深度教学视域下初中数学模型思想渗透路径探索

夏恋

【摘 要】  深度教学旨在提升学生数学思维的维度与深度，让学生挖掘数学知识潜在的魅力.而模型思想能够将抽象化的数学知识归类统一，从而获得模型化的问题解决方案，提高学生的学习效率.在深度教学视域下渗透模型思想，能够有效拓宽学生在数学知识理解上的深度与广度，提升学生的数学技能，培养学生的数学素养.

【关键词】  初中数学；深度教学；模型思想

深度学习要求学习者深入知识内在的逻辑，在更深的领域展开数学思考活动，促进思维的发展  [1] .在深度教学视域下，教师需要重视学生在学习过程中的探究式学习，实现内容的有效整合和高效迁移.数学模型则是将实际问题進行思考和分析，而后获得其模型化的解答方案，同时针对模型进行拓宽、完善，以此获得更加全面的数学理解.在深度教学视域下渗透模型思想需要教师结合具体的教学内容，设置合理的教学环节，在引导学生感悟知识的同时提高学生的综合能力.

1 创设良好情境，感受模型思维

深度教学提倡在教学中提高学生的学习深度，因此对学生个人的知识背景以及学习经验转化也有一定的要求  [2] .因此，教师需要合理借助实际情境，这样既能方便学生从中抽象出数学问题的本质，提炼更深层次的数学知识，也能让学生将生活中的模型与数学问题相联系，体会到数学模型思想在实际生活中的应用价值.

2 实施问题引导，形成模型思想

深度教学强调学生在教学过程中的主体地位，主要以学生的思考活动为主.因此教师可以实施问题引导，激发学生对问题的深度思考以及问题背后数学模型的建构.而后教师可以通过问题的变形对学生的数学思维进一步深化，同时帮助学生拓宽并完善数学模型，这样既能有效激发学生学习兴趣，还能培养学生提炼解题模型和解题方法的习惯，促进深度教学  [3] .

3 注重教学交流，深化模型思想

深度教学是在完成本职教学任务的基础上进行的，因此教学交流必不可少.有效的教学交流一方面可以拉近师生距离，活跃课堂氛围，另一方面还能促进学生的正向思考，让学生在教师的正确指引下高效完成学习任务  [4] .而在教学交流中，学生也可以针对模型的构建步骤有一个更加清晰化、层次化的认知，这对于学生以后的模型建立可以提供良好的范例，让学生真正获得数学学习中的自我效能感.

4 教学案例

现笔者以人教版八年级上册第13章“轴对称”第4小节课题学习“最短路径问题”为例，简述如何在初中教学深度教学中渗透模型思想，让学生深入理解数学知识的同时提升自身的模型思维.

4.1 教学分析

“最短路径问题”为人教版八年级上册第十三章中最后一节的内容，既涉及了该章节所包含的轴对称的概念与性质，又囊括了三角形的三边关系判断等重要的数学知识点.在学习最短路径问题的过程中，教师应该指导学生形成转化、分类、抽象以及模型建立等多种数学思想，让学生将陌生、复杂的问题熟悉、简单化，同时形成一套解决该类问题的数学模型，为以后类似知识点的学习建立良好的基础.在深度教学视域下，教师也应该注重教学“质”与“量”的双重发展，让学生在学习过程中形成对数学问题更深层次的认知.

4.2 教学目标

（1）学生能够在教师所创作的教学情境在运用对称轴解题，并结合两点之间线段最短这一概念解决最短路径问题；

（2）学生能够结合实际问题，利用转化思维抽象出问题中的数学概念，然后构建模型解决问题，从而培养自身的数学模型思维；

（3）借助模型思维的建构培养学生对特定数学问题的思考积极性以及趣味性，在学习的过程中感知数学学科学习的奥妙之处，培养学科素养，实现深度教学.

4.3 教学重难点

教学重点是让学生掌握利用对称轴知识解决两点之间线段最短的问题；教学难点是针对该类问题建立模型，获得解题方法的同时培养学生的模型思维.

4.4 教学步骤

4.4.1 情境引入，思考模型

在进行最短路径问题的深度教学时，为了方便学生理解该问题实质并思考合理的解题模型，教师应该结合实际生活场景进行情境引入，帮助学生更快、更准确地对问题本质进行定位.

教师   已知在一条小河河岸的同侧，有A、B两点，牧民在A点处放牛，牛棚设置在B点处.A、B两点距离河岸均有一段距离.现牧民需要将牛放至河边让牛饮水，然后回到牛棚.请问牧民应该如何做？

学生 A    牧民可以先从A点以直线方向将牛拉至河边，待牛饮完水之后继续以直线方向从河边回到牛棚.

教师   没错，将牧民的路程进行二段划分，分别以直线方向行走看似是省时省力的好方案.那请同学们再思考一下，这样的方案是最佳方案吗？是否存在一种方案使得牧民行走的路程最短呢？这类“牛饮水”问题就是我们今天需要思考并学习的“最短路径问题”.

