浅析妙用数形结合思想 优化中职数学的解题思维

宣小康

【摘要】数形结合思想是一种实用性和逻辑性极强的数学解题思想，也是一种将抽象思维和形象思维结合起来的解题思维.这种思想可以将抽象化的数量关系转化为形象化的直观图形，便于学生分析和理解，还能将形象图形中的数学概念和内在含义抽取出来转化为具体的数量关系，便于学生总结和应用.本文基于数形结合思想在中职数学教学体系中的应用现状，对数形结合思想的基本内涵进行简要辨析，分析数形结合思想在优化学生解题思维方面的关键意义，最后重点论述教师通过培育并发展学生数形结合的解题思维，充分发挥数形结合思想的数学价值和教学效应的几点对策，希望为其他中职数学教师提供一定的参考建议.

【关键词】数形结合思想；中职数学；解题思维

引 言

随着数学学科的持续发展和中职数学知识体系的不断更新，数形结合思想受到了数学领域教育工作者的广泛重视，数形结合思想也被认为是一种科学有效、未来发展前景十分广阔、有利于学生数学学科素养综合培养的数学解题思想.在中职数学教学体系中，培育学生的数形结合思想不仅可以优化学生的解题模式，提升学生的数学运算能力，而且可以帮助学生对数学知识的运算过程和数学知识的具体来源产生更加深刻的认识和理解.中职数学知识本身具有较强的系统性、复合性和繁难性，对许多基础薄弱的中职学生来说，数学学科的知识学习和习题训练难度相对较大，学生很容易产生畏难情绪和厌倦心理.中职数学教师需要对数形结合思想和教学活动进行有机整合，有效消除学生现实学习过程中的各种数学学习障碍，促进学生当前阶段数学基础知识框架的自主完善，以及学生未来阶段更高层次数学知识的综合学习.

一、数形结合思想的基本内涵

数和形是数学学科的两个重点研究对象，这两个对象之间存在着密切关联，在一定的客观条件下，这两个对象还可以实现相互转化，数形结合思想的关键也正是这两个对象的相互转化.数形结合思想具体是指将抽象的数学要素和直观的数学图形结合起来的一种思维模式.数本身具有一定的准确性和科学性，形本身具有一定的具象性和直观性，数形结合可以借助数的准确性，对形进行科学合理的分析，还能借助形的形象性，对数的关系进行直观立体的论述.数形结合具体包括两种基本应用模式，一种是以数解形，另一种是以形辅数.在实际的解题过程中，应用者需要结合问题的具体条件和现实的解题诉求，灵活应用这两种数形结合基本解题形式.

具体而言，应用数形结合思想可以解决集合、函数、方程、几何等不同领域的数学问题.因为很多数学知识本身就是数形结合的直观呈现，应用数形结合思想可以使数学问题简洁明了，思路清晰.

二、培育学生数形结合解题思维的重要意义

首先，培育学生数形结合的解题思维可以在一定程度上激发学生的自主学习动能，加强学生对课堂知识讲授活动和课内外学习实践活动的参与度和体验感.对中职学校同一班级内的学生而言，学生的智力水平和思想高度往往集中在某一范围之内，不存在较大的差距，但是学生最终的学习成果却千差万别，究其根本，一方面是由于学生的数学学习基础和接受能力不一致，学习起点不同，另一方面就是学生在教学过程中的参与程度和能动意识有差别，学习过程不同.教师在教学过程中有效应用数形结合思想解决问题，并且鼓励学生学习应用数形结合思想，可以适当简化学生的解题路径，将各种复杂的信息通过一种直观的方式呈现出来.这种教学思路和解题方法简洁明了，可以降低学生的学习门槛和思维难度，改变学生对繁难数学知识的刻板认知，以适当提升学生的学习自信，将学习自信心转化为学生的内在驱动力，激发学生的学习能动意识.

