突出数学本质，注重探索发现

张静

【摘要】继“问题的解决”之后，“数学理解”已成为世界数学教育界如今所关注的又一中心话题.笔者基于英国数学教育家R·斯根普提出的两种数学理解模式，对“正弦定理”教学进行了实践.阐明教师如何教会学生自主合作探究，如何让学生亲历数学知识的形成和发现过程，从而突出数学本质，培养学生的创新意识，激发学生对数学知识探索.

【关键词】数学理解；正弦定理；教学设计

一、正弦定理教学实践及评析

（一）创设情境

映入眼帘的是雄伟的天山（新疆的象征）（教师展示PPT），但天山也给南北疆的交通带来了不便.如果我们想纵横天山修一条隧道，就需要取得相关的数据，这些数据有些是可以测得的，有些数据是要通过计算获得的，怎样准确测量，又怎样计算？今天我们将要学习的正弦定理，将有助于这类问题的解决.

【设计意图】通过创设学生熟悉的问题情境，引发探究新知的欲望，学生认识到，数学和我们的生活是息息相关的.

（二）正弦定理的发现

1.第一次发现

问题1：下面请同学们看日常生活中我们常见的一个问题，房屋与地面的距离为3 m，要对屋顶进行维修，需要沿着与地面成40°夹角的梯子登到屋顶上，请大家思考，梯子长至少为多少米？如何用数学语言来描述呢？

针对问题1师生活动如下：

生：用3比sin40°，这个问题其实是解直角三角形.用符号语言可以表述如下：已知，在△ABC中，B=40°，C=90°，b=3 m，求c.

师：很好，其实这个生活中的小问题就是我们数学中是已知△ABC的“角角边”，要求其中一角的对边.请同学们进一步思考下面的问题.

问题2：由于地基不稳，房屋发生了倾斜，墙面与地面夹角为93°，需要沿着与地面成40°夹角的梯子登到屋顶上，大家想想梯子长至少为多少米？

师生活动如下：

师：你来说说，你想到什么办法算出梯子的长了呢？

生：这个题和刚才一样，也是解三角形，可以先把他转化成数学模型，只不过……它不是直角三角形，我不知道怎么办了.

师：转化成数学模型即，已知在△ABC中，B=40°，C=93°，b=3 m，求c=？请大家对照图1，h是我们房屋……

生：老师，我知道啦！和第一个问题一样，首先c=hsinB，而h是未知的，所以再用一次解直角三角形，sin∠DCA=hb，就可以求出h，h=bsin∠DCA代入c=hsinB=bsin∠DCAsinB，就算出来了.

师：真棒！这个式子左边是一边，右边是比值的形式，并且有边有角，大家能不能整理一下，让这个式子清晰、明了？

（很快，有学生说，可以cb=sin∠DCAsinB，有學生说，csin∠DCA=bsinB）

师：大家说的都很好，我们可以把上面的式子化成是等号左右两边对称的式子，你认为哪一种更美、更对称呢？

生：第二种，第二种更对称.

问题3：好，我们也可以把上式写成csinC=bsinB.请同学们猜想一下，在一般三角形中这个性质成立吗？

师生活动如下：

师：无论成立不成立，是不是要通过证明呢？谁来说说，我们要证什么？

生（齐声）：asinA=bsinB=csinC.

师：很好，也就是说，我们需要证明asinB=bsinA，asinC=csinA（一边放ppt）.

生：哦，asinB，bsinA均表示△ABC的边AB上的高，从而asinB=bsinA成立.

师：很好，我们用同样的方法，也可以证明asinC=csinA成立.所以我们说在任意角形中，都有asinA=bsinB=csinC.

【设计意图】教师没有开门见山地将定理的内容告诉学生，而是借用锐角三角函数，通过实例中地基变化将直角三角形中的问题，自然地引申到任意三角形中，并逆向使用这个过程推得定理.通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明过程，使学生感受“类比—猜想—证明”的科学研究问题的思路和方法.同时引导学生发现正弦定理在形式上具有对称美.

2.第二次发现

问题1：我们知道，在直角三角形ABC中，边和其所对的角的正弦值之比的几何意义是斜边c.那么在一般的三角形中，我们猜想，边和其所对的角的正弦值之比是否也等于某一固定值，并且也具有某种几何意义呢？

师生活动如下：

师：我们试想，在一般的三角形中，也存在与之相应的比值k使asinA=bsinB=csinC=k，那么请同学们考虑一下这个固定的比值k是由△ABC中那些元素唯一确定呢？

生：由△ABC的一条边和一个角确定的.

师（追问）：哪个角呢？

生：这条边的对角.

