数学教材多维解析与知识体系建构下的教学

陈晓蓉 徐章韬

【摘 要】人教版高中数学教材经历了多次更新换代，作为沟通几何与代数的重要桥梁——解三角形知识在其中的编排位置也发生了一系列的变迁。由于教材编写过程中需考虑的因素众多，新教材改变了旧教材定理推导时所用的几何法，在编排上加强了与向量的密切联系，改进了旧教材知识割裂的许多不足。在教学过程中，教师要站在更高视角看待知识，构建简明的知识体系，让学生既感受到向量的工具性价值又能体会几何法的优美，领悟数学独特的魅力，实现育人的根本目的。

【关键词】教材；解三角形；向量；几何

一、引言

解三角形内容在教科书上的历史编排一直都在演变更新，既有编排在初中阶段，利用平面几何的方式得到的，也有编排在高中阶段，利用向量法、坐标法等方式推导得到的。有编排在三角函数章节之下的，也有编排在平面向量章节之下的，还有单独成章节的。这些编排的方式可以拓宽我们看待解三角形的视野，但有的教师也会对此感到困惑：解三角形内容究竟应当编排在哪比较合理？本文将从教材编写的角度分析解三角形，并通过建构解三角形的知识体系，探究解三角形的本质和定理推导，从教学论上提出教学建议，为教材编排和教师教学提供参考。

二、从教材编写角度分析解三角形

教材的编写往往要有全局观念，考虑的因素众多，会遵循一些内在的逻辑：第一，知识逻辑的角度。在各个学科领域下，知识的发生、发展以及演变的过程会成为教材编写的内在逻辑，表现出来的形式为教材编写遵循了顺序性原则、连续性原则、整合性原则、关联性原则等多方面，知识由浅入深，从易到难。第二，心理逻辑的角度。在学生认知水平下，不断扩大其最近发展区，遵循学生思维的自然性，让学生对接受新知识产生学习兴趣的导向来编写教材。第三，数学史的角度。数学概念和定理形成过程的历史脉络非常漫长，将丰富的史料融入教材的编写中，成为课程改革的新视角。第四，教育教学的角度。将前三者结合，这不仅考虑到学科自身的逻辑性和科学性、知识的历史发生、发展过程，还考虑到学生学习的认知水平。

（一）从知识逻辑的角度看

中学的几何与代数是通过研究三角形的边角关系来入门的，通过初步定量研究直角三角形的边角关系，学习了锐角三角函数。初中的数学在几何图形的研究上偏向于定性研究，只有少部分的定量研究。解直角三角形的学习，为高中阶段进一步研究解任意三角形奠定基础，这种编排符合螺旋式排列方式，通过让教材内容的基本原理反复出现，又逐步扩展，不断扩大学生的最近发展区，加强学生对解三角形的能力。高中阶段通过进一步学习任意角三角函数等知识，借助向量工具对任意三角形的边角关系进行定量研究，得到正弦定理和余弦定理，利用两个定理解决任意三角形问题，这是研究三角形内容的逻辑脉络。作为定理推导强有力的工具，向量在教材中被编排在解三角形之前，目的是让学生掌握平面向量的运算，培养学生用向量的眼光看数学，用向量法解决几何问题的能力。

教材将解三角形内容编排在高中阶段并且用向量法来推导正余弦定理，主要有两方面的原因：一是引入向量进行推导余弦定理，不仅使推导过程更加清晰易懂，而且比几何法更加简洁有效，同时体现了向量与三角的密切联系。二是向量在中学数学中具有重要的地位。在解析几何领域，通过向量的学习，将几何与代数统一起来，实现了直观几何关系的代数化以及抽象运算的直观化，就连坐标系的拓展都可以依照向量基底的角度进行研究，为解析几何与线性代数的研究提供主要工具。