其次，培育学生数形结合的解题思维可以适当优化学生的数学知识模型，引导学生储备多元知识和解题技巧，甚至改变学生的思维品质，在发展学生数学学科核心素养的基础上，促进学生数学学习能力的有效提升.数形结合的思想在数学学习领域的分布相对广泛，学生需要在不同的问题情境中应用数形结合思想解决各种类型的数学问题.在不同的学习情境中应用数形结合思想的过程，不仅是学生对繁难知识抽取本质规律、养成良好学习习惯的过程，也是学生逐渐完善基础数学知识框架，提升学生数学认知能力和理解能力的过程.同时，学生还可以在应用数形结合思想的过程中，将不同的知识结合起来进行综合运用和深入拓展.通过调动整合多元知识，学生能够充分发挥逻辑思维能力、创新创造能力和联想拓展能力，对不同知识的基本内核进行有效感知和自主创新.学生逐渐学会洞察数学表象，从本质出发，自主总结学习规律和解题方法，拔高学习维度，切实改变学习状态，从一个单向的知识学习者，转化为数学规律的能动构建者.

三、数形结合思想在中职数学教学领域的应用

在中职数学教学领域，指导学生学习数形结合思想，并引导学生逐渐形成基于数形结合思想的数学解题思维，成为中职数学教师的主要教学任务之一.数形结合思想能帮助学生对各种抽象化的数学概念进行形象直观的理解.同时，数形结合思想还能够帮助教师更好地解读各种复杂的数据本质、数量关系和空间结构，有效把握各种数学问题的内在规律，加强各类复杂数学知识点的讲授效率；有利于对教学重难点的突破，帮助教师开辟更多创新性的数学教学路径.数学教师在教学领域应用数形结合思想提升学生思维能力时，要坚持以下两个教学原则：其一，数形结合思想虽然是一种致力于展现形象直观内容的数学思想，但数形转换过程相对复杂，且不同的数量关系和空间关系会以抽象的形态频繁出现，因此学生在应用数形结合思想解答问题和理解知识时，应该对不同的数和形及其所指代的具体对象，进行全面把握和熟练应用.其二，数形结合本身具有较强的灵活性和实践性.学生在应用数形结合思想实现几何图形和数量元素的相互转换时，需要灵活应用以数解形和以形辅数这两种基本转换形式，在合适的场景应用合适的转换形式，并通过各种实践训练，对数形结合思想在不同问题情境中的具體应用方法进行深入学习，不断提升自己的解题技巧和解题能力，充分发挥数形结合思想的解题价值.

四、借助数形结合思想，优化学生解题思维

（一）改变理念，加强数形结合思想运用

为了有效应用数形结合思想来优化学生的解题思维，中职数学教师需要对数形结合思想进行深入认识和全面理解，树立有关数形结合思想的正确教学理念，正视并重视数形结合思想在学生解题思维构建方面的关键意义，并将这种正确的教学理念转化为学生的客观学习思维，加强对学生的思想引领和教学示范.在现实的教学情境中，部分数学教师对数形结合这种高效的数学思维的教学不够重视，导致教师在组织教学内容和教学活动时，没有意识将各种思想贯穿到各个教学环节之中，也没有将培育学生的数形结合思想作为关键的教学任务和教学目标.还有部分数学教师受到教学时间和教学能力的限制，在课堂上无法充分自如地应用数形结合思想，这会导致学生对数形结合思想的理解和学习不够深刻.为此，教师要对自己的教学情况进行深入剖析，结合教学现状，改变教学理念，然后改变教学手段，加强数形结合思想的综合运用.

