初中数学三角形问题易错题探究

高琦 田霞

【摘 要】  本文结合多年的教学实践，归纳了一些常见的初中数学三角形易错题型，并给出了相应的解决方法，以期为广大师生提供一些有益的启示.易错题含有大量的知识，往往会导致基础不扎实、思维松散的学生落入出题者的圈套.所以，在平时的教学和授课中，教师要多分析易错题的类型和解题方式，将容易出现的问题进行归纳、分类，并在讲课中向学生解释这些问题的联系，以弥补学生的基本功和思维上的不足.

【关键词】  初中数学；三角形；易错题

初中生的思维尚处在从形象思维到抽象思维的转变中，如果不能很好地把握住教学知识点，就会受到主观和形象思维的影响，从而导致对题目所包含的考点不能熟练运用，在做题时频繁出现错误，这就是所谓的“易错题”.当前，大多数教师和学生对易错试卷的归纳方式都是采用错题库或者错题卡，缺乏对学生易错情况进行统计和分析的数据，从而无法对易错资源进行有效的利用.针对易错题进行深入分析，可以更好地对易错题型进行统计，并可对学生的易错状况进行实时追踪与更新，不仅可以辅助学生掌握知识，还可以帮助教师更好地进行教学、因材施教.

1 易错题类型分析

1.1 计算错误

根据目前的教学反馈，一些学生在做题时容易出错，除了少数是因为对基础知识的理解不够扎实，也有一些是由于思维上的问题，更多的是由于没有养成正确的解决问题的习惯，在做题时粗心大意.由于课堂上的走神、自我规范意识不强、对问题的处理不到位，导致了解题的失误，部分学生答题不规范、书写潦草、粗略审题等，造成计算时的粗心，由此导致的计算误差使得一些计算量较大的题目成为易错题  [1] .

1.2 审题错误

审题是解题的关键，很多同学因为没有认真地审题，没有对题目所给条件进行仔细思考，或者忽略了问题的隐含条件，从而得到了错误的答案.由于初中生的生理和心理发育还处在发育时期，受到年龄和人生阅历的制约，在各个方面都有一定的限制.初中数学知识之间的关系不是孤立的，而是相互联系的，学生若不能将所学的知识进行有效的连接，在审题中发现不了题干的考点关联，就不能建立起自己的数学思维，势必会受到固定思维的影响而产生误差  [2] .

1.3 知识点掌握错误

初中数学含有大量的概念和公式，但学生普遍存在着对数学概念不重视的问题，如果不能从根本上理解这些概念，很容易使学生产生误解.数学概念是数学运算、推理和证明的先决条件，正确地理解概念是解决问题的首要步骤.但是，在学生解题时经常会遇到对问题知识点缺乏正确认识，从而造成解题失误.当学生们掌握更多的数学知识点后，一些学生因为对知识的掌握不够透彻，会导致知识的模糊与混乱，从而导致他们在解题时产生一些模糊的概念.同时一些基础薄弱的同学在学习中难以跟上课堂的节奏，造成了对知识的理解不夠扎实.另外，由于受个人个性和思想因素的影响，一些学生在学习时得过且过，对所学知识的理解不够透彻，对相关知识点的掌握不够充分.有些同学仅仅记住了定义和公式，并不能将知识链接起来，在运用中也非常吃力，有的同学只是照搬范例，没有扎实的基础，一旦题目稍微改变就难以正确解答.

2 初中数学三角问题易错题成因分析

2.1 思维定式所致

很多学生在做题的时候，都会产生一种思维惯性，他们会自然而然从自己的想法出发去思考问题的答案，从而忽略了问题背后的意义，陷入了自己的思维定式之中.因思维定式出错的题，一般都是在题干相对较为简单的情况下，很多学生在解题时会放松警惕，然后凭借自己的直觉和猜测，而忽略了这些问题的逻辑性，只是粗略看了一眼题目，然后就得出了结果.中学生的思维还处在发展的初级阶段，数学知识点之间总是存在着一定的内在关联，但如果不能有效地衔接前后学习的知识点，就会使新学习的知识对以前所学知识造成影响，从而导致无法有效地迁移和连接知识点，在实际运用中产生各种各样的错误  [3] .

2.2 数学概念不清所致

初中生正处于活泼好动的时期，一些学生上课时不能专心听讲，课堂上教师教给他们的数学知识并没有得到很好的理解，同时在课下又没有投入时间精力去学习，这就造成了学生对数学知识的不熟悉，由此导致一些学生的基础知识不够扎实.在实际的解题中，这些学生不能很好地建立起相应的知识点关联，只会死记硬背却不能充分利用知识.另外，有些同学在做题的时候，只会按照范例来做，这就导致题目一旦发生改变就会造成解题的失误.

例如   如图1，BC=BD，∠ACB=∠ADB.求证：AC=AD.在错误解法中，一些学生连接AB，在三角形ABC和三角形ABD中，因为AB=AB，∠ACB=∠ADB，BC=BD.所以三角形ABC与三角形ABD全等，所以AC=AD，但在本题中连接AB，将四边形转化为三角形，在证明时运用了不能判定三角形全等的SSA，从而导致解题错误.