作为沟通几何与代数的桥梁，三角可以看作是向量的投影。正弦可以看作将正方形“拍扁”成菱形时面积所打的“折扣”。若将这种“折扣”的观念运用到向量的分解上，就可以将正弦和余弦看作向量在两个坐标轴上的投影在向量模长上所打的“折扣”［1］。在空间的各种性质中，对称性和平直性是两个最基础也最重要的性质，是立体几何学习的起点和基础，体现在平面几何中就是投影，即点在直线上的射影、三视图等都是投影形成的。以此作为支架看待两个定理可以发现其中的联系。投影的概念与向量在三角形边上的分解运算异曲同工。若在此观点上看待三角学，则可以看出向量与三角有着千丝万缕的联系。

从知识的整体性来看，正弦定理和余弦定理是向量应用的典型案例。c2=（a-b）2=|a|2+|b|2-2|a||b|cosC，将向量看作数就是余弦定理，当C为直角时就是勾股定理。因此，将解三角形内容编排在平面向量之下，不仅加强了几何与代数相关内容的紧密联系，而且在建立起向量运算的体系后，将几何问题转化为向量问题进行解决，丰富了向量的运用，让学生体会从“形”到向量的过程，为后续解决平面几何和立体几何问题打下基础。由此可见，将解三角形内容编排在平面向量之下是不错的选择。

（二）从心理逻辑的角度看

在人教版数学教材的历史变迁中，可以发现早期的教材中解三角形的内容很多，包括了正切定理和半角定理等知识，有用对数表来推导正弦和余弦公式的情况，对“ASA”和“SSS”两种情况解三角形的证明都介绍了两种方法。后来，教材的解三角形内容逐渐减少，仅保留了解三角形的基础知识，只介绍正弦定理和余弦定理兩个定理，不做其他定理的介绍，并且两个定理的推导方法都仅介绍了一种。教材的这种编排方式考虑到了正弦定理和余弦定理的重要性以及定理之间的互相推导过程，教材的编写更趋于简洁扼要，更加突出核心重点知识，同时也考虑到学生学习的认知发展规律。正切定理和半角定理的知识内容对学生而言，难度很大，在解决一些常见问题上，两个定理的运用并不频繁。为了减轻学生学习的负担，让学生掌握简洁有力的重要工具，教材最终精简成只介绍正弦定理和余弦定理。

新教材在编排上将余弦定理排在前面，正弦定理排在后面。从两版教材的编排顺序差异中，也可以看出新教材编写对心理逻辑的考虑。通过三角形全等的判定可知，余弦定理主要解决的是“SAS”和“SSS”的问题，而这两类问题都是确定的，都有唯一解。正弦定理解决的问题中“已知两边及一边对角”这种情况的解并不是唯一的。新教材按照先确定性再不确定性的思路编写，更加符合学生的心理认知发展规律。另一方面，向量法推导正弦定理比余弦定理的难度更大，步骤更多，为了适应学生由简到繁的学习心理，故将正弦定理安排在余弦定理之后介绍。

（三）从数学史的角度看

在所有的平面图形中，三角形是最简单、精要的平面几何之一。三角学有着悠久的历史，作为可以反映三角形边与角关系的两个定理——正弦定理和余弦定理的历史发展过程也十分漫长［2］。将丰富的史料与基础知识进行融合，可以使学生在回顾历史中深入思考，更好地理解数学过程和思想方法。

起初，希帕克斯将三角形作为某个圆的内接三角形，从而三角形的边就成了圆上的弦，于是研究边就可以转化成研究弦所对的弧。后来托勒密编制了精度高但复杂的弦表，随后正式提出了正弦的概念。阿拉伯学者阿布·瓦法最早提出了正弦定理，并用球面三角形加以证明。纳绥尔丁·图西则利用平面三角形来证明正弦定理。1571年，韦达利用外接圆的方法来证明正弦定理。1748年，欧拉将正弦定理与外接圆相脱离，从不同视角呈现出正弦定理。后来，正弦定理证明方式开始多样，包括“辅助直径法”“解析几何法”等［2-3］。目前旧教材中的正弦定理由作高法推导，新教材则采用向量法。从正弦定理证明方法的历史发展来看，用几何法推导更加自然。

