借助多元解题技巧，突破初中数学几何题解题障碍

王琪琼

【摘要】数学课程主要由代数与几何两大部分构成，前者主要研究数与数之间的关系，做题时以计算为主，后者则主要研究图形的空间结构及性质，其中初中数学中的几何知识以学习平面几何为主，难度虽然不是特别大，但是对学生的空间观念有着一定的要求，解答几何题时往往会遇到很多的障碍，教师可指导学生借助多元解题技巧突破几何题解题障碍.本文针对如何借助多元解题技巧突破初中数学几何题解题障碍做探讨，并罗列部分解题案例.

【关键词】解题技巧；初中数学；几何

几何知识属于初中数学课程的重要构成部分，几何题在各类考试中也占据着较为关键的地位，分值也不少，因为几何题较为灵活，涉及的知识比较广泛，逻辑性也较强，不少学生遇到一些有难度的题目时就不知道该如何下手，从而影响学生做题的积极性与继续学习几何知识的自信心.初中数学教师在几何題解题训练中应传授给学生一些常用的解题技巧，使其借助技巧能够快速准确的找到切入点，辅助学生顺利突破几何题的解题障碍，增强学习几何的自信心.

1 合理利用代数法突破几何题解题障碍

代数同几何一样均属于数学知识范畴，是数学课程体系的两大构成部分，在初中数学几何题解题教学中，学生需树立“大数学”观，除利用几何方面的知识以外，还要学会合理利用代数知识去解答几何试题，让学生突破几何题的解题障碍.具体来说，初中数学教师可以指导学生将一些特殊的几何题转变成代数问题，由此展开计算、推理或者证明，使其创新思维得到很好的培养，增进几何同代数之间的联系，并有效提升学生的整体数学解题能力[1].

例1 如图1所示，已知等边三角形ABC，其中点D，E，F分别位于边BC，CA，AB上，请证明三角形DEF的周长不小于三角形ABC周长的二分之一.

解析 本几何题所要证明的结论较为特殊，是两个三角形周长之间的关系，纯粹利用几何知识证明起来难度较大，步骤复杂，很难把结论证明出来，不少学生甚至无处下手，难以找到证明的出发点，往往半途而废，这时教师可以提醒学生使用代数知识，根据题目内容联系到不等式，使其据此展开推理与证明.

具体解题技巧如下：设等边三角形ABC的边长为a，AF=x，BD=y，CE=z，

2 巧妙添加辅助线突破几何题解题障碍

辅助线作为初中数学几何题中的一个关键解题因素，学会添加与应用辅助线是每位学生都需要掌握的技能之一，这是除掌握常见题型解题方法以外应关注的一个重要问题，当部分几何题无法直接解出或者遇到瓶颈时，学生通过添加合适的辅助线往往能够产生豁然开朗的感觉.对此，初中数学教师在几何题解题训练中，应当指导学生根据实际情况在原图上巧妙添加辅助线，借此降低题目的难度，使其快速找到解题的切入点，让学生突破难题障碍[2].

解析 学生通过对题目内容的阅读与图形的观察和分析后发现，无法直接求出这两条线段在这种形式下的值，这时教师可要求学生认真观察与研究图形，尝试画出辅助线，将题设中的两条线段通过转化整合至一条线段之中，以此降低本道题目的难度，使其轻松求出最小值的大小.

具体解题技巧如下：由于∠C是直角，AC的值是1，

3 运用逆向思维法突破几何题解题障碍

针对初中数学几何题教学来说，证明题是一种十分常见的题型，处理这类题目时对学生的推理能力有着较高的要求，不过有些题目从正向思维视角进行证明时难度较大，或者比较复杂、步骤较多，这时教师可以提醒学生基于逆向思维视角切入，使其轻松证明结论.因此，初中数学教师在几何证明题解题训练中，应指引学生学会对问题进行逆向思考，从题干中要证明的结论展开，如果发现结果同命题之间相互矛盾，这就说明结论是不成立的[3].

例3 如图3所示，在圆O中有AB与CD两条弦，且这两条弦均不是直径，请证明弦AB和弦CD不能相互平分.

解析 针对这样的几何证明题，学生短时间内很难找到正确的证明方法，便可以尝试使用逆向思维的方式进行证明假设这两条圆内的非直径弦能够相互平分，再推理与求证，找出同某些定理存在冲突，由此将题设给证明出来.