2.3 审题不严所致

许多同学在审题时都是马马虎虎，没有掌握好题目讲的是什么，也不明白出题者设定了哪些考点，这样就会造成题干不清、条件乱用.很多容易出错的题目，都会有一个或者几个隐藏的问题，需要学生仔细审题.一些容易出错的题目，并不是因为学生对知识的理解和理解能力不够，而是因为他们的学习习惯不好、注意力不集中，在审题时没有重视隐藏条件，所以在解决问题的时候总会出现错误.很多时候因为学生忽略了条件，导致分析问题时有些情况缺失，在做题时丢失了不少分数.

3 解决初中数学三角形问题易错题的有效策略

3.1 培养学生严谨思维习惯

由于受思维方式的影响，学生解答数学问题时容易出现错误，在初中数学教学中，“易错题”往往是因为学生缺乏严谨的数学思维能力  [4] .通过对错误答案的持续修正，不仅可以巩固知识点，而且可以在不间断的积累下，使学生的思考能力得到进一步的提升.

例如   在解斜三角形问题中，可以对其进行思维的转变，将其转换成直角三角形，从而达到数学转换的目的.现已知锐角三角形ABC（如图2）的面积为10， tan C=2， sin B= 4 5 ，求三角形ABC的边长.

我们可以看到，给出的题目不是直接解直角三角形，在答题的时候就需要我们添加辅助线来构建直角三角形，再根据题目中给出的图形面积，借助S= 1 2 ×底×高进行解答.根据 tan C与 sin B的值，AD是三角形ABD和三角形ACD的公共边，因此可以选择AD进行求解.通过公共边AD可以根据给出的正弦、余弦和正切的值，求出对应的各自的边长.如果我们设AD为x，则BD为 3 4 x，CD为 x 2 ，此时就可以用x表示BC的长，根据面积公式，本题就变成了求解x的方程式.在这个图中并没有明确的三角形的高，因此，学生在解答前要作一个辅助线，然后进行解析，并根据需要建立相应的直角三角形.这里要说明的是，在构造直角三角形时，首先要找到特定的角，然后把它的顶点和它的对边的高度相对应，再把这个问题转化为一个解直角三角形.

3.2 强化概念教学中的认知

学生出现解题错误是很正常的事情，有很多种原因，比如没有看懂题目，在学习的时候不会思考，但是不管是什么原因，教师都要抓住这个机会，争取解决学生出现错题的原因，通过特殊的训练，引导学生分析自己做错的原因，这样才能更好地掌握错题的相关知识，防止下次出错  [5] .在相似三角形的证明中，常用的方法为平行线法以及对角相等法，这就需要学生对三角形的定理性质进行充分把握.

例如   在四边形ABCD中（如图3），∠ABC=∠ADC=90 ° ，DE⊥CA，交点为F.求证：△ADE∽△ABD.

在证明这两个三角形相似时，我们可以看到这两个三角形有公共角，那我们只需再证明还有一对角相等或夹角对应的边成比例即可.在△FEA和△BCA中，因为∠EAF=∠CAB，∠EFA=∠CBA=90 ° ，所以△FEA∽△BCA，可得EA·BA=FA·CA.同理△DFA∽△CDA，所以DA 2=FA·CA.根据以上两个条件可得AE·AB=AD 2， AE AD = AD AB .此時根据定理可得△ADE和△ABD相似.

3.3 重视错题指导以及批改

在每节课的课程即将结束的时候，教师应该有一个固定的时间来做总结.在总结中，除了要阐述这节课所学知识的要点，还应特别准备归纳与该知识点有关的常见思考和错误，并安排相应的随堂作业，以测试学生对本节课学习的理解能力.通过对课堂作业的批改，教师可以进一步提高课堂教学的效果，同时，在适当的时候还可以通过考试来加强学生对易错题的识别和适应性.

作为一名数学教师，应该督促学生们主动做易错题，时常温习才能学到新的东西.指导同学们把教师所说的易错问题，以及平时的学习、作业，尤其是在考试中出现错误的问题，抄录在错题本上.教师可以引导学生分析自己的错题，回想一下自己的思路，知晓是自己的思路不够清晰，还是自己没有认真思考，或者是自己的疏忽导致了错误.同时学生要注重对易错题进行练习，这样才能在遇到类似的问题时，得到正确的答案.

4 结语

长期以来，易错题的问题一直是初中数学教学中的一个难题，也是造成学生学习困难的一个主要原因.作为一名数学教师，在日常教学中要深刻地意识到三角形题型容易出错的原因，并将容易出现的错误归类，以便学生尽早地意识到问题的存在，并养成正确的解题方法和思考技巧.学生在数学学习中难免会发生错误，在初中的数学教学中，教师要对学生容易出错的问题进行分析，并找出错题的根源，采取适当的干预措施，防止学生重复犯同样的错误，以期提高学生的数学思考水平.

参考文献：

[1] 尚卫成，谭晓玲.初中数学核心素养“数学抽象”理解及解题技巧——以“探索三角形全等条件”为例[J].数学之友，2022，36（23）：34-36.

[2]彭金萍.初中数学教学中的全等三角形解题策略[J].数学学习与研究，2022（23）：134-136.

[3]马海智.直角三角形在解决初中数学一般角问题中的妙用[J].现代中学生（初中版），2022（12）：39-40.

[4]沈奕.初中数学证明全等三角形题型探究[J].数学之友，2022，36（07）：23-24.

[5]马晓琴.剖析初中数学三角形问题易错点[J].现代中学生（初中版），2021（20）：47-48.