灵活思考、优化运算、规范表达

伏建彬

摘 要： 通过一堂解三角形的讲评课，运用不同方法解决问题，锻炼学生的思维．同时从思维定势、运算粗心、表达不规范三个方面暴露学生的错误，再共同分析，既提高了学生思维的灵活性，又防微杜渐，让学生减少失误，规范表达，提高了数学问题解决水平．

关键词： 三角形；思维；规范

三角解答题是高考数学试题中的一种基本题型，难度中等，多数学生能够顺利得到满分，然而每年总有一些学生因为思维定势、运算粗心、表达不规范导致失分或者直接做不出来.为解决这一问题，笔者通过一道高考试题的讲评课，从灵活思考、优化运算、规范表达三个方面让学生通过对比优化解题技能．

1  教学实录

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin  C．

（1） 证明： BD＝b.

（2） 若 AD＝2DC，求 cos ∠ABC．

（提前出示问题，课前批阅，第二天课上探究）

师：第一问的难度不大，相信大家能从不同的角度得到多种解法，谁先来展示一下？

生1：在△ABC中，因为BD sin ∠ABC＝a sin  C，由正弦定理  b  sin ∠ABC ＝ c  sin  C ，得BD·b＝ac.又b2＝ac，所以BD·b＝b2，故BD＝b．

师：嗯，不错，该同学是运用正弦定理统一到边的，能够展示必要的解题过程，书写表达也比较规范，这一问可以得满分.在批阅中发现部分同学没有写正弦定理或公式，有的同学没有将条件“BD sin ∠ABC＝a sin  C”写上去，还有的同学将∠ABC写成了∠B（适当投影展示，隐藏学生姓名），大家来评判一下，如果你是阅卷老师，要不要扣分？

生众：各抒己见，多数说不能得满分，要扣分，有的说不应该扣分，条件很明显．

师：以上的写法都是不合适的，解答题的回答就像写一篇说明文，要前后通顺，合理连贯，使读者能够一气呵成的看懂，而不是再带着疑问去查字典来进行分析、解读，站在阅卷者的角度来看，这是不现实的，因此要杜绝以上情况，本题还有其他解法吗？

生2：在△ABC中，因为b2＝ac，由正弦定理  b  sin ∠ABC ＝ c  sin  C ，得b sin ∠ABC＝a sin  C.

又BD sin ∠ABC＝a sin  C，故b sin ∠ABC=BD sin ∠ABC，故BD＝b．

师：好，该同学是通过正弦定理去边留角，思路清晰，表达规范，还有没有其他方法？

生3：由 BD· sin ∠ABC＝a sin  C，得 BD  sin  C = a  sin ∠ABC ，

在△DBC中，由正弦定理  BD  sin  C = a  sin ∠BDC ，

得  sin ∠ABC= sin ∠BDC，所以∠ABC与∠BDC相等或互补.

①  若∠ABC=∠BDC，又∠C=∠C，故△ABC与△BDC相似，

得  BD c = a b ，所以BD·b＝ac，

又b2＝ac，所以BD＝b．

② 若 ∠ABC与∠BDC互补，即∠ABC=∠BDA.又∠A=∠A，故△ABC与△ABD相似，以下同①．

师：该同学也是去边留角，不过他的立足点是△DBC，通过正弦定理及已知条件得到∠ABC与∠BDC相等或互补，再分别讨论，运算量稍微大一些.还是那句话：思维量增加，运算量就减少．这一问的易错点有如下四个，请大家引以为戒：1. 不抄写条件，不写正弦定理或公式；2. 正弦定理使用不恰当，如将方程一侧 sin  C直接变为c，另一侧不变化；3. 公式变形太复杂，步骤混乱，用时过多；4. 不少学生用分析法，格式不对，例如让证明 BD=b，有的同学先“假设BD=b”，则承认命题成立了，那就不需要证明了，其实这种假设只能用于反证法．再来看第二问，哪个同学先来回答？

