基于数学建模核心素养下的高中数学课堂研究

张明刚

【摘要】数学模型作为高中数学六大核心素养之一，对于促进学生全面发展起着重要作用.而在当今的高中教学中，由于受到高考的压力，学校和教师并没有多余的时间和精力去进行数学建模活动，这就需要教师在教学活动中尽可能地渗透建模思想.文章结合高中教学的实际情况，提出了创设教学情境，引导学生感受建模过程及精选数学建模问题，帮助教师在教学中渗透数学建模素养.同时根据数学建模素养培养策略，对“椭圆的定义及其标准方程”这一章的教学进行了简单的设计，为教师的教学提供了参考，以提高学生数学建模素养.

【关键词】核心素养；数学建模；培养

一、背 景

数学建模作为高中数学学科中六大核心素养之一，其理论的提出体现了我国数学教育逐步从课堂理论讲解逐步转换到数学的应用性功能，自提出后受到了广大教育工作者的重视，而随着素质教育的不断提升，其必要性与重要性也被教师与学生重新认识.同时我国对高中学生数学建模能力的建设也提出了新标准，要求每个学校要积极安排每个学生至少进行一次数学建模活动或比赛.

“数学建模”虽然受到广大数学教育工作者的重视，但在如今的高中数学教学中并未取得理想的效果.其受多方面原因的影响，如高考的压力、教师的认知程度等，学生很少有机会进行有效的数学建模学习，对于数学建模的意义也是一问三不知.但在日常解题的过程中，学生会经常接触到数学模型构建方面的习题，这就给学生增加了解题的难度.因此，在日常教学中，教师应有意地渗透数学建模的相关知识，使学生在获取知识的过程中，逐步接触到数学建模思想，帮助学生进行数学模型的构建.

二、建模教学设计原则

（一）由浅入深

在高中之前，学生虽然在数学知识学习中会接触一些建模知识，但数学建模水平并不高.而且高中阶段教学内容与初中阶段存在较大的差别，所以教师在教学过程中要充分考虑学生的认知水平，以促进学生建模水平的提升.因此，在教学设计中，教师应当根据实际的教学内容由简单逐步向复杂过渡.而在实际的教学中，教师应首先安排简单的模型内容，激发学生的兴趣，在学生掌握基础模型的基础上再进一步探索较为困难的模型认知.其次教师通过循序渐进的教学方法，将建模教学融入日常课堂中，以帮助学生了解建模、认识建模、掌握建模，最后再利用建模思维解决实际问题，促进学生整个建模思维的提升.

（二）整体性原则

教学作为面向整个班级的集体活动，其目的是促进班级内认知水平的提升.所以在建模能力的教学中，教师应当充分考虑班级内学生的整体素质，并以此为基础，进行教学设计.同时，在教学设计中，数学教学设计不能与其他学科进行割裂，而是要加强各学科之间的联系，加强学生各学科知识的融合发展，促进学生以数学建模思维解决各学科问题的能力及建模能力的提高.

（三）理论与实际相结合原则

在数学建模教学中，理论与实际进行有效的融合对于教学而言同样重要.在实际的课堂中，因为易受到时间、内容、空间等方面的限制，所以为保证实际教学的效果，教师将理论与实际进行融合教学.一方面，以理论为基础，在课堂之上结合实际内容或生活中的情景进行讲解，这一阶段，可以帮助学生对于模型的构建产生更加清晰的认知；另一方面，在讲解模型内容时，教师也不能脱离理论知识，应当将二者紧密联系在一起，加深学生对理论的认知.

（四）多元评价原则

科学评价作为培养学生建模能力中的重要一環，也是教师们常常忽略的一环.在往常的教学中，教师的评价往往过于简单，而且在评价中，批评占据了大多数，这对于学生无论是数学建模能力的培养还是后续的发展都有十分重要的影响.在实际的教学中，教师应当从多个纬度、多种方法进行多元性的评价，及时关注学生在每一个阶段的学习状态并评价，将其融于教学中的各个阶段，并对结果进行总结、归纳与反馈，以保证学生能更好地获得建模能力.

三、培养策略

（一）创设教学情境，引导学生感受建模过程

虽然大多数的高中数学教师都能够清楚地认识到数学建模教学的重要性.但是，由建模教学活动具有开放、耗时长等特点，而高中数学教师都肩负着较重的教学任务，一般没有精力去组织开展建模教学活动，这就导致进行数学建模活动次数少，参加人数也较少.因此，想要以开展建模活动来培养学生建模素养，提高学生解决问题能力的方法是无法进行的[3].这时，就需要教师进行以课堂数学为主，课外活动为辅的，教学与建模活动有机结合的教学方式.通过二者的互补，把数学建模思想融入课堂中，这样就可以在不耽误正常上课的基础上把数学建模分解、化整为零的切入教学，逐步提高学生数学建模能力.