具体解题技巧如下：设弦AB和弦CD相交于点P，把OP连接起来，假设弦AB和弦CD能够相互平分，那么AP与BP、CP与DP均是相等关系，又因为弦AB和弦CD是圆O内两条非直径的弦，所以OP与AB、OP与CD均是垂直关系，这明显同“过一点有且只有一条直线同已知直线垂直”这一定理相冲突，故假设不成立，所以说弦AB和弦CD是不能相互平分的.

4 科学使用平移法突破几何题解题障碍

平移法是处理几何试题的一个常用方法，根据需要，平移的对象可以是整个图形、圆、角、直线与线段等，平移只能够改变图形的位置，不会改变图形的形状与大小，而且平移前后的线段平行，对应点连线平行且相等，对应角的两边分别平行且方向一致，这一性质在解题中起着重要作用.当几何题目中出现相互平行且相等的线段，或所求问题并没有在同一个图形内时，初中数学教师可以引领学生科学使用平移法，使其通过平行的某些要素解题[4].

例4 如图4所示，在一个四边形ABCD中，AB与CD是相等关系，AD与BC是平行关系，且AD的长度比BC小，那么∠B和∠C之间有着什么样的关系？

解析 学生对图形进行认真观察以后能够发现，∠B和∠C距离较远，很难直接判断出它们之间的大小关系，而且根据题干中提供的已知信息与条件难以进行计算，无法准确判定两者的关系，此时教师可以指引学生使用平移法，通过将边AB平移，再结合平行与三角形相关知识进行解题.

具体解题技巧如下：由于AB与CD是相等关系，AD与BC是平行关系，AD的长度比BC小，那么可以把边AB平移至图中DE的位置，有AB平行且等于DE，DE与CD是相等关系，再根据“两直线平行，同位角相等”得到∠B=∠DEC，则三角形DEC是一个等腰三角形，由此得到∠DEC=∠C，即为∠B=∠C，也就说∠B和∠C是相等关系.

5 精准应用建系法突破几何题解题障碍

初中生已经对平面直角坐标系相关知识有所接触与学习，再加上对点、线相关公式的掌握，学生具备在平面直角坐标系中处理问题的知识基础与能力.对于初中数学几何题教学而言，当纯粹使用几何知识与方法很难求解时，教师可以引导学生精准应用建系法尝试解题，结合题目中给出的信息与條件建构出相应的平面直角坐标系，使其结合点的坐标把几何问题转变成坐标进行计算与解答，由此降低几何题的难度，促使学生快速、准确地求得答案[5].

例5 如图5所示，正方形ABCD的边长是2，正方形CGEF的边长是3，其中点B，C，G位于同一条直线上，点M是AE的中点，连接MF，那么MF的值是多少？

解析  通过对题意的分析发现仅仅依靠简单的计算无法解答这一几何题，而在原图上建立平面直角坐标系则能够快速求解，当建立好平面直角坐标系以后，只需求点M的坐标，再利用已知点F的坐标，就能够求出MF的长度，而且点M是AE的中点，所以知道A，E两点的坐标就能够求出M点的坐标.

具体解题技巧如下：根据题意，以点C为原点，BC为x轴，CF为y轴，建立如图6所示的平面直角坐标系，能够得到点A的坐标是（－2，2），点E的坐标是（3，3），由于点M是AE的中点，

因为点F的坐标是（0，3），

结合两点间的距离公式能够得到

6 结语

总而言之，在初中数学解题训练活动中，教师要格外关注几何题的设计与练习，以帮助学生掌握扎实的理论知识为前提，注重同代数知识之间的联系，精心设计几何专题训练，要求学生以认真阅读题目内容、仔细审题为基本出发点，根据具体题目灵活运用代数法、辅助线、逆向思维、平移法与建系法等多元解题技巧突破解题障碍，不断提高学生的几何解题水平.

参考文献：

[1]张海霞.初中几何题的解题思路分析[J].数理天地（初中版），2022（22）：31-32.

[2]李芳.辅助线在初中几何解题中的应用[J].数理天地（初中版），2022（08）：2-3.

[3]杨静静.综合法和解析法在初中几何解题中的应用探讨[J].数理化解题研究，2021（17）：28-29.

[4]朱小平.初中几何解题教学的“破”与“立”[J].湖北教育（教育教学），2021（05）：72-74.

[5]雷春霞.图形分析法在初中几何解题中的应用策略探究[J].考试周刊，2021（33）：49-50.