平面几何常见极值问题的解法探究

黄发长

【摘 要】  在动态几何题中，求满足条件的某个几何量在运动（变化）过程中达到最大（或小）值的问题，称为几何极值问题．这类题通常作为压轴题出现在中考选择题、填空题中．本文从三个“基本事实”出发，观察、探究、归纳常见平面几何极值问题的解法．

【关键词】  几何；极值；解题技巧

1 两点之间，线段最短

这类题的解答关键点在于利用轴对称构建对称点（有时只需在图中寻找现成的点），把所求问题转化为两点之间距离大小的问题．“将军饮马问题”是此类题中最经典的模型．

例1   如图1，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是     ．

解析   本题解题关键点在于构建点D（或M）关于直线AC的对称点，相比较而言，构建点D的对称点（即为点B）更为容易．这样连接MB，即可得最小值是10．

2 垂线段最短

2.1 直接考查

这里所说的“直接考查”是指要求的结论（即使存在转化而间接求解），直接用到基本事实，是相对下述“2.2”复合考查而言的．

例2   如图2，在四边形ABCD中，点P是AB上一动点，点E、F分别在CD、PD上，且DE= 1 3 DP，DF= 1 3 DC，若 sin ∠CBA= 3 4 ，BC=8，则EF的最小值为     ．

分析   易证△DEF∽△DPC，且相似比为 1 3 ，则当PC最小时，EF取得最小值．显然当 sin ∠CBA= 3 4 ，BC=8时， CP⊥BA是PC取最小值的前提．则易求得EF的最小值为2．

2.2 复合考查

所谓复合考查，指要求的结论在形式上不是一条“整”线段，而是几部分的和．其解法通常是把结论中的部分整合为“整体”来求解．此类题型中典型的例子是“胡不归模型”．

例3   如图3，在△ABC中，AB=AC=10， tan A=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，那么：（1）AE= ；（2）CD+  5  5 BD的最小值是 ．

分析   （1）AE=2 5 ；

（2）解题时把“  5  5 BD”先转化是关键，

不妨设  5  5 BD=m，

则有 m BD =  5  5 ，

而  5  5 = 2 5  10 = EA AB ，即有 m BD = EA AB ，

于是过点D作DP⊥AB（如图4），则  5  5 BD=DP．

于是求“CD+  5  5 BD的最小值”便转化为求“CD+DP的最小值”．

显然当三点C、D、P共线时，可满足要求，过点C作直线AB的垂线CH，即最小值为CH的长．易求得最小值CH=4 5 ．

3 不是课本定理，却也是“基本事实”

3.1 藏在图形中却显而易见的极值問题

举个例子来说明“显而易见”，如在圆中最长的弦是直径．解此类题，构造与所求结论相关的直径是解题关键．

例4   如图5，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45 ° ，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是     ．

分析   MN是△ABC的一条中位线，则要求MN长的最大值，可转化为求弦BC长的最大值．显然当BC为直径（易求直径为5 2 ）时其长最大，所以MN长的最大值是 5 2  2 ．

3.2 与轨迹有关的极值问题

解决这类问题的关键在于找准动点的轨迹．当轨迹与圆有关时，给定条件中往往会有直角，把直角当作圆周角，直角顶点便“动”了起来（形成轨迹），接下来确定直角所对的直径是解题关键．要注意的是，直径有时是显现的、有时是隐藏着的，这恰恰是难点所在．

例5   如图６，在△ABC中，AB=5，AC=7，AE平分∠BAC，BE⊥AE，垂足为E，D为BC的中点，则DE=     ；若把条件“AE平分∠BAC”改为“AE为过点A的任意射线”，其他条件均不变，则DE的最大值=      ．

分析   （1）延长BE交AC于点F，易有DE为△BFC的中位线，

则DE= 1 2 FC=1；

（2）求DE的最大值，突破口在先搞清点E的轨迹是什么.由于∠AEB为直角，联想到圆．以AB为直径的圆即为点E的轨迹．于是DE的最大值即为图6中过圆心O的线段DE′=6．

例6   如图7，在矩形ABCD中，AB =4，BC =3， E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段DH长度的最小值为 ．

分析   从图上看直角∠BHP所对的斜边BP长是变化的，本题直径隐藏着．连接EF交PQ于点M（如图8），易证△EMP∽△FMQ，且EM∶FM=2∶1，即PQ始终过点M，连接BM，BM即为“隐藏”的直径．作⊙O，连接DO交⊙O于点H′，则DH′为线段DH长度变化过程中的最小值．由EM∶FM=2∶1可知EM=2，而BE=2，则BM=2 2 ，即半径OB= 2 ，易得OD= 13 ，则DH′= 13 - 2 ．

4 结语

解答几何极值问题，处理好解题与培养核心素养的关系是关键．具体说，就是通过解题培养直观想象、应用意识等素养；反过来通过直观想象区分条件特征，准确应用相关“基本事实”解答问题．