余弦定理的起源则要追溯到欧几里得的《几何原本》中，著作命题给出了钝角和锐角三角形的三边之间的关系，利用勾股定理推导出余弦定理。之后，韦达借助圆给出了证明余弦定理的另一种几何形式，并首次提出余弦定理。19世纪的数学家们推导余弦定理主要有四种：利用几何命题、欧几里得法，利用射影公式法以及利用和角公式与正弦定理推导。在这一时期，韦达定理逐渐淡出历史舞台，取而代之的是三角形式的余弦定理［4］。1942年，库尔提斯首次利用平面直角坐标系的方式来证明余弦定理［5］。1951年，荷尔莫斯利用解析几何的方法来证明余弦定理［6］。而后，随着向量引入中国，国内的许多教材和著作开始使用向量法证明正弦定理和余弦定理。目前现行的中学教材中，余弦定理的学习就是采用向量法进行推导的。从历史发展的脉络上看，几何法经历了更为漫长的发展过程，余弦定理由几何而生，依赖于几何的背景。在此之后孕育的坐标法、解析法和向量法都成为新型工具，虽然简化了余弦定理的证明过程，是余弦定理在推导上的改进，却缺乏了历史的厚重感，因此，教材还可以设计课后阅读部分将此历史发展呈现出来。

（四）从教育教学的角度看

夸美纽斯提倡，作为培养“人”的教育要遵循自然逻辑的顺序以及学生的认知发展规律。新教材体现了从定性到定量的刻画，教材通过“SAS”定理的代数化，类比向量的数量积公式，从而推导余弦定理。这种推导方式固然是“自然”且简洁的，但在推导正弦定理时，先利用直角三角形的特殊性猜想出正弦定理，再利用向量法来证明其一般性。这个推导过程相对而言就没那么“自然”，并且向量法证明正弦定理的过程相对繁琐，这让许多一线教师在开展教学时遇到诸多困难。

然而，教材的编写虽然要遵循“自然”原则，但也不能作为唯一的标准。运用几何法来推导两个定理看似“自然”，却错失了引导学生更加熟悉向量法、更频繁使用向量法的机会。在实际教学过程中，教师要有发展的眼光，不能因几何法的自然就排斥向量法的工具性价值。新课标将解三角形和平面向量都设为几何与代数的内容，不仅加强了相同主题知识的联系，也为向量的应用提供了一个重要的载体。在利用向量解决几何问题的同时，构建三角形完整的认知结构。几何视角下的三角形具有物理力学性质，能在水平与竖直方向上进行分解，这与向量的运算不谋而合。向量是不依赖坐标系的解析几何，放在三角形的边角问题上可以简化运算，引导学生运用向量法有助于学生数学素养的提升，可以在今后解决几何问题中开拓思路。教材在编写的过程中要兼顾各方面的因素，要考虑整体单元下的教学模式，培养学生形成“向量”意识。从现代数学的发展视角上看，几何法难以再有新的突破，而解析几何、向量几何的发展方兴未艾，在此背景下，教材力求培养学生形成向量眼光，渗透向量思想。因此，数学教材在更新换代的过程中强化了向量价值，在基础知识中加入向量法推导，目的是培养学生体会向量的力量。教材是为教学服务的，教师则要有教育的眼光，在教材的演变发展过程中，教师也要与时俱进。新旧两版教材对正弦定理和余弦定理的介绍是分先后进行的，并且独立推导而成。旧教材的两个定理推导方式不同，虽然遵循了从易到难的方式，但也在一定程度上忽视了知识的一致性和探究性。

从一致性来看，两个定理的证明方式是一脉相承的。从向量角度看，两个定理都可以从a=b+c这个向量等式出发，再通過向量的数量积进行运算，从而实现“向量”向“数量”的转化，只是具体的运算方式不同。而利用几何法进行定理推导时，则都可以通过作高的方式证明，仅仅是建立等量关系的方式不同。因此，从教育逻辑的角度上看，两个定理的证明运用同种方式可以保证知识的一致性，增强知识内化的程度。

从探究性上看，教师在开展教学时，后面一个定理的推导就可以仿照前一个定理推导的过程，让学生自主探究，这样不仅可以合理地分配教学时间，还能够培养学生知识迁移的能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。当然，并非运用向量法证明两个定理就意味着将其他的证明方式舍弃，教材是承载知识的半成品，还需要教师结合实际情况，设计合适的课堂活动。向量法简洁直接，具有发展性，而几何法更具直观性，因此，教师可以合理引导学生课后探究多种证明方法。