生4：在△ADB中，由余弦定理可得  cos ∠ADB＝ BD2＋AD2－AB2 2BD·AD ＝  13 9 b2-c2  4 3 b2 ，

在△CDB中，由余弦定理可得  cos ∠BDC＝ BD2＋CD2－BC2 2BD·CD ＝  10 9 b2-a2  2 3 b2 ，

又因为 ∠ADB＋∠BDC＝ π ，所以 cos ∠ADB＝－ cos ∠BDC，

即   13 9 b2-c2  4 3 b2 ＝－  10 9 b2-a2  2 3 b2 ，即 11 3 b2＝2a2＋c2，又b2＝ac，所以6a2－11ac＋3c2＝0，

即 （2a－3c）（3a－c）＝0，解得a＝ 3 2 c或a＝ 1 3 c，

當 a＝ 3 2 c时，c＝  6  3 b，a＝  6  2 b， cos ∠ABC＝ a2＋c2－b2 2ac ＝ 7 12 ；

当 a＝ 1 3 c时，c＝ 3 b，a＝  3  3 b， cos ∠ABC＝ a2＋c2－b2 2ac ＝ 7 6 ＞1，舍去；故 cos ∠ABC＝ 7 12 ．

师：非常好，两个三角形的六条边都是已知的，∠ADB与∠BDC互补，很容易想到利用两个余弦定理得到a，b，c的关系，再结合 b2＝ac，轻松得解，该同学思路清晰，运算准确，表达规范，可以作为解题模板．再补充一句，本题两问互不影响，各自得分，第一问中由主干条件得出的结论可用，也就是说在第一问没有附加条件情况下，万一不会做也可以用其结论来做第二问．还有没有其他解法？

生5：我是在△ABC和△ADB 中两次使用余弦定理来表示 cos  A，得到 6a2－11ac＋3c2＝0，結合b2＝ac得解．

生6：也可以在△ABC和△BDC 中两次使用余弦定理来表示 cos  C，再结合 b2＝ac得解．

师：以上两位同学的思路都很好，都是利用余弦定理得到一个等式，再结合 b2＝ac，得到三边关系，再用某一边来表示另外两个边，得解，这是一般的解决方法，称为通法.平时大家解题要注意总结提升理论水平，再用理论来指导实践．

生7：因为 AD＝2DC，所以BD ＝ 1 3 BA ＋ 2 3 BC ，所以|BD |2＝  1 3 BA ＋ 2 3 BC  2＝

1 3 BA ＋ 2 3 BC  2，

即 b2＝ 1 9 c2＋ 4 9 a2＋ 4 9 ac cos ∠ABC，所以 cos ∠ABC＝ - 4 9 a2- 1 9 c2+b2  4 9 ac ＝ －4a2－c2＋9ac 4ac ，

在△ABC中，由余弦定理及 b2＝ac，得 cos ∠ABC＝ a2＋c2－b2 2ac ＝ a2＋c2－ac 2ac ，

所以  －4a2－c2＋9ac 4ac ＝ a2＋c2－ac 2ac ，即6a2－11ac＋3c2＝0，得a＝ 3 2 c或a＝ 1 3 c，

当 a＝ 3 2 c时， cos ∠ABC＝ a2＋c2－ac 2ac ＝ 7 12 ；

当 a＝ 1 3 c时， cos ∠ABC＝ a2＋c2－ac 2ac ＝ 7 6 ＞1，舍去，故 cos ∠ABC＝ 7 12 ．

师：嗯，利用向量来处理也可以，回想一下我们正是利用向量来证明的余弦定理，该同学对向量把握的较为熟练，还有其他方法吗？

生8：由 BD· sin ∠ABC＝a sin  C，得 BD  sin  C = a  sin ∠ABC ，

在△DBC中，由正弦定理  BD  sin  C = a  sin ∠BDC ，

得  sin ∠ABC= sin ∠BDC，得∠ABC与∠BDC相等或互补.

① 若 ∠ABC=∠BDC，又∠C=∠C，故△ABC与△BDC相似，

得  BC AC = CD CB ，即 a b =  1 3 b a ，故b2＝3a2.

