从系统的观点看二次根式的教学设计

庞宇中

【摘要】二次根式作为初中代数学习的最后一章内容有着一定的难度与复杂性，教学过程中对“度”的把握也是一个难点.如何在代数式学习的基础上，通过二次根式一课总结代数学习的一般方法，完善代数发展的内在要求，实现代数体系的系统化，如何尝试与已学内容进行对比，发现其内在联系，从而使得教学思路更为精准，使学生更能理解代数学习的方向，笔者将以此课为例进行有效的教学设计，突破上述难点.

【关键词】二次根式；起始课；教学设计

一、内容与内容解析

1.内容

本节课为人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册“16.1 二次根式”.

2.内容解析

本章是初中阶段“数与式”内容的最后一章.实际上，二次根式是一个非负数的算术平方根的一般表示，对于学生而言，它并非一个未知的全新概念，而学生存在的认知盲区是：不能理解二次根式作为一类特殊实数的一般形式.基于该学情，可以确定本章内容的核心价值在于：从“二次根式”这一特殊实数为载体出发，理解“二次根式作为特殊实数的一般形式”这一概念，从而进一步理解实数及其运算.

同时，二次根式作为一类代数式，研究其性质和运算，既是学习代数式的延续，又为理解代数符号体系及运算提供了素材，从而进一步引导学生体会运算在代数中的核心地位.而本节课作为起始课，主要介绍了“二次根式”的概念和性质，为学生后续理解代数符号体系及其运算做铺垫.

笔者用如图所示的框图表示数与式的知识结构.

作为章节起始课我们从实际问题中抽象出二次根式的基本模型进行研究，结合代数式运算的全面角度体会其必要性.作为“数与式”的最后一章，可以借鉴之前学习其他代数式的一般方法，进一步体会代数式学习的基本思想和基本方法.

本节课属于概念课，但由于概念以白描形式给出，应更多地关注被开方数非负这一特性，而不是深入研究如何辨析.

基于以上分析，确定本节课的教学重点：从算术平方根的意义出发进一步理解二次根式的概念；深入探索二次根式有意义的条件.

二、目标与目标解析

1.目标

（1）经历从实际问题中抽象出二次根式的过程，能用二次根式表示数学问题以及实际问题中的数量和数量关系.

（2）根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数及二次根式本身必须是非负数的原因.

（3）类比分式学习的方式，进一步理解代数式学习的一般方法.

2.目标解析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于二次根式的表述为：了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算.显然从代数式的角度理解二次根式主要集中于概念的理解，对于运算的要求更加偏向于实数的理解，所以本节课的教学应当从数式通性入手，达成概念的渗透.因此，达成目标（1）的标志是：学生能根据实际问题，运用已学过的计算方法，列出表达实际问题的代数式.达成目标（2）的标志是：学生能从具体数的算术平方根出发，通过字母表示数，从而把算术平方根的概念进一步拓展到被开方数含有字母的形式；根据算术平方根的概念推导出二次根式的概念；能根据算术平方根的意义得出二次根式的被开方数和值都为非负数这个结论.达成目标（3）的标志是：学生能自然联想学习代数式的常规模式，体会运算在其中起到的决定性作用.

三、教学问题诊断分析

1.具备的基础（知识、能力）

学生在七年级已经学习了非负数的开平方运算，掌握了平方根及算术平方根的基本概念，还学习了整式、分式的概念和性质，对开方运算以及代数式有一定的知识基础和研究经验.

2.与本课目标的差距分析（知识、能力）

开平方及平方根的知识，始终是六种运算中，最让学生难以掌握的一种，而对包含字母的式子进行开平方运算则是比具体数的开平方运算更为抽象的一种运算，因此在研究根式的过程中，教师应结合实数的相关知识，培养学生的类比能力.

3.可能存在的问题（问题、障碍）

二次根式的概念属于白描层次，对于二次根式的概念只能停留在形式上，不要让学生陷入抠概念的死胡同.