三、知识体系下解三角形知识与教学

课程教材的选择、组织要考虑诸多因素。如何在历史、逻辑、心理、原理、技术等方面综合考虑的前提下，构建简明的知识体系，是教学需要深度思考的问题。如果这些问题不考虑清楚，就无法有效地提高课堂的教学效益。

（一）关于解三角形的知识体系

1.探究解三角形的本质

三角形和圆是平面几何的重要研究对象，而从拓扑学来看，两者是一回事。用解析的方法研究三角形，形成射影定理、正弦定理和余弦定理；用解析方法的方法研究圆也得到了一系列的有关结论。那么，三角函数的知识体系和解三角形的知识之间究竟是怎样的关系？解三角形是单列一章好，还是与向量合为一章，或是与三角函数融为一章，作为三角函数的应用？如果知识体系没有研究清楚，解三角形似乎放在哪里都可以。为了使学生学得轻松和深入，有必要重新梳理解三角形的知识体系。

只有明确了解三角形的知识体系，才能确定教材合理的编排顺序。解三角形是平面几何中非常重要的研究对象，可以说，解三角形就是三角形的解析几何，构成了平面解析几何的基础，若利用投影的角度可以得到构成解三角形的定理内容。射影定理、正弦定理、余弦定理及两角和与差的正余弦公式是解三角形的重要工具，从投影的角度把它们放在一个优美的体系中。

如图1，若将三角形的边AB和边AC都向水平方向投影就能得到射影定理a = b cos C+c cos B。若将三角形的两边向竖直方向投影，则能得到[bsinB]=[csinC]，从而得到正弦定理[asinA]=[bsinB]=[csinC]。

射影定理经过变形转化，用边表示就可以得到余弦定理，用角表示就可以得到两角和的正弦公式。

由射影定理a = b cos C+c cos B，同理可得

三个式子左右两边同时乘等式左边的式子则可得

从而得到余弦定理[a2=b2+c2-2bccosA]。

若对射影定理a = b cos C+c cos B，利用正弦定理[asinA]=[bsinB]=[csinC]将边化为角，再根据三角形内角和定理A+B+C= 、诱导公式 [=sinA]，即可得两角和的正弦公式sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB。如果再结合两点间的距离公式，还可将两角和的正弦公式与余弦定理相互转化。射影定理、正弦定理和余弦定理这三者中，任意两者相结合，都可以得到另外的一个定理，表现出它们在逻辑上的等价性。这意味着，若以投影形式展现，则解三角形知识可以形成一个知识体系，如图2所示。

2.定理证明的方法

解三角形知识在教学中的定位应该是以三角形为基础，通过对正弦定理和余弦定理的学习以及实际应用，让学生建立起解决几何问题的知识体系。學生通过从解决特殊的几何图形过渡到解决一般几何图形的过程，形成解析几何的方法和视角，培养数学建模的核心素养。其中，定理的证明就是使学生建立认知系统的典范。在定理的证明中，可以采用的方法很多，可以从几何的角度证明解三角形的各种定理，主要有面积法和圆法；也可以从向量的证明解三角形的各种定理；还可以从坐标的角度证明解三角形的各种定理，主要有解析坐标法、向量坐标法和复数坐标法等。不同的证明方式体现了不一样的视角和思想。

（1）几何法证明

几何的证明主要表现了方和圆的张力。“方”法是指借助正方形的面积，“圆”法是指圆中的托勒密定理。

①正弦定理：由三角形面积公式[S△ABC=12absinC][=12bcsinA=12acsinB]，各项同时除以abc，即可得正弦定理[asinA]=[bsinB]=[csinC]。

②余弦定理：在三角形的三边上分别向外作正方形，由点A作底边BC的高，把BC边上的正方形分割成两个小矩形，这样就有a2 = ab cos C + ac cos B，化简得a = b cos C + c cos B，在其他两边上也如此操作，得到余弦定理。如图3所示。