又b2＝ac所以c＝3a， cos ∠ABC＝ a2＋c2－ac 2ac ＝ 7 6 ＞1，舍去；

② 若∠ABC与∠BDC互补，即∠ABC＝∠BDA.又∠A=∠A，故△ABC与△ABD相似，得 BD BC ＝ AC AD ，即 b a = b  2 3 b .又b2=ac，所以 a＝ 3 2 c， cos ∠ABC＝ a2＋c2－ac 2ac ＝ 7 12 .

师：该同学利用正弦定理得到∠ABC与∠BDC相等或互补后，利用三角形相似来得到三条边的关系，简便又易懂，也是非常好的，其实也可以用余弦定理把这两个角的余弦表示出来，进而得到三条边的关系，这种方法也是容易想到的，还有没有其他方法？

生9：设 CD=m，得AD=2m，BD=3m，∠ADB＝θ， 在△ADB中，c2=4m2+9m2-2·2m·3m cos  θ，

在△CDB中， a2=9m2+m2-2·3m·m cos  （ π -θ），得到c2+2a2=33m2，由b=3m，结合b2＝ac，得c2+2a2= 11 3 ac，得a＝ 3 2 c或a＝ 1 3 c，同样舍去一种情况，得到 cos ∠ABC＝ 7 12 ．

师：好，这一问涉及余弦定理的应用，考查同学们分析问题、解决问题的能力以及计算能力，要注意以下易错点：

（1） 部分学生选择角B，用两角和的余弦建立等量关系，由于计算量较大无法确立a，c关系．

（2） 不会齐次式 11b2＝6a2＋3c2的因式分解，导致不能得满分．

师：希望大家要有目标意识以及“迂回”解决问题的意识，对复杂问题，要从另外的角度使用条件，同时要加强计算能力的提升，如齐次式的因式分解，养成独立计算的良好习惯，下面请大家再来练习一道高考题：在△ABC中，已知 AB ·AC =3BA ·BC ． （1） 求证：  tan  B=3 tan  A；

（2） 若  cos  C=  5  5 ，求A的值．

2  教后反思

高考中的三角解答题大都涉及正弦定理、余弦定理、三角形中的边、角的性质、两角和与差的三角函数等知识点，还可能会涉及到平面向量的知识.要想得满分，要灵活思考、优化运算和规范表达，这三者缺一不可．

2.1 灵活思考

很多学生在拿到试题后，没有仔细审题就做，思路单一，一条胡同走到底，钻牛角尖，导致考试失利.比如在上面练习题的第一问中，学生都能利用数量积、正弦定理和同角三角函数关系式得出证明，第二问却难住了很多学生，这部分学生由于平时习惯了遇切化弦而导致思维定势，又没有注意第一问的指路作用导致思维受阻，直接影响后面的答题进度.其实出题者意图是由  cos  C=  5  5 求出 tan  C，再由三角形内角和，得到 tan   （A+B），从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A=  π  4 ．

这就要求学生在分秒必争的高考中，绝不要一条胡同走到底，要大胆发散思维，敢于换角度思考问题.再看一题：“在边长为5、7、8的三角形中，求最大角与最小角的和”.多数学生拿到题后，求最大角与最小角的余弦、正弦，由于结果非特殊值而导致运算繁杂，也有一些学生换一个角度，通过求中间角的余弦值得到中间角为60度，从而轻松得解为120度．这些例子告诉我们，多角度考虑问题找到最佳路径至关重要.笔者在每次考试前都会送给他们迎战考试的三大法宝：① 默读三遍题目；② 善于运用数形结合思想；③ 多角度考虑问题.即在拿到试题后首先要浏览试卷，做到心中有数，要善于数形结合、多角度、灵活解题，如果一种方法受阻了，换一个角度也许会柳暗花明．

2.2 优化运算

数学离不开运算，三角题也不例外，但不是硬算蛮干，而是需要细心、耐心和智慧.不少学生由于基础知识不牢固导致浮躁，进而看错、抄错、算错，导致丢分.其实运算能力是以知识为基础的，只有基础知识掌握牢固的同学，在养成平时独立解题的习惯后，才有可能养成优化运算的好习惯.