基于审美教育的高中数学课堂教学实践研究

孙青

【摘要】著名的美育理论家蔡元培认为：美育，归根到底，是一种感情教育，它所要得到的，是一种使人格变高尚的内在情感.随着素质教育和课程改革的普及，“数学美学教育”逐步纳入教育范畴，以审美能力、审美情趣为目标的数学美育旨在对数学知识和数学内涵进行提炼与深化，厚植学生内心，让数学教育更加灵动、立体、深刻.基于此，文章以“三角函数的图像与性质”为例，对高中数学美育内涵、本质、规律及表现形式进行深入解读，领略数学美学精髓，提升数学美育水平.

【关键词】高中数学；审美教育；课堂教学；实践研究

引 言

高中数学的内容具有一定的抽象性，教师在教学过程中要通过美育的方式循循善诱，激发学生的学习兴趣，使学生在学习概念或定理时，可以体会到数学的严谨美、逻辑美、简洁美和奇异美.数学不只是一门学科，同时是一门生活艺术.教师在培养学生思维能力的同时，应注重对数学中潜在美学价值的拓展.

三角函数是高中阶段数学学科的重点之一，是学生进一步学习相关知识和高等数学的基础，在数学高考乃至生活中应用广泛，其中三角函数图像灵活多变，富含丰富的美学元素，能够有效渗透美育价值.

一、揭示函数之美的内涵

高中数学的教学过程不仅仅是学生理解数学理论、提升数学意识和认识发展规律的过程，更是在教师的指导下形成独特的数学审美和数学灵感的过程.数学之美体现在简洁美、规律美、波动美、逻辑美、严谨美等方面，这些审美元素与数学知识、公式、符号、解题过程等相互融合，渗透在数学教学的每个环节中.

其中数学简洁美体现在使用简单的数学符号、公式和理论揭示隐藏在表征符号中复杂而深刻的变化规律.教师要将深层次的数学本质和规律利用教学过程和教学内容向学生进行揭示，使学生意识到数学的内在是美的、奇妙的.例如，在教学“三角函数”相关知识中，“sin”符号始创于1753年瑞士数学家欧拉的笔下，正弦函数y=sinx将变量x和y通过简单关系的表达，凸显三角函数的简单美和符号美；函数y=sinx的图像由一段反复重现的曲线组成，波澜起伏，因此也被称为“正弦波”，正弦波的最高点被称为“波峰”，最低点称为“波谷”，宛若高山大川，简单的图像绘制出自然界高山大川的极致之美，也如雄鹰扇动的翅膀曲线，当雄鹰在空中不断地振翅匀速直线飞行时，上下翻飞的连绵轨迹展示了动态美和规律美.包含y=sinx在内的y=cosx，y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）等函数，对称轴或经过图像的“峰顶点”，或经过“谷低点”，并且平行于y轴的任何一条直线，反映出了图像的对称美.在高中数学“三角函数的图像和性质”教学中教师要充分挖掘美学内涵与本质，将美与教育相互融合，从课堂教学、思维品质和能力培养中渗透美学意识，提高学生对数学之美的感知能力，在数学学习中认识数学之美，体验创造之美，增加数学吸引力，培养学生数学学科情怀.

二、探索函数之美的规律

高中阶段学生已经具备相对完善的数学意识和学科素养，课堂教学不仅要着眼于对学生进行学科理论知识和实践能力的培养，更应关注学生学科素养和思维品质的提升.在课堂教学中，教师应有意识地学习进修，增强美学内涵，在教学中追求艺术和教育的有效结合，发现美学规律，回归数学本质.特别强调在教学手段中的创新和应用，让抽象的、高深的数学知识在具体的、形象的表现方式中发挥出特有的学科趣味，让学生更愿意接近数学、接纳数学、热爱数学.

“三角函数”是高中数学教学的重点和难点，按照传统的教学方式，在图像的绘制中通常是通过列表、描点、连线展示出函数轨迹，囿于课堂时间的约束，教师在讲解和绘制的过程中稍显局促和匆忙，通过利用多样化教学资源，如硬件设施多媒体、信息技术等，以及软件设施微课、先进的教学理念和多角度教育方向，将三角函数化繁为简、化静为动，让函数值跟随自变量的变化而变化，步步相随的动态运动帮助学生更快地理解函数内涵，感受同一函数中不同参数与图像特征之间的联系，进一步掌握函数的性质.数学之美、函数之美的规律需要学生自主去发掘和发现，当学生在观看函数y=sinx的图像动态演示后，自主发现三角函数中平移、压缩、拉伸和对称变换特点，结合想象探索其中的运动规律，将“被动学习”转化为“主动探究”，实现以“感受数学之美”为中心的“五育并举”数学课堂教学目标.

函数y=sinx图像与正弦曲线之间动静相宜，相互统一，在动静之间蕴含丰富的静态美和动态美，充分展示数学的艺术价值和美学规律.在以“美育”为补充的数学课堂中，要求教学结构有组织、教学环节有章法、教学内容有侧重，详略得当，重点突出，实现义务教育阶段“立德树人”教育目标和学生能力品质的提升.为上好一堂课，开好大局观，立足教材，结合实际，更具学生基本学情和认知特点，通过讲解、剖析、演示使三角函数知识动起来、活起来，赋予数学学科美的内涵和美的形式，调动学生多重感官，增强教学之美和品质之美.