正方形面积法在代数形式上化作了勾股定理，如果用勾股定理，有b2=（c sin B）2 + （a - cos B）2，也可得到余弦定理。

③两角和的正弦公式：由面积相等[S△ABC=][S△ABD+S△ACD]，即得[12bcsinA=12bcsinCcosB+][12bcsinBcosC]，化简可得两角和的正弦公式。

正方形与圆之间有张力。既然“方”法能证明上述定理，“圆”法也能证明上述定理。以下为利用圆证明几个定理的方式。

①正弦定理：如图4，在圆中很容易证得，并且有[asinA]=[bsinB]=[csinC]=2R。

②余弦定理：如图5，在圆中构造等腰梯形，可得CD = c + 2bcos（ -[θ]），结合托勒密定理AB·CD + AC·BD = AD·BC，易得余弦定理。

③射影定理：如图6，由托勒密定理2R·BC = AB·2R cos B + AC·2R cos C，即得射影定理。

④两角和的正弦公式：如图7，由托勒密定理，AB·CD + BC·AD = AC·BD，代入相关的数据，得到两角和的正弦公式。

解三角形的相关知识其实是三角形全等的量化表达，因此能够在平面几何的框架内得到较为圆满的证明。

（2）向量法证明

①余弦定理：利用三角形的内角和为 ，根据向量的概念有[BA+AC=BC]，这是从几何意义的角度利用向量刻画三角形。利用向量的数量积将两边平方，即可得余弦定理。

②正弦定理：一方面用向量法推导正弦定理可以分类讨论，即人教版新教材中所给的方式，利用单位向量和垂直向量的性质，将三角形分成直角三角形、锐角三角形和钝角三角形的证明方式进行推导，用高所在的向量对等式两边作点乘得正弦定理；另一方面，根据向量叉乘的几何意义，有[a×b=b×c=c×a]，展开后可得正弦定理。

③射影定理：对[BA+AC=BC]两边同时点乘[BC]，化简可得射影定理，或用高所在的向量对等式两边作叉乘也可得射影定理。

向量法推导余弦定理和射影定理的方式十分简洁，但也存在一定的抽象性，在正弦定理的推导中，由于中学阶段未涉及向量叉乘，因此证明方式更偏向较为繁琐的第一种方法。

（3）坐标法证明

从坐标的角度证明，可以采用解析几何意义上的坐标、向量意义上的坐标及复数意义上的坐标进行证明。

20世纪90年代，教材采用解析几何的坐标证明了余弦定理和正弦定理。用距离算长度，把长度算两次得到余弦定理，用坐标算三角形的面积得到正弦定理。把解析坐标法稍加改造，能得到向量意义上的坐标及复数意义的坐标证法，获得正弦定理、射影定理和余弦定理。

由图8可知[AC=bcosA+ibsinA。]

由向量三角关系有[AC=AB+BC]= c  + ［a cos（ -B） + ia sin（ -B）］= c - a cos B + ia sin B。

根据复数相等可得[bcosA=c-acosB，bsinA=asinB，]

即得[c=bcosA+acosB，asinA=bsinB。]

由上述两个式子即可得到正弦定理和余弦定理。

在二维平面内，向量与复数可产生一一对应关系，上述证法可稍加改造而得到向量坐标证法。

如图9，将[BC]平移到[AD]，

由[BC]=[AD]得[asinB=bsinA，acosB=bcosA-c。]

前一个式子可得正弦定理，后一个式子可得射影定理，结合两个式子则可得余弦定理。

在这三种解析坐标法中，由于向量或复数把横纵两个坐标同时考虑，其力量强于解析坐标法。这也表明教材编写在与时俱进。

各种证明方法可以总结为以下的体系中（如图10）。

（二）教学论角度分析

数学教学要先找到一个宏观支架，才能架构起自然的知识结构。知识结构观是布鲁纳及认知主义的重要观点。合理的知识结构才能转化为良好的认知结构。正余弦函数是用单位圆上的点的坐标定义的，可分别看作是点向竖直和水平两个方向投影而形成。而教材中对向量的介绍时也引入了投影向量的概念。更一般地，点在直线上的射影、二视图、三视图均可看作投影。由此可见，投影是一个非常大的宏观概念。以宏观概念为支架，對三角形的边向水平或竖直两个方向进行投影，就能得到正弦定理和射影定理，然后分别用三角形的基本元素进行表达，余弦定理和两角差的余弦公式也可以得到。在这个过程中，人们可以真正地感受到“数学是自然的”，也能够体会到向量与三角定理之间的内在联系。如果不清楚知识结构，不把知识纳入一个有机的体系中，则会出现“虽有宝物，置措无当，则无法欣赏致形成能力”的情况。