4.应对策略（过程、方法）

通过熟悉的数的开平方运算以及平方根、算术平方根的知识出发，结合分式学习的一般方法，经历“实际问题抽象—观察—类比—归纳—应用”的过程，启发学生从运算规律与基本概念中归纳出一般规律，这不仅符合学生认知基础，而且符合代数式研究的一般方法，是数学抽象核心素养的体现，其结果具有统一性和普遍性.

基于以上分析，确定本节课的教学难点：把握知识发生发展的线索，类比分式的学习，明确代数研究的一般方法.

四、教学过程

环节1：课前检测

（3）-5有平方根嗎？为什么？

设计意图：为学生从数到代数的研究做好铺垫，通过回顾数开方的过程，来研究式开方的过程；让学生在学习过程中感受到研究二次根式仅仅只是将开方的对象从数扩展到含字母的表达式；通过回顾数的平方根的意义和特征，帮助学生更好地理解被开方数非负这一特征.

【评析】通过环节1，回顾开方运算以及平方根的相关概念，理解数的开放运算的基本流程，以便于利用数式通性，自然地形成二次根式的基本概念.从数的开平方开始，能减轻学生的认知负担，有利于挖掘丰富的信息，唤醒代数学习的旧知，为二次根式概念的学习提供保障.通过教师的归纳断后，学生充分了解开平方运算的内在要求，达到前测的效果.

环节2：引入

引言

大家顺利地通过了前测，说明你们已经具备了学习新知识的能力，下面一起思考几个在游乐场发生的数学问题.

问题1：回答以下几个实际问题

师生活动：学生先自主思考，通过开方运算得出上述实际问题的结果，教师在学生思考过程中适当引导、评价，最终帮助学生从中抽象出数学模型.

追问：通过哪种运算得出这些结果的？

师生活动：通过运算过程，教师引导学生回答开方运算.

追问：以上的式子你是陌生还是熟悉？

师生活动：学生讨论，可以从不同角度发表意见，这里不论学生回答陌生还是熟悉，教师均表示认可，可以引导学生从代数式的角度发现这些式的开方运算结果，对于只学过整式和分式的学生来说是陌生的，而形式上发现与数开平方的结果即算术平方根相似，所以又是熟悉的.然后教师可以让学生发现最大的区别就在于被开方数是数还是表示数的字母，而通过字母表示数的过程则可实现统一.

设计意图：经历这些实际问题，是为了让学生感受学习二次根式是实际需要的，它与生活息息相关，让学生从实际问题中抽象出要学的二次根式形式，为之后的概念学习打下基础，其次教师引导学生寻找二次根式与数的算术平方根之间在概念层面上的联系，了解字母表示的数进行开平方运算的可能性，体会字母在表示“数”这一概念上的一般性和简约性.

【评析】（1）从生活实例得出二次根式的概念，充分体现了研究主体的实用价值，进一步提高了学生用数学的眼光观察现实世界的能力，引导学生进一步用数学的语言表达对现实世界的观察与理解，培养学生用数学的思维思考现实世界的能力；（2）结合前测用开方运算一以贯之，教师引导学生利用数式通性达到数到式的平滑过渡，为概念的落地提供有效保障；（3）教师的追问断后使得问题层层推进，充分调动学生的学习热情.

环节3：探索

师生活动：结合之前活动对于这些式子的理解，教师带领学生共同描述二次根式的概念.借此教师可以通过代数式的运算出发，从六种运算的完备性的角度，再次说明学习二次根式的必要性.

追问：这个章节是初中数与式的最后一章，那么大家对于之前所学的整式和分式还熟悉吗？我们试着以学习分式的方法为例，一起学习二次根式.

师生活动：教师展示分式的教材，类比分式的学习方法，从概念到有意义的条件，让学生实现方法的同化.

追问：分式需满足分母不为零，那么你觉得二次根式需要满足怎样的条件呢？

师生活动：教师引导学生讨论，结合之前对二次根式的理解，从开平方运算的角度，来说明其有意义的条件，从而能顺利地追加被开方数非负的条件.