三、解读函数之美的典型

（一）自然美

高中阶段数学知识多数是抽象的，教师在教学过程中培养学生的审美意识，凸显美育价值，必须结合数学知识，将抽象化具象，让数学内涵具体地、形象地展示在学生面前，让学生在直观的体验和感受中深化数学知识，理解函数应用.数学是反映自然规律、刻画生活现象的学科，当学生不能完全领悟数学的奥秘时，往往认为数学是枯燥的、乏味的，这也是造成学生在数学学科两极分化严重的内在原因.教师要改变学生的认知，纠正学生的误区，在教学过程中引导学生发现数学的自然之美，将函数在生活中的应用渗透到教学的各个环节，让学生对数学的认知从“实际的”到“有用的”再到“奇妙的”心理转变，感悟数学，运用数学，解决生活难题，激活数学兴趣.

（二）简洁美

数学学科相较于其他学科，较少应用“中文”和“汉字”，数学以其独有的“学科符号”构筑了庞大的数学世界，在这个世界里有丰富的、无穷无尽的知识，高中数学仅仅是站在了这个世界的门口，但已经成为学生打開另一番天地的钥匙.高中数学知识承上启下，是高等数学的基础，学生记忆和应用起来十分困难，利用审美教育另辟蹊径，让学生在相对容易的“审美”过程中领悟数学内涵，增强对数学知识的记忆和应用能力.现行数学教材中呈现最多的是数学符号、公式和定理，在一定程度上体现了数学语言的简洁之美，解读一个个数学符号背后的文化和应用方式，充满推理和解谜快感.简洁之美具有高度的统一性，在表现形式上留有大量的空白，每一个公式都是对具有相同特点的事物的一种归纳，其背后隐藏着另一番天地，教师要帮助学生一探究竟，从简洁之美切入“寻宝探宝”，充分利用简单、有效的信息推理解决复杂的数学问题，聚焦思维的无限可能性，让函数学习具有自由、开放的特点.

（三）统一美

高中阶段数学题目充分考验学生的逻辑思维能力，尤其是在三角函数中，数学不会推翻原有的数学理论，它总是包容原先的理论，在继承和发展原有的理论基础上再加以延伸.在对学生美育教育时，教师应有意识地发散学生思维，充分体会数学学科的统一之美，从三角函数的整體及部分、整体与整体、部分和部分的关系中达到和谐统一，使学生具备将函数知识融会贯通的能力.数学结论具有唯一性，这准确地概括了函数问题的本质，虽道路征程不同，但目标只有一个，运动轨迹万千，对应公式仅此一行，这种极限对应完全展示了数学统一之美，对端正学生求知态度，树立学习目标，落实“立德树人”具有现实意义.

（四）跳跃美

无论是正弦函数还是余弦函数，抑或是正切、余切函数，都具有规律性，它们以π为特征周期进行代数式表达，因此π是函数的核心常数，随着周期性的函数值出现，函数图像展示出规律的跳跃性特征，从图形之美中深切感悟函数的研究之美.由于函数自变量在以π为规律表达式，取值在正无穷到负无穷上，也就是说自变量在实数集上不受限制的情况下，函数值反而在-1到+1上来回变动，所以，这个规律在复杂的数据研究和复杂的表达式中就可以用三角函数作为修饰参数对代数表达式进行修饰，这也是研究复杂函数领域的一个很好的修饰参数，也是体现三角函数跳跃之美的关键所在.任意大小的自变量可以限制在-1到+1之间，从而给更复杂的表达式提供限制，傅里叶级数三角函数表达式充分体现了这一函数之美.

四、探究函数之美的本质

三角函数是沟通初等数学和高等数学的桥梁，也是数形结合的典范.作为描述周期现象的数学模型，三角函数是高中阶段数学知识体系中的最后一个初等函数，也是打开高等数学大门的基础.在新一轮的科技革命中，数学知识是解决生产和生活的重要工具，在教学过程中三角函数的学习探究和应用必须响应教育需求和学生需要，形成从下而上或从上而下的垂直研究，其中从下而上的研究是从三角函数的定义、值域、奇偶性等性质出发，研究三角函数图像的表现手法和规律，从上而下的研究则是先根据条件作出三角函数图像，结合图像通过逻辑推理得出三角函数性质.按照人教版教材的内容编排，从“函数定义—图像绘制—性质探究—模型应用”有序展开，属于从下而上的研究，符合科学规律和学生认知，在数学思维的构建和完善中，力求达到知识与教学的相互统一.三角函数的美育教育通过深度解读学科内置、瞄定函数教育目标，借助精心策划的教学方案，引发学生在“最近发展区”的认知提升，关注学生学习主动性和自觉性的生成，在情感激发、问题解决、思维重构中感受数学之美，培养发现美的“智慧之眼”，探究数学美的本质.