在教学中，一些有效的措施可以增强学生建模的兴趣，加强学生对数学建模学习的力度，改进学习行为，帮助学生树立现代数学建模观念，使学生真正意识到数学建模的意义和价值.

如在讲解“指数函数”时，教师就可以引用学生们耳熟能详的国王与米粒的故事，为学生导入数学建模材料.在一副棋盘中，第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3，4，5格依次放4，8，16粒……以此类推，直到摆满为止.而后提出问题：大家有没有发现其中的规律？如若放满，需要多少粒米呢？有没有模型可以反映其中之间的关系呢？通过问题的启发，引导学生自主探索反应模型，帮助学生构建“指数函数”模型.

（二）精选数学建模问题，激发学生学习兴趣

在数学课堂中问题是数学建模教与学的载体，数学建模的教与学都离不开对运用数学知识与方法解决现实问题的模仿和训练；教师为数学建模课堂教学和学生课下作业选拟什么样的数学建模问题，不仅影响数学建模教学效果，还在一定的程度上影响他们对建模的态度、兴趣及学习动机[4].因此，教师在选择数学建模问题时，应选择学生比较熟悉的数学建模问题，便于被学生接受，更易激发学生的兴奋点和探索热情.同时，数学建模问题应当符合学生已具备知识水平，学生运用已具备的数学知识和方法解决实际问题，不仅可以巩固已有知识，提高学生自豪感，还可以使学生觉得数学建模问题并不神秘，增加学生自信心.通过模型教学，学生可以不断深化和拓展已掌握的知识，促进模型的构建，完善知识结构.

如函数模型，就是人们利用变量关系去了解客观世界的重要工具.在整个高中的函数知识中，包含了三角函数、指数函数、对数函数等诸多问题，其基本概念、单调性、导数问题等均属于掌握重点.此时教师就可以根据实际情况，在模型构建过程中合理设计各种问题，利用图像或是解析式等模型，循序渐进探索函数的本质，帮助学生清楚理解各个函数所表达的意义.

（三）重视探究过程，强化数学建模

随着教学改革的不断深入，学生在课堂中主体性已成为一个明显的标志.同时，在对学生建模能力的培养中，重要的不仅仅是最终的结果，探究的过程也同样重要.因此，在实际的教学中，教师应当要从全面的“讲授”模式，转变为指导、引导模式.在建模教学中，教师应积极发挥引导作用，首先带领学生在数学问题中发现问题、提出问题，其次引导学生作出假设、建立模型，从而进行求解、检验，最后再由学生进行总结归纳，实现学生自身对模型认知的提升.促进学生在探究的过程中，强化自身的数学建模意识，发展自身的数学建模能力.

在考试中常见的实际问题是解决类型题目，教师可以带领学生思考其中的过程，培养学生的建模能力.如“一公司生产某一大型设备，一年需要成本500万元，产量为x台，另需成本c（x）万元，当产量小于80时，c（x）=12×2+40x万，当达到80时，c（x）=101x+8100x-2180万，每一台仪器售价100万，那么：（1）求一年内利润与产量之间的关系；（2）企业获取利润的最大值为？”针对这一实际问题，教师可以带领学生分析过程，构建模型，以此培养学生的建模能力.首先，学生需要明确这一问题的考查目标，引导学生分析成本、产量、收益之间的关系，其次教师还需要引导学生根据题目中给定的关系构建相关的函数模型，最后由教师进行总结归纳.

（四）多媒体辅助数学建模

随着教育行业的不断“现代化”，如多媒体等多种信息技术已广泛应用于日常教学中，并在实际的应用中取得了显著的效果，受到了广大师生的喜爱.虽然由于高中数学不同于其他学科，具有较强的逻辑性，使得一些教师在教学中不会使用多媒体这一其他学科常用的教学方法.但在实际的教学中，多媒体具有重要的意义，同时，多媒体技术能够为学生提供更加直观、清晰地构建各种数学模型，能够使学生在动态变化中，积累模型构建经验、形成良好的建模能力.同时，信息技术的存在能够为学生的建模学习创设良好的学习环境及坚实的基础.另外，多媒体技术的存在还能够改变传统数学课堂中枯燥的氛围，给课堂带来动画、声音、图像等新元素，提高学生学习数学建模思维、解决教学问题的能力，循序渐进地提升自身的数学建模能力.

四、“椭圆的定义及其标准方程”教学中渗透数学建模思想教学设计

教学模式：自主探究—动手实践—合作交流

教学内容分析：椭圆的定义及其标准方程的主要教学内容是利用分组教学、实践操作、自主思考、合作交流的教学方式，归纳学习椭圆方程的推理、椭圆的定义，

知识目标：掌握椭圆基本定义及标准方程的推导过程.引导学生通过自己手动画图，归纳椭圆要素，并赋予对应的符号.

