置．

师：又能得到怎样的函数表达式？

生： f（x）＝f（x+4）．

师：若点P按顺时针方向运动呢？

生： f（x）＝f（x－4）．

师：若T分钟运动一周呢？

生： f（x）＝f（x＋T）．

教学说明： 把情境2这一自然现象数学化，提炼出点在圆周上运动这个最基本的三角函数模型，再经过巧妙问题串联师生的合作讨论，使影响运动的元素与对应变化的数学对象显现出来，让学生在充分的形象和表象支持下发现周期函数的数学特征，感受观察、比较、分析、綜合、抽象、概括的思维过程有利于学生揭示数学本质、掌握周期的概念.问题情境与探究活动独具匠心，课堂的情境与问题、学生的情绪与思维相辅相成，互相助益，有助于教学过程完整而流畅，使课堂充满了兴趣、思维、情感和价值认同等核心素养的元素．

3.3 教学片段3—数学建构

问题2     如何用数学语言来刻画函数的周期性现象呢？

给学生一定时间进行讨论，这个过程很重要，要根据学生刻画的方向、描述的准确与否适时地给与引导，如前面学习过哪些类似知识，又有哪些类似的经验或方法：是否可以类比借鉴呢？从而引导学生一步一步归纳出周期函数的定义．

问题3     请你谈一谈对周期函数定义的理解．

给学生一定时间进行讨论，并看讨论的情况提出预设问题：

问题3 1     常数T有什么要求？

问题3 2      在活动1中，我们也发现 f（1）＝f（1＋2），那么能说明周期T＝2吗？

问题3 3     一个周期函数的周期有多少个？

问题3 4     是不是所有的周期函数都有最小正周期？

问题4     正弦函数 y＝ sin  x是周期函数吗？

探究活动2 观察三角函数线的变化规律，如图3，能否找到非零常数T，使  sin  x= sin （x+T）成立？

（给学生一定时间思考，引导对比诱导公式进行讨论，并根据讨论的情况提出预设问题）

问题4 1     余弦函数 y＝ cos  x是周期函数吗？若是，周期是多少？

问题4 2     正切函数 y＝ tan  x呢？

问题4 3     周期函数的图象具有什么特征？

问题4 4     你是如何想到的？

教学说明： 从本单元知识体系与相应核心素养进行整体性教学设计，研究函数的周期性时复习函数的奇偶性、单调性，充分调动、引导学生将新旧知识有机融合，同时引导学生思考诱导公式  sin （x＋2k π ）＝ sin  x的代数表达，把正弦函数线“周而复始”的变化规律从形上的图形认知与从数的角度如何代数刻画建立沟通的桥梁，这两点对学生理解和掌握周期函数的概念是十分有益的， 同时这种代数式的认识也为后面例2的研究做了很好的铺垫；对于定义的理解采用了问题链的形式引导学生合作探究，培养学生大胆猜想，敢于发表个人见解，学生在问题链的驱使下一步一步的探索解决问题的办法，提高类比归纳与演绎推理能力， 学会合作、探究问题．

3.4 教学片段4—数学运用

例1   回忆情境3中的实验，若弹簧振子对平衡位置的位移x（ cm ）与时间t（ s ）之间的函数关系如图4所示，求：（1） 该函数的周期；（2）  t=10.5  s 时弹簧振子对平衡位置的位移．

例2   求下列函数的周期．

（1）  f（x）= sin  x+  π  6  .

（2）  f（x）=2 sin  x.

探究活动3

求函数 f（x）=A sin （ωx+φ）及f（x）=A cos （ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0）的周期．

教学说明： 这节课的情境贯穿于整个课堂，支持了丰富的问题和探究的积极性．用情境3作为例1使整个教学过程充满了生机和活力，学生易产生共鸣和期待．例题来源于生活，贴近生活，又立足于数学，拉近了学生与数学的距离，产生了良好的情感.例2的解决中为什么要整体换元也将是一个难点，同时例2是为了第3个小问做的铺垫，使学生更容易掌握研究函数周期的方法，讲评时要强调函数的周期是针对自变量x而言．

4  教学感悟

4.1  创设恰当情境，提出合理问题，加深数学理解

本节课共设计了3个情境、4个问题．课堂教学中创设必要且恰当的情境有利于调动学生的学习兴趣和求知欲望，以梯度合理的问题链设计引导学生在思维的“最近发展区”进行思维活动，通过问题链形式进行教学深入浅出、融会贯通．所设计的4个问题，紧扣主题，层次分明，条理清晰，符合循序渐进的教学原则．而在课堂教学的过程中，并不满足学生答对问题，而是通过追问，检查学生的思考状况，了解学生的理解程度，捕捉可能出现的疑惑，及时矫正问题．［5］从学生的视角解决问题，不仅能让学生“知其然”，还能“知其所以然”，更要能“知何由以知其所以然”．通过问题3的思考既可以达到预设目标，又可以得到更多的“生成”，使學生建构起自己的数学理解，找到思维的起点和问题的本源，更好地把握数学本质，真正发展数学思维．

4.2  构建学习模式，形成思维结构，促进问题解决

问题解决是由一定的情境引起的，按照一定的目标，应用各种认知活动、技能等，经过一系列的心理操作，使问题得以解决的过程．深读教材及教学参考，挖掘编写者的设计意图，对本章的学习内容整体规划，厘清学习路径，构建“创设情境—学生活动—数学建构—数学运用”的学习模式，经历“一次次的提出、一次次的思考、一次次地修正、一次次地完善”的思维过程，对学生头脑中已有的周期表象与研究知识的经验不断进行整合、融合、更新、加工，用数学的方式提取和概括周期性现象特征和规律，揭示模型的本质特征和内部联系，构建问题解决的模式．让学生对函数周期性概念的内涵与外延认识得更加深刻．经历知识发生发展的过程，完善学生的思维认知结构，促进问题解决及概念的整体理解．

4.3  开展有效探究，引导自主建构，提升核心素养

本节课的3组探究活动均注重学生主体地位，教学的重心不是老师的教而是学生的学．在探究中问题3的提出是开放的，对答案没有限制，也没有刻意指示学生怎么探究．通过独立思考、小组讨论、代表发言、师生对话的形式展开探究教学，体现了课堂学习的自主性、过程性、实践性与开放性．同时，探究也不能流于形式，要充分考虑学生已有的认知，以学生的视角为起点，营造适合学生自主建构知识的氛围并创造条件，给学生的探究活动留足自由的时间，关注课堂生成特别是探究的方向、方式、进程等要素，动态调整，不断改变和重建教学预设，逐步完善个体知识的自主建构．在注重数学知识形成的过程中引发学生思维的共鸣和数学思维品质的培养，让数学核心素养在课堂教学中真正地落地生根．

参考文献：

［1］ 孔凡哲，史宁中．中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成途径［J］．教育科学研究，2017（6）：5 11．

［2］ 普通高中数学课程标准（2017年版）［M］．北京：人民教育出版社，2017．

［3］ 高中数学必修第一册［M］．南京：江苏凤凰教育出版社，2019．

［4］ 樊亚东，张乃达．高中课程标准实验教科书必修《数学4》（苏教版）教学问答［J］．中学数学月刊，2007（6）：16 17．

［5］ 金鹏．问题引领课堂 探究促进生成——“抛物线的标准方程”教学实录与反思［J］．中学数学月刊，2014（3）：42 44．