首先，教学要形成比较、鉴别和欣赏的眼光。解三角形的相关知识既可用平面几何的方法得到，编排在初中课程中，也可以用坐标的方法、向量的方法得到，编排在高中课程的三角函数或向量中，也可以单独成章。众多的过程处理方法虽然开阔了我们的视野，但同时也给人们带来了一些思考：哪种方式对学生最有意义或最有价值？随着现代数学的不断发展，解析几何和向量几何的工具性价值逐渐显现。在向量没有进入高中教材之前，人们认为解析几何的坐标比平面几何的方法更有力量，更有利于学生的发展，因此用解析坐标法得到解三角形的相关结果。在向量进入高中教材之后，教材就用几何形式的向量得到了解三角形的相关结果。因此可以看出，教材内容在不断地演化更新。作为教师，要有教学的眼光，既不能只关注优美的平面几何方法，也不能排斥具有工具性的向量方法。教学不同于灌输，进入教学中的内容都是选择性的产物。教师要厘清教学内容，了解教学重难点，分清主次，不能不分轻重缓急，一股脑全部塞给学生，这样会导致学生不能整合所有的知识，最后消化不良，徒增负担，与教育的初衷背道而驰。

其次，教学要形成直观感受。平面几何的方法虽然淡出了教材，但直观、直觉的重要性却不能被忽视。在直觉主义看来，真正的数学是心智活动的领域，它可以通过数学直觉而得到构造。对学生学习而言，学习后的知识不能形成一种直观上的认知，那么就无法在头脑中生根。形成几何直觉就是在与凝结在符号知识后面的哲人智慧进行深刻的对话，将公共性的知识转化为具有个人深刻体验的知识，从而使自己更有洞察力［7］。几何的背后是物理，几何视角下的三角形具有力学性质，服从力的分解与合成，对二维平面而言，只要把水平方向和竖直方向研究清楚，就能够掌握平面上的情况。由此，解三角形的“解”实际就是通过在二维上的解析来把握平面上的力学情况。教学就是要让学生通过对符号知识的学习与理解，达到认识数学世界、自然世界和人类精神世界的目的。从直观视角上去领悟天地万物运行、化育之机理，学生才能有悟性，有洞察力，才会对数学、人世的情感、态度和价值观发生变化，才能使数学的科学价值、文化价值和审美价值化作个体的科学力量、文化行动和审美眼光，从而实现育人之根本［8］。

参考文献：

［1］张奠宙，袁震东. 话说向量［J］. 数学教学，2007（9）：6-9，23.

［2］张小明. 正弦定理的证明：从历史到教学［J］. 数学通报，2015（7）：15-17，22.

［3］汪晓勤. 20世纪中叶以前的正弦定理历史［J］. 数学通报，2016（1）：1-5，27.

［4］汪晓勤. 20世纪中叶以前的余弦定理历史［J］. 数学通报，2015（8）：9-13.

［5］CURTISS D R，MOULTON E J. Essential of trigonometry with applications［M］. Boston：D. C. Heath ＆ Co.，1842.

［6］HOLMES C T. Trigonometry［M］. New York：Mcgraw- Hill Book Company，1951.

［7］徐章韬. 解三角形及其教育意蕴［J］. 数学教学，2009（9）：2-4.

［8］夏基松，郑毓信. 西方数学哲学［M］.  北京：人民出版社，1986.

（责任编辑：陆顺演）

【作者简介】陈晓蓉，硕士，主要从事中小学数学教学；徐章韬（通讯作者），博士，教授，主要从事教师教育研究。

【基金项目】2022年度教育部人文社会科学规划“双减”政策落地的教师教学知识研究（22YJA880068）