例如，部分教师在讲授平面几何、解析几何或者立体几何知识时，为了保障教学效果，在指导学生学习几何知识和解答具体问题时，往往会通过板书的形式绘制各种几何图形，在绘图过程中应用数形结合思想，梳理解题思路.在教师板书过程中，学生可以对教师的绘图过程和解题思路进行深入辨析，学习并模仿教师基于数形结合思想的解题流程.但是部分中职数学教师考虑到课堂上的教学时间比较紧张，有时会刻意省略板书过程，甚至不通过板书展示自己的解题思路，这种策略确实可以在一定程度上节约教学时间，但不利于基础薄弱的学生对几何知识的深入理解.为此，教师要对数形结合思想在教学体系中的重要作用进行重新定义，改变教学策略.教师可以调整教学规划，在课堂上留出充足的板书时间，也可以应用多媒体设施中的绘图工具，保障板书效果的同时缩短绘图时间，简化绘图流程.

（二）以数解形，帮助学生学会抽取数据

在实际教学过程中，学生和教师常常需要对图形的数量关系进行深入剖析，通过具体的数据指代图形，对直观的几何图形的数学内涵进行有效解读，通過抽取出来的数据，再结合图形之间的数量关系，解答相应的数学问题.在此过程中，教师要引导学生形成抽象思维，提升学生的思辨能力.为帮助学生将图形转化为数量关系，用精准的数据来解答图形问题，一方面，教师需要加强学生对基础几何知识的学习，并且注意带领学生不断进行巩固总结，让学生对不同图形的几何特性和本质规律进行全面掌握和熟练应用.另一方面，教师需要引导学生结合具体的图形，按照实事求是的原则，对图形进行深入分析，并对图形进行精准定位，将关键性的数据提取出来，把具象但复杂的图形转化为更加抽象但简洁的数据、数量关系或者空间关系.

例如，教师在指导学生学习椭圆与直线相交求最小值的相关内容时，可以利用椭圆的参数方程，去设椭圆上一点为（acosα，bsinα），代入点到直线的距离公式，从而转化为一个关于α的三角函数的最值问题.教师需要帮助学生通过椭圆这一几何图形的数学规律和数学定义，对图形及其数量关系进行精准定位，快速找出椭圆和直线相交的具体条件，适当应用以数解形的思想，将关键性的数据抽取出来，通过对关键数据的综合，求出不同题目中椭圆与直线相交的最小值.为了加强知识运用技巧，学生在进行多样化的习题训练时，还需要结合不同题目的应用情景和解答方案，总结出不同题型的解题思路，进一步化繁为简.以数解形，实现抽象思维能力的有效发展，并促进思维意识的有效延伸.

（三）以形辅数，引导学生形成形象思维

除了以数解形，以形辅数也是学生应用数形结合思想时的基本解题形式之一.以数解形是通过数据来简化图形，以形辅数则是通过图形来认知数据.一方面，学生需要通过图形来理解数据和把握数据关系.数据本身就是抽取出来的意义的集合体，如果学生在解题过程中仅仅对数量关系进行精准计算，不利用图形的形象外观发掘数据的内在规律，就很难对数据及其数量关系进行深入理解和全面应用.另一方面，学生在通过数学运算得出具体结果之后，如果在检验巩固环节中依然沿用着传统的解题思路，就很难发现自己运算过程中出现的问题.因此，学生可以适当转换思路，通过具象直观的图形对数据和数量关系进行检查验证.

例如，当教师指导学生学习集合相关的知识时，通过绘制几何图形，让学生既可以对集合关系进行直观理解，也可以在解题过程中适当应用绘图方法.如交集的定义是指设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作集合A与集合B的交集，记作A∩B.学生可以根据题目信息，借助维恩图，在纸上画出两个圆，两个圆重叠的地方就是交集.学生可以将题目中的数据放置到具体的位置，便于对数据进行有效解读.此外，当解二元一次方程组和三元一次方程组时，学生则可以通过绘制简洁的图形对方程运算结果进行检查回顾.需要强调的是，为了提升解题效率，学生在用直观图形进行数据检验时，要注意对以形辅数思想进行灵活运用，对图形绘制过程进行适当简化.

