基于“一题一课”的单元复习课设计与实践

摘 要：“一题一课”是指以一道题或一组题为主线，学生在“问题串”驱动下，完成相关的教学探究活动.本文以“一元函数的导数及其应用”单元复习设计为例，围绕着一个题组，引导学生在主干知识组成的“问题串”驱动下，逐级深入完成单元知识复习.学生通过这“一题”的解决，加深对知识间关联性的理解，重新构建本单元的知识网络，发展数学核心素养.

关键词：一题一课；导数；单元教学

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）21-0035-03

收稿日期：2023-04-25

作者简介：庄辉（1978.4-），女，福建省厦门人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：厦门市教育信息技术研究课题“TPACK视角下信息技术深度融合数学教学实践研究”（课题批准号：XMKT2208）

在单元复习中采用“一题一课”策略，是指课堂上以一道题或一组题为主线，以“问题串”的形式不断驱动学生的独立思考，开展相关的数学探究活动.学生在解决问题的过程中，再次经历单元知识的形成和应用过程，用关联的视角重新建构单元知识网络，形成整体的单元认知结构，从而达到巩固基础知识、发展数学思维、提升数学核心素养的效果.

1 问题提出

学生能力的发展不能靠“题海”，关键在于“题质”.借助“一题一课”的契机，把学情与教材进行整合，将零散的一节一节课整合成一个系统课程，通过对一道典型例题的剖析，可以进一步巩固学生的基础知识，领悟思想方法，形成知识结构，提高分析问题和解决问题的能力［1］.

2 “一题一课”下的“一元函数的导数及其应用”复习设计

2.1 回首引言，提炼概念精华

阅读章引言部分，思考： 你能用简练的语言回答导数是什么吗？

导数作为本章的核心概念具有一定的抽象性.学生系统学习本章节内容后，再回顾章引言，可以从宏观上加深对导数大概念的理解.本章知识的发展遵循导数的起源、发展和应用价值：导数的是微积分的核心内容之一，对导数的研究起源于研究物理中的瞬时变化率，所以导数是瞬时变化率的数学表达，导数是研究函数的基本工具.借助这个问题帮助学生梳理本章知识之间的联系，强化总结能力［1］.

2.2 问题驱动，横向建构知识网络

2.2.1 夯实基础，复习通法

典型例题：已知函数fx=x-lnx

（1）求曲线y=f（x）在（1，f1）处的切线方程；

（2）求函数y=f（x）的单调区间；

（3）求函数y=f（x）在1e，e的最值；

基本问题：问题（1）什么是切线？如何求曲线的切线？

问题（2）用导数判断函数单调性的步骤是什么？

问题（3）用导数求函数最值的步骤是什么？

追问：利用导数研究函数性质的基本步骤是什么？

本环节知识网络的起点是导数的定义，利用导数的定义可以求切线方程，可以通过判断导数的正负判断函数的单调性，导数的正负变化可以判断极值（函数局部变化），进一步求最值（函数整体性质）.以上三个问题串联“知识点”形成“知识线”，即利用导数研究函数的一般方法.解决问题的过程中，学生可以体会到利用导数研究函数性质的优势在于思路清晰、步骤明确，既快捷又容易掌握，从而对“导数”概念的理解更加具有系统性、深刻性［2］.

2.2.2 逆向思维，发展高阶思维

思考1 若函数hx=x-alnx在3，5上单调递增，则实数a的取值范围为（  ）.

A．a<3 B.a>3 C.a≤3 D.3

师：因为hx在3，5上递增，故其导数h′x>0，然后求出a的范围.这种解法正确与否呢？

生：正确.依据课本第86页的定理，在某个区间（a，b）上，如果f ′x>0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）上单调递增，反之也成立.

师：那么按照这种做法，参数a的取值范围是多少？

生：先对函数hx求导，然后解不等式h′x>0，得到a

师：那么当a=3时候，是否符合题意？请同学检验.

生：当a=3时，h′x=x-3x，由h′x>0，得x>3，所以函数hx在3，+∞单调递增，所以在区间3，5也是单调递增，符合题意.

师：那么，在某个区间（a，b）上，f ′x>0是函数y=f（x）在区间（a，b）上单调递增的什么条件？

生：充分不必要条件

师：对于利用函数的单调性求参数的取值范围，应注意什么问题？

生：解不等式 h′x>0时，对等号情况应检验，判断是否符合题意.

