二次函数中平行四边形存在问题分类例析

高国强

【摘要】二次函数作为中学阶段重要的知识点，直接关乎着学生的数学水平，也曾经一度成为数学教学与考试的难点.为此，在初中数学二次函数的教学中，教师要重视二次函数中平行四边形的典型问题，并且培养学生良好地运用多种解题方法，加深其对二次函数中平行四边形问题的理解，同时结合常见题型分析，总结求解二次函数平行四边形问题的规律.这既满足了二次函数板块教学水平的提升的要求，同时为后续的知识学习奠定了坚实基础.

【关键词】二次函数；平行四边形；例题分析

引 言

从数学知识角度来看，平行四边形的知识对于学生来说相对简单；二次函数的知识，学生通过一段实际的接触和学习后也可以基本掌握其图像性质与画法.但是二次函数与平行四边形的知识融合，就大大增加了题目的难度，也给学生解题带来一定困扰.在解决这一类题目时，教师要求学生要明确理解和掌握平行四边形的性质与判定依据，同时要深入理解二次函数表达式，只有这样才能在面对二次函数中平行四边形存在性问题时迅速产生解题思路.因此，教师在日常教学时，要确保学生对二次函数基础知识与平行四边形的性质烂熟于心，随后对学生的解题步骤、方法等方面进行全面指导，确保学生解题能力得到提升.

在二次函数的中考压轴题中有一类平行四边形存在问题，它能很好地考查学生的分类讨论思想、待定系数法的运用和综合性解题能力.学生在解题中不仅要灵活运用平行四边形的基本性质，还要牢牢把握求二次函数图像的重要性质，根据不同的题目，采取不同的方法.下文利用中考真题（或改编题）分类例析.

一、二次函数中平行四边形存在问题的教学要点

（一）扎实基础，做好解题准备

在中学数学课程教学中，学生解答问题的根本在于掌握扎实的基础知识，只有具备基础知识才能更好地找到解题切入点.以二次函数中平行四边形存在性问题为例进行分析，学生必须掌握二次函数基本性质，结合二次函数来画图，同时结合图像补充完整的函数.此外，学生也要明确平行四边形的基本性质，掌握在二次函数中构建平行四边形的方法.因此，在这一类问题的教学中，教师要引导学生夯实二次函数和平行四边形的基础，并且对这一类问题的解题规律进行探究.学生只有通过多次训练和思考，利用自身具备的基础知识，才能达到最佳的解题效果.

例如，当学生遇到关于二次函数中平行四边形的问题时，为了使学生快速地寻找问题解答的切入点，清晰地分类并理顺已知问题，实现快捷而正确的问题求解，教师可通过设疑方式帮助学生迅速回想关于二次函数的平行四边形知识，使其在脑海中迅速浮现平行四边形基本性质，以及例题中如何才能够应用到正确判断平行四边形性质的基本定理，回忆二次函数顶点式的表示方法，表示顶点位置的对称轴公式.教师再引导学生在白纸上写出实际应用到的知识点和方法，以便解题时使用.在这样的教学方式下，学生能够对相关的概念与知识认识得更加深刻，从而精准地找到问题切入点，快速完成解题.

（二）梳理步骤，提高解题准确性

由于“二次函数中平行四边形存在性問题”这种类型的题目涉及众多知识，解题过程也较为复杂，因此想要完整和精准地解答题目，教师就必须做好解题步骤的梳理，从而提高学生解题的精准性.在解决这类问题时，教师要对学生进行引导教学，使学生可以自主结合题目已知条件与求解目标，整理出一套符合自己的解题思路，随后对整个解题步骤进行梳理，最终能够按照自己解题思路和规范的解题步骤来完成问题解答.这种教学方式，可以为学生营造清晰的解题思路，保障解题的准确性.

二、四个顶点连线中有与y轴平行且长度确定的一条边的类型

三、四个顶点连线中有与y轴不平行也不垂直且长度确定的一条边的类型

问题2 （2015山东德州改编）如图2，抛物线解析式为y=-x2+4x+2，点D是抛物线顶点，E点坐标为（4，2），若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标.

点评 本题中指出线段PQ与线段AM是互相平行且相等的.最重要一个特点就是它们都和直线BC是垂直的.这一点非常的重要.抓住这个特性利用平移直线BC的方法求出平移后的直线与抛物线的交点就是能求出P点.关键是求两条直线解析式：一条直线是过A点与BC平行的直线一条直线，另一条是过A点关于B点的对称点的与BC平行的直线.再分别与抛物线的解析式联立方程组求出参数和交点坐标.这一方法并不是通解通法，但它在这类题中作用明显.我们不妨把这种方法叫作两线相交法.

解函数背景下平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步，找准分类标准进行分类；第二步，根据平移和中心对称特性画图；第三步，列方程计算.解题的难点在于寻找分类标准，分类标准寻找得恰当可以使得答案不重不漏，也可以使计算又准又快.上面出现的问题类型都属于二次函数背景之下的两个动点、两个定点的平行四边形存在性问题.它们的分类标准一般是把确定的一条线段按照是否为对角线或者是否为一条边进行区分，然后根据平移、中心对称以及其他平行四边形性质分别列出方程或方程组巧妙求解.

【参考文献】

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