（一）对称的“波浪”

正、余弦函数图像都具有对称之美，从观察图像的左边轨迹和形态，能够清晰地、直观地感受到对称图像的规则之美，那么如何从这对称之美中感知三角函数的性质呢？我们设计“对称的‘波浪’”课题研究，从直观观察切入抽象理解，由浅入深，由表及里循序感悟.

以问题情境导入新课，设置五层问题：

问题1：观察图像对称的三角函数，辨析其正弦、余弦函数的哪个性质能够体现对称之美？

问题2：围绕“对称”，从两个角度解读正弦函数和余弦函数的奇偶性.

问题3：通过大胆假设和小心求证，验证奇偶性.

问题4：已知函数y=sinx（x∈R）的对称中心是O（0，0），是否还有其他的对称中心？

问题5：正弦函数、余弦函数的对称轴和对称中心如何表达？

通过五个假设问题的层层深入，借助几何画板展示函数图像，使学生从观察和分析中体会三角函数的性质和对称之美间的关系.教师利用问题1引导学生了解函数的奇偶性，启发学生对对称之美和函数性质的意识，引出“能否通过验证函数的奇偶性体现对称之美？”的思考，提高学生探究和推理的能力；问题2和问题3的提出则是对学生提出疑问的认可，肯定学生思考的方向，一方面鼓励学生大胆假设，感知思考的重要性和必要性，从多维度启发学生横向到边、纵向到底的思考，激活学生已有的知识基础，从现有经验中获取打开新大门的钥匙；另一方面借助主观能动性，强化学生主观意识，将学生从“被动学习”中解脱出来，实现主观层面的“主动吸收”，帮助学生构建适合自身的思维体系，实现对三角函数性质的深层理解；在接下来的问题4和问题5中，引导学生从三角函数的奇偶性中挖掘美学元素，归纳图像对称之美的衍生根本，归纳三角函数的基本规律.

这一系列活动将三角函数的对称之美与函数的奇偶性联系起来，让学生在问题的驱动下，加深对数学知识的理解，提升数学学科核心素养，培养抽象思维能力，同时通过认识函数的对称之美增强数学趣味和美感，让数学教学充满艺术性.

（二）起伏的规律

在学生掌握正、余弦函数的图像规律和奇偶性基础上，从函数图像的最高点和最低点进行切入，思考函数轨迹起伏的规律，精准把控函数周期性、对称性、单调性、最大值、最小值的深层理解，促使思维由表及里进行渗透，强化数学美学的“意识”和“感悟”.

同样设置探究问题：

问题1：根据正、余弦函数图像的起伏规律，能够看出是函数哪个性质的表象？

问题2：探究正弦函数对称轴的根源和本质，思考这一本质与函数哪种性质有关？

问题3：正、余弦函数的最值和对称轴之间存在什么关联？

这些问题主要聚焦三角函数的轨迹，通过观察函数图像的起伏规律和起伏过程，有意识地标注函数图像的“起”“伏”点位，在点线之间研究正弦函数的规律和单调性.其中问题1驱动学生辨别函数图像的单调增区间和单调减区间，找到“增减交替”的规律；问题2将学生的“视角”从“对称”向“周期”转换，围绕“周期性”对函数图像进行进一步研究，明确函数的划分方式，促使学生掌握多样化划分手法；问题3则是鼓励学生主动实践，标注函数最值，将具体的数据标注在图像上，感知数据和图像之间的关系，让数学知识和表现融会贯通.

这一系列活动聚焦“起伏规律”，提高学生的思维转换能力，让学生在感悟起伏之美、规律之美的过程中理解函数的周期性、最值等问题，层层深入之下实现数学知识和概念的融合，同时进一步拓展思维，强化美学意识.

（三）传递的魅力

在设计“三角函数的图像和性质”练习题时，围绕“对称”设计“图像”转“方程”的相关练习.

练习1：绘制y=sinx，x∈[-2π，2π]或y=cosx，x∈[-2π，2π]的函数图像，展示函数的轴对称或中心对称样态.

练习2：通过观察对称函数，联想生活中的轴对称图形和中心对称图形.

练习3：举例说明数学式的对称和不对称.

教师以题目练习为载体，引导学生从教材中走出来，向实际生活走进去，从直观思维转化为抽象思维.其中练习1让学生在自主绘制函数图像的过程中，掌握“五点法”，通过绘制和展示，瞄定“对称”将数学之美贯彻到底；练习2与练习3则是开拓学生思维，一方面使学生认识到“对称”的特质并非仅存在于图形之中，让学生从图像思维转化为数学式思维，另一方面加强学生对知识的掌握和理解，引导学生从“教材”中看生活，发展德智体美劳的多边互动.

结 语

综上所述，“立德树人”视域下，美育思维渗透高中数学“三角函数的图像和性质”教学中，是对学生理解数学知识的一种强化途径，也是实现培养学生练就一双发现数学之美、体会数学之美“眼睛”的途径，更是为学生提供认识美、感受美、创造美的平台，将数学知识贯穿于审美的全过程，感悟美的真谛，形成数学思维.

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