师：很好，那么请大家思考当△ABC的一条边及其对角的大小确定时，这个三角形的形状是不是唯一确定的？

生：不确定.

问题2：显然当△ABC的一条边及其对角的大小确定时，这个三角形的形状并不是唯一确定的.请大家观察大屏幕（演示课件），同时请大家思考思考：当△ABC的一条边BC的大小和位置固定，并且其对角A的大小也确定时，这个三角形的形状会发生什么样的变化？顶点A的轨迹是什么呢？

生：会随着顶点A的位置的变化而变化，A由低变高，再变低，我猜A的轨迹可能是一条圆弧.

生：对，可以利用角A确定，BC边确定，根据BC边所对的角A是相等的，而在圆中同弧所对的圆周角也是相等的.

师：很好，我们来看大屏幕，顶点A的运动轨迹是一段圆弧.请大家结合三角形的这个外接圆思考，这个比值k等于什么呢？（演示课件）

生：当顶点A运动到△ABC是直角三角形时，这个比值k正好是这个三角形外接圆的直径.

师：很好，和刚才发现正弦定理一样，我们通过类比直角三角形，又获得了一个重要的发现：asinA=bsinB=csinC=2R.

【设计意图】本设计中教师重视引导学生通过观察、类比、归纳、实验、检验，从而让学生自然而然地理解正弦定理的比值为什么等于外接圆的直径.

（三）正弦定理的应用及小结

下面我们就用正弦定理来解决上课开始提出的问题.

为了测定天山某预修隧道A地到C地的距离，在其附近选定1公里长的基线AB，并测得B=120°，C=45°，如何求A，C两点的距离？（请学生思考并回答.）

学生总结：1.应用正弦定理可以解决什么样的三角形问题？

2.本节课你学到了哪些数学思想方法？

思考题：1.“已知三角形的三条边（SSS）或边角边（SAS），如何求其余边与角？”

2.课后利用网络资源，查询数学史上，数学家是怎样发现正弦定理的.

【设计意图】通过学生总结本节课的两次知识发生的过程，使学生头脑中形成关于本课内容的一个清晰的知识结构，同时体会归纳—类比数学思想的认识.提出的思考，即对所解决的问题进行变式，为后面要学习的余弦定理作铺垫.补充让学生查询正弦定理发现的历史过程，可以促进学生全面、系统地理解正弦定理.

二、几点思考

综观上述案例，突出数学本质，促进学生探究发现方面，有以下三点精彩之处.

（一）在课堂中培养学生发现美、创造美的能力，让学生在学数学的过程中发现数学的美

案例中教师通过引导学生感受任意三角形中的正弦定理具有的對称性，使学生认识到数学中的对称和和谐无处不在，从而加深学生对数学美的认识.

（二）注重数学定理的形成过程，让学生亲历知识“再发现”的过程，深刻认识数学的本质

本节课最后，教师布置学生利用网络资源查询数学家发现正弦定理的发现，这其实是数学史在数学课堂中的隐性渗透，不仅可以加深对于正弦定理的理解，激发学生学习数学的兴趣，更重要的是，帮助学生更好地体会数学定理的产生和发展过程，认识到数学发展既有来自数学外部的实际需求，也有来自数学内部逻辑理论的需要.

（三）注重数学思维的培养，培养学生独立思考的能力

在该教学设计中，教师通过不断刺激学生的认知结构，使得学生根据问题情境进行自我组织，通过自己探索发现，最终顺理成章的发现正弦定理并得到正弦定理的比值为2R.培养了学生思维的灵活性、深刻性和创新性，并在发现过程中体验了成功的愉快感.

三、基于R·斯根普提出的“数学理解类型”对本节课的再思考

R·斯根普认为，学生在学习数学知识的过程中，通常有两种含义迥然不同的数学理解模式：工具性理解和关系性理解.就数学知识的学习而言，斯根普明确指出，更多的理解应当定位于“关系性理解”即最终我们应当让学生获得的是“关系性理解”.

通过教学实践发现，高中数学课堂中，“工具性理解”的教学形式是比较容易获得明显的教学效果，却对数学思想、数学思维方法、学生的情感关注度较少，不利于学生在数学学习中知识迁移的发生，也不利于他们对整个知识体系的掌握和理解，更不利于其长期数学能力的培养和提高.但数学中更多带有普遍意义的是概念、定理形成的背景、数学思想方法、数学思维过程、问题解决与知识间相互关联的实质，这些往往都可以通过“关系性理解”的教学方式来学习，这对学生弄清楚概念、定理、命题的来龙去脉，真正理解数学知识的本质及长远的数学学习是有益的.