情感目标：通过尝试数学模型推导椭圆标准方程，引导学生体会到构建数学模型的必要性，讓学生体会到利用数学模型来求解问题的便利性和准确性.

教学过程：

1.创设情境，引入课题

教师：同学们，大家有没有注意到生活中有哪些常见的椭圆形事物？

学生：鸡蛋、眼镜片

教师：同学们说的都对，椭圆是我们日常生活中常见的一种图形，大家看看以下场景是否接触过？（演示课件：花瓣、椭圆桌、地球运行轨迹等），在学生观看过程中书写椭圆的定义及其标准方程这一课堂主题.

设计意图：通过简单的情境创设，使学生跟上课堂节奏，吸引学生进入本章主题，同时从课件上可以看出椭圆用在了很多领域，体现出对椭圆进行研究是很有必要的.

教师：有同学认为椭圆是没有画圆的圆，谁能说一下圆的定义？

学生：在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆.（学生一边回忆，教师一边准备笔、两颗钉子和一段绳子）

教师：请同学们以小组为单位，利用以上工具对比圆的画法，探索如何画出椭圆.

2.小组作图，归纳定义

通过观察，大部分学生都可以画出椭圆.

老师：为什么大家画的椭圆有的圆有的扁？对此圆的定义，椭圆可以怎么定义呢？

同学：我认为椭圆的定义可以归纳为：平面上到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹.

同学：大家画的圆，有圆有扁是因为两个定点的位置不同.两个定点距离越近，椭圆越圆，两个定点距离越远，椭圆越扁.

教师：大家试着改变一下两根钉子的位置，观察一下图像是否会发生变化.

教师：两颗钉子是否可以随便摆放？当两颗钉子靠近时，所得到的图像是什么？两颗钉子不断分开时，所得到的图像又是什么？（学生根据教师的说法，开始画图）

学生：两颗钉子靠近时，椭圆越来越像圆，绳子绷直时，只能画出一根直线，再远就无法画出图形.

教师分析作出线段和画不出椭圆的原因，讨论移动图钉位置导致椭圆有圆有扁的情况.

教师：根据刚刚我们对椭圆的分析，那么同学们现在能告诉我什么是椭圆吗？在画椭圆的过程中，椭圆的形状与哪些几何要素有关？椭圆的标准方程又该如何推导呢？

（要求学生分组进行讨论交流，而后进行回答.）

3.提炼要素，建立模型

经过学生小组、动手交流后，对于椭圆的定义已有了基本的掌握，接下来就需要教师从进行椭圆模型的构建，推到椭圆标准方程.

模型准备：随机选择一位学生在黑板上画出一个椭圆.

假设模型：根据黑板上学生所画图象，将连接两个图钉之间的直线视为x轴，两点之间的中垂线视为y轴，将椭圆“搬到”直角坐标系之中，如图1所示，然后设两个钉子之间的距离为2c，绳子的长度为2a，两个钉子分别为F1，F2，则其坐标为（-c，0）和（c，0），同时椭圆上存在任意一点M，其坐标用（x，y）表示.

模型分析 模型分析在整个模型构建中是非常重要的一步，只有建立合适的坐标系，为几何要素设置简单的变量，最终才能够推导出简洁明了的方程.

模型检验：不能在模型构建好了以后就认为万事大吉，检验也是非常重要的一步，可以对方程式的未知量进行赋值，而后作图，来观察图像是否为椭圆，以此进行验证.

应用模型：椭圆是后续学习圆锥曲线的基础，而后续的双曲线标准方程及其他曲线方程可以在圆锥标准曲线的基础上进行推导，基本步骤也是类似，首先建立合适的直角坐标系，其次赋予变量符号，建立方程式并化简，最后进行模型检验.

五、总 结

数学模型作为高中数学六大核心素养之一，可以帮助学生提高考试成绩.但在当今的高中教学中，由于受到高考的压力，学校和教师并没有多余的时间和精力去进行数学建模活动，这就需要教师在教学活动中尽可能地渗透建模思想.本文结合高中数学教学的实际情况，提出了创设教学情境，引导学生感受建模过程及精选数学建模问题，来帮助教师在教学中渗透数学建模素养.同时根据数学建模素养培养策略，对椭圆的定义及其标准方程这一章的教学进行了简单的设计，为教师的教学提供了参考，以提高学生数学建模素养.

【参考文献】

[1]牛伟强.高中生数学建模能力发展研究[D].华东师范大学，2019.

[2]王义霞.高中生数学建模能力培养研究[J].数学教学通讯，2021（15）：34-35.

[3]林秀娟.高中数学建模素养提升的课堂实践与思考[J].高考，2021（17）：19-20.

[4]姚榕添.着眼数学建模提升核心素养———基于核心素养理念下高中数学建模的策略研究[J].数学学习与研究，2021（13）：111-112.