设计意图：采用代数式学习的一般模式，得出二次根式的概念及其有意义的条件.

【评析】（1）由实际问题产生概念，说明了研究主体的实用价值，但教师也需要让学生充分理解概念所蕴含的数学逻辑，类比于数的运算，整式的加、减、乘运算都是封闭的，而除法除不尽了就需要引入分式，而开方开不尽了就需要引入根式，从数学内部逻辑让学生进一步体会概念形成的过程；（2）代数学习的一般路径可以类比于分式的学习，在研究路径上分式与根式的学习是具有一致性的，包括他们产生的数学背景、所需要满足的代数条件，以及性质和运算，分式的产生是依托于除法的，要求除数不为零，即分母不为零，而二次根式的产生是开平方的结果，所以要求被开方数非负，如此的教学能够让学生思考代数学习的一般模式，体会代数整体的内在逻辑.

环节4：概念辨析

师生活动：利用二次根式有意义的条件，我们可以解决下面的问题.

师生活动：通过测评，教师让各组组长统计好正确情况及时反馈错误点，让学生作为老师进行讲解，并在讲解完后，进行同类变式，再次训练，以致掌握.

设计意图：通过例1和例2以及实时测评，加深学生对概念理解.

问题2：类比于分式，我们在研究完概念后需进一步研究它的什么？

师生活动：教师展示分式章节教材，引导学生回答问题并学习其性质.

設计意图：强化学生对二次根式的双重非负性的认识.

【评析】（1）通过对概念本质的理解，能让学生有效地解决问题，当产生困惑时教师需要引导学生回归问题的本质，而二次根式有意义的条件则是被开方数非负，从而把问题转化为不等式求解的问题；（2）类比于分式的学习，在概念结束后为了运算的需要，教师引导学生学习了分式的性质，而二次根式的性质大多是为了满足运算的需要，在代数结构特征中，教师可以先提出算术平方根所具有的非负性，这对学生认识代数结构有着非常大的作用.

环节5：综合应用

练习1：完成教科书第3页的练习.

练习2：下列各式在实数范围内有意义，求a的取值范围.

设计意图：使学生辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件，能用二次根式解决简单实际问题.

【评析】通过应用，学生熟悉了本节课的内容，回到实际问题中来，前后呼应，充分体现学习主体的研究价值.

环节6：课堂小结

教师与学生一起回顾本节课的主要内容.

1.回顾二次根式的概念及性质.

2.回顾学习二次根式所用到的基本数学方法.

3.结合之前代数式的学习过程，猜想之后学习的内容.

设计意图：结合二次根式概念的回顾，教师让学生体会研究问题的一般方法，学会发现知识之间的联系，体会运算在代数学中的重要地位.

【评析】学生通过小结，回顾学习内容，理顺研究路径，形成代数学习的基本模式.

五、教学反思

第一，代数运算是代数的基本性质，初中生学习代数是依托运算出发的，在教学中教师需让学生充分体会代数运算体系，与根式产生的内在联系；第二，数学模型多来源于生活，而数学本身也是为生活实际服务的，教师需充分让学生体会从实际问题中抽象出数学模型的过程，这样的研究是有灵魂的；第三，作为数与式的最后一课，类比已经学习过的代数式是巧妙的思路，能更好地渗透学生研究问题的一般方法，强化对于概念和性质的区分.

本节课中，教师采用“发现问题—研究意义—理解概念—尝试辨析—综合应用”的教学方法，让学生既有时间思考，又有机会表达，让学生在交流和碰撞中加深对知识的理解，使学生对问题的认识更加深入，对概念形成更加系统的认知，从而逐步建构起数学的综合素养，提高运用数学解决问题的能力、熟练掌握研究数学问题的方法.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部定制.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]施俊进.关注已有经验促进自主建构：“二次根式（1）”课堂教学实践与反思[J].中国数学教育，2014（05）：31-35.

[3]马健.“让学引思”的实践与思考：以人教版八年级下册“二次根式（1）”教学为例[J].中学数学月刊，2017（07）：35-38，42.