（四）数形互换，提升学生多元联想能力

以数解形和以形辅数，在具体形式上是相对背行的，这并不意味着这两种思想是完全对立、无法融合的，这两种解题思路实则有着相对统一的、数形互换的思想特质.从中职学生的学习现状和中职学生学业水平测试的考核标准来看，在未来阶段，围绕中职学生的数学能力而展开的数学测试，其考查方式和考试题型将会更注重考查学生对多种数学思维的综合运用.学生需要在解答过程中，通过调动多元知识和多种数学思想，彰显自己解决实际问题的能力.因此，在现实的应用情景和学习情境中，教师往往需要将以数解形和以形辅数两种思想结合起来，引导学生不断进行形象图形和抽象数据的相互转换，充分调动抽象思维和形象思维，提升学生的多元联想能力和知识整合运用能力.

例如，在教学三角函数时，教师可以将三角函数和坐标系知识结合起来，结合“纵变横不变，符号看象限”的口诀，充分应用数形互换和数形结合思想，指导学生通过坐标轴上的几何位置，深入理解三角函数，并帮助学生学会用几何图形范围来表示函数，发掘几何图形和数值的对照关系，如：sin（90°+α），由90°角的终边在坐标系的纵轴上，得出sin（90°+α）=cosα.

（五）加强实践，深入发展学生解题思维

为促进学生对数形结合思想的内化和吸收，让数形结合思想真正转化为学生个体的数学思想，数学教师不仅要树立正确的教学理念，并通过以上几种易操作的教学策略，全面加强教学活动的实际效果，还要帮助学生树立有关数形结合思想的正确认识，并且增加一些实践训练任务，深入发展学生数形结合的解题思维，尤其是要重视学生自主学习习惯的构建.一方面，数形结合思想指代的是某一种数学解题思路，所以其数学应用情景非常丰富，应用技巧相对多样，应用方式五花八门.学生需要通过实践训练，在不同数形结合应用情景中，加强应用技巧，掌握应用方法.另一方面，加强实践训练也可以引导学生优化自主学习模式，保证学生在没有教师指导和监督的情况下，能够自主运用数形结合思想，按照具体问题具体分析的原则，解答数学问题，甚至实现学生的课上学习状态和数学学习能力的延伸，将这种思想应用到其他学科的学习过程和现实生活问题的解决路径之中.

例如，当指导学生学习函数模型及其应用時，教师需要将之前讲授过的函数知识整合起来，并充分运用几何知识，建构函数计算模型，对不同的数、形关系进行定性、定量分析.在课堂上，教师可以通过应用计算机中的绘图软件，在大屏幕上展示自己如何建构数学模型，借助代数形式解决各种有关空间利用的生活问题.仅仅是通过观摩和教师的指导，学生并不能真正地掌握数形结合的解题思路，容易陷入似懂非懂、实则不懂的学习困境.教师可以组织多样化的实践训练任务，切实提升数形结合思想在学习过程中的有效运用.在课上，教师可以邀请学生到讲台上解答问题，通过绘图梳理模型建构思路，并在课堂师生互动中启发和引导学生.在课外，教师可以要求学生结合自己周围的生活环境，自主创设“裁剪布料”“卧室设计”“花园用地规划”等问题情境，利用计算机软件或者手动绘制方式建构函数模型，解决空间利用问题.

结束语

总而言之，数形结合思想本就是数学教学中一种极为常见的解题思想和教学理念，在日常教学活动中发挥着重要价值，同时是各类数学考试重点考查的数学思想之一.随着数学教学活动的持续推进和学生学习难度的逐级递增，对中职学生而言，数形结合思想将会在他们的数学学习过程中发挥着越来越重要的作用.中职学校的数学教师需要将发展学生的数形结合解题思维作为重点教学任务之一，在日常教学过程中落实和应用数形结合思想，并不断采取创新性的教学路径和教学手段，切实加强对数形结合思想的应用和解读，帮助学生养成应用数形结合思想解决各类数学问题和生活问题的良好解题习惯，有效发展学生的解题思维，全面提升学生的学科素养.

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