例析几何图形中最值问题的不同题型及解答思路

贾春千

【摘要】几何图形是初中数学的重要组成内容，在几何图形基础上求线段或距离之和的最值既能考查学生对几何性质和定理的掌握情况，也能考查学生对图形的熟悉程度，属于屡见不鲜的初中数学问题.本文主要对三种不同类型的几何最值问题进行分析，总结题型特点和解题思路，帮助学生理解和掌握几何最值问题.

【关键词】初中数学；几何；最值问题

1 胡不归问题

当动点P在直线上运动，求形似“PA+kPB”的距离之和最小值的问题称为“胡不归”题型，其中参数k是不大于1的任意常数.解答这类题型，应考虑从动点P出发构造斜边为PB的直角三角形，利用正弦值将PA+kPB转化为等价的垂线段问题，进而解答问题.一般解题思路为：①过点P（公共点）作斜边为PB的直角三角形；②根据正弦定理，将PA+kPB转化为等价的PA+sin∠PBC·PB，等价于求点A到垂足点的距离最小值；③过点A作垂线，根据垂线段距离最短求出问题最终答案.

解析 如图2所示，作AN⊥BC于点N.

因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以∠DBC=30°，

2 将军饮马问题

“将军饮马”出自《古从军行》，也由此引申出一个常见的数学几何最值题型，具体指求直线上任意点到直线同侧两定点距离之和的最小值.这类问题通常借助“两点之间线段最短”来解答，即根据轴对称使其中一定点处于直线另一侧，连接两端点求线段值可得知距离之和最值.一般解题思路为：①分析题意，选择一个定点作关于直线对称的对称点，连接对称点与另一定点；②凭借两点之间线段最短的性质，可求得距离之和最小值和对应直线上的点.

例2 如图3，直线y=x+4与x、y轴分别交于A、B两点，点C、D分别是线段AB、OB的中点，点P是OA上一动点，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为.

分析 将问题看作点C、D到直线y=0上点P距离之和的最小值问题，可作点D关于x轴的对称点D′，连接对称点D′与点C得到的线段长度对应问题所求的PC+PD值，故根據D′点坐标和C点坐标，可求得x轴上P点坐标.

解析 作点D关于x轴的对称点D′，如图4所示.

连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD的值最小，最小值为CD′.

令y=x+4中x=0，可得y=4，

故点B的坐标为0，4，

令y=x+4中y=0，可得x=－4，

故点A的坐标为－4，0，

因为点C、D分别是线段AB、OB的中点，

所以C－2，2，D0，2，

因为点D′和点D关于x轴对称，

所以D′0，－2，

设直线CD′的解析式为y=kx+b，

故直线CD′为y=－2x－2，

令y=0，求得x=－1，

所以点P的坐标为（－1，0）.

3 费马点问题

费马点是指到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和最小的点P，找到费马点点P并求出距离之和PA+PB+PC的最小值是初中几何最值问题的常见题型之一，解答的关键在于把三条线段转化为连续的折线，主要通过旋转、对称、平移手段对问题进行转换，从而求得最小值和对应点.一般解题思路为：①对含有任意两段线段（如PA和PB）的图形进行旋转、平移或轴对称变换，使线段PA、PB、PC得到等价替换；②根据等价替换后的线段和，判断最小值对应的点和图形情况，列式运算求解.

例3 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点P是△ABC内一动点，则PA+PB+PC的最小值是.

分析 首先对含PB、PC线段的三角形进行旋转变换，使其等价替换成其他相等长度的线段，使PA+PB+PC转化为连续的折线，此时只要对动点共线情况进行分析，即可求得最小值.

解析 如图5所示，以点C为旋转中心，将△PBC顺时针旋转60°得到△MNC，连接BN、PM.

由旋转可得△BPC≌△NMC，

所以MN=BP，PC=MC，

∠PCM=60°=∠BCN，CB=CN，

所以△PCM，△CBN是等边三角形，

所以PC=PM，

则PA+PB+PC=AP+PM+MN.

当A、P、M、N四点共线时取得最小值，如图6，

因为AB=AC，BN=CN，

所以AN垂直平分BC，

4 结语

上述例题对三种不同几何最值模型作出分析与解答，胡不归问题与垂线段有关，将军饮马问题与轴对称有关，费马点问题与旋转、平移有关，大部分问题都是在这些模型基础上进行变换，学生只有掌握基础的几何最值模型和解题思路，才能更加灵活地理解和解答这些问题.

参考文献：

［1］田海霞.初中数学几何图形中有关最值问题的解题思路分析[J].数学学习与研究，2022（25）：155-157.

［2］王春丽.立足教材 链接中考——例析平面几何最值问题的求解方法[J].中学数学教学参考（中旬），2011（7）：2.