设计意图   通过问题情境的引入吸引学生的学习兴趣，为学生后续的深度学习提供动力，同时具体情境的引入也能让学生将问题模型化，将“最短路径问题”视为“牛饮水”问题，促进学生思考解题模型.

4.4.2 问题引导，建构模型

教师   “最短路径问题”作为“对称轴”这一章节的最后一小节，其中也需要我们利用对称轴的概念去解决问题.如图1所示分别为小河l，牧民所在点A和牛棚所在点B.现以小河l为对称轴，做点A的对称点 A ′，并连接 A ′B，令 A ′B与小河的交点为点P.请同学们思考并回答下列问题：

问题1   三角形 A ′AP为什么三角形？线段 A ′P和AP之间有什么大小关系？

学生思考   结合对称轴的概念可知线段l是线段 A ′A的垂直平分线，再根据等腰三角形判定定理可知三角形 A ′AP为等腰三角形，即线段 A ′P=AP.

问题2   既然点 A ′是点A关于小河的对称点，那么从点A到点B的最短路径问题是否相当于从点 A ′到点B的最短路径问题？从点 A ′到点B的最短路径应该如何规划？

学生思考   已知 A ′P=AP，则有 A ′P+PB=AP+PB=AB，因此从点A到点B的最短路徑问题可以相当于从点 A ′到点B的最短路径问题.然后结合两点之间直线最短的概念可以得知点 A ′到点B的最短路径就是直线 A ′B.因此牧民应该先将牛拉到P点喝水，然后从P点以直线方向回到B点.

问题三   在解决问题过程中，是否可以得出一个解决最短路径问题的简略模型呢？

学生思考   模型大致为：（1）寻找对称点（变同侧为异侧）；（2）连接异侧两点（两点之间线段最短）.

设计意图   通过一系列问题的设置引导学生利用对称点性质以及两点之间线段最短的概念解决最短路径问题，并将思考的过程模型化，获得解决这类问题的简要模型，训练学生模型思维的同时激发学生对这类问题更深入的认识，促进学生的深度学习.

4.4.3 变式思考，完善模型

教师   刚刚我们解决的“最短路径问题”是较为简单的情况，为了加强大家对这类问题解决模型的深入认识并完善这类模型，我们可以通过几个变式问题的设计来深入探究.

变式1   在原有问题情境上，如果牛在河边一边饮水一边会沿着河边走a米，然后再返回牛棚，那么位于何处开始饮水才能使得牧民所走的路径最短？

师生讨论   变式1只增加了牛需要顺着河边行走a米的条件，由于a米为固定的水平平移，该问题实质上仍是两点同侧的问题，因此可以先做平移，继续沿用之前的模型先做对称点然后进行直线连线即可解决问题，具体图象如图2所示.

变式2   在原有问题情境下，如果河宽b米，牛在河边饮水后会驮着牧民垂直河岸横游过河，待上岸后再回到对岸的牛棚B点处，那如何规划才能使牧民所走路径最短？

师生讨论   该变式不同于前两个问题，为异侧问题.因此无需考虑模型中寻找对称点这一步骤，只需要先竖直平移b米，然后进行直线连接即可.具体图象如图3所示.

变式3   已知点P为牛棚，OA为一条长满小草可供牛进食的小路，OB为一条可供牛饮水的小河.假设牛需要从牛棚出发在OA小路上进食然后到OB小河边喝水，最后回到点P牛棚处，试问如何规划才是最短路径？

师生讨论   该变式虽然看似复杂，实则只需要利用模型中两点之间直线最短概念即可解决.具体图象如图4所示.

变式4   在变式3的问题情境下，假设牛棚P位于∠AOB之内，试问如何规划才是最短路径？

师生讨论   该变式相对于最初的牛饮水问题只是多了个牛进食的问题，因此可以分解为两个同侧问题，即将原有模型：寻找对称点、直线连线进行两遍即可.具体图象如图5所示.

设计意图   通过变式问题的设计引导学生进行模型的使用和完善，让学生针对各类问题都能有一个清晰的认知，同时在解决问题的过程中对“最短路径问题”有更加深入的思考，在完善深度教学的同时培养学生的模型思维.

5 结语

总之，模型思想作为数学学科教育中十分重要的一类数学思想，无论是对学生的知识学习还是问题解决都能起到促进作用.因此在实施深度教学的基础上，教师应该帮助学生完成模型思想的启发和培养，让学生养成深度探索的习惯，进而学好数学、用好数学.

参考文献：

[1] 沃晶晶.深度教学视域下初中数学模型思想渗透路径探索——以“反比例函数概念”教学为例[J].数理化解题研究，2022（26）：17-19.

[2]伍养群.从深度教学视角谈中学数学思想培养路径[J].数理化解题研究，2021（30）：16-17.

[3]王磊.初中数学教学中模型思想渗透策略探究[J].新课程研究，2021（15）：133-134.

[4]刘立洁，武海娟.数学模型思想在初中数学教学中的渗透探讨[J].佳木斯职业学院学报，2016：265.

[5]陈杏.基于几何模型思想的初中数学教学探索[J].基础教育研究，2022（17）：49-53.