思考2 若函数hx=x-alnx在1，+∞上不存在极值，求实数a的取值范围.A．a<3 B.a>3 C.a≤3 D.3

师：函数fx=x-lnx与函数hx=x-alnx有什么关系？

生：当a=1，fx=hx，也就是fx是hx的一种特殊情況.

师：hx在其定义域内是否有极值？

生：h′x=x-ax.当a≤0时，h′x>0，函数

hx在0，+∞单调递增；当a<0是，x=a函数hx的极小值.

师：结合hx函数图像，要使hx在1，+∞上不存在极值，极值点x=a要在x=1的左边还是右边？

生：左边，即a≤1.

引导学生寻找fx与hx的关系，从特殊到一般.观察h′x=x-ax的结构特点，对参数a进行合理分类讨论，结合图像得出a的取值范围.借助数形结合的思想，帮助学生理清思路，动静结合，挖掘问题的本质，使学生对知识的理解深入到知识的联通，培养学生的直观想象能力和逻辑推理能力.

2.3 变式探究，纵向拓展知识网络

典型例题：（4）证明：fx=x-lnx≥-x2+2x

师：问题（4）如何用导数证明不等式问题？可以转化成哪种相关问题？

生：不等式问题往往可转化为函数的最值问题，即可以转化为f（x）-（-x2+2x）≥0然后构造函数g（x）=f（x）+x2-2x，求函数g（x）的最小值大于或等于0.

师：是的.一般要对不等式的结构进行变形，构造出新的函数，如何构造取决于新函数的导数是否容易研究.例如，构造出的新函数gx对其求导，再求最值是比较容易的.

典型例题：（5）对于函数f（x）=x-lnx.

判断函数gx=fx-2的零点个数.

师：问题（5）如何判断函数fx在区间（a，b）上存在零点？

生：要满足两个条件：首先函数图象在（a，b）上连续不断，其次满足fa？fb<0.

师：能否借助第（1）至（3）题结论，画出函数

gx的大致图像？

生：gx在0，1单调递减，在1，+∞单调递增，所以gx的最小值为g1=-1.

师：由函数大致图像可知，gx在区间0，1和1，+∞各有一个零点.如何根据零点存在定理给出证明？

生：因为g1<0，所以需要在区间0，1找到一个具体的值a，使得fa>0；在区间1，+∞找到一个具体的值b， 使得fb>0.

师：结合y=lnx函数，当实数a，b取何值，lna、lnb是一个特殊值，满足fa>0，fb>0

生：取a=1e，则f1e=1e+1>0 ；取b=e2，则fe2=e2-4>0，满足零点存在定理.

遇到函数零点问题，最直接的想法就是运用零点存在性定理证明.但是在这之前需要综合运用函数与方程、数形结合、等价转化等思想和方法做好铺垫［3］.

2.4 课堂小结与目标检测

小结（学生回答）

（6）导数可以解决哪些问题？

（7）学习本章知识运用哪些思想和方法？

课后目标检测：作出函数f（x）=ex（2x-1）x-1的大致图像.

3 教学实践反思

3.1 以发展核心素养为导向的单元设计

导数单元知识的重新建构丰富了学生的函数观，提升函数素养，进而培养学生的批判性思维和创新能力.

3.2 突出“一题一课”的优势

单元复习课与新授课不同，除了唤醒学生对旧知识的回忆外，还要对所学过知识进行深化.由常数变参数，对第（2）小题进行变式得到思考1，学生在做这类题时，由于对极值点的理解不够全面或深刻常常会犯错.教师不妨放慢节奏，关注学生学习数学的逻辑，引导学生自主反思，找到错误的本源.学生经历纠错的过程，重新投入数学时候才能拥有一种自信、获得成功的良好感觉［4］.

3.3 认真研读教材，深入挖掘教材

教材是教学内容的载体，所编写的内容体现了专家思维.因此在设计“一题一课”单元复习课时，需要反复认真研读教材，理清知识之间的联系，从总体上把握单元的知识结构，抓住复习课设计的“主线”.找准知识的生长点作为母题，在此基础上逐步生成一个有序的题组.课本的例题和习题往往是高考命题的“源泉”，一题一课的单元复习课可以选择它们（或者改变题）作为题目的来源.

参考文献：

［1］ 李龙才.凸显导数的内涵与思想，体现导数是研究函数性质的基本工具：“一元函数的导数及其应用”教材设计与教学建议［J］.中学数学教学参考，2021（07）：8-11.

［2］ 李昌官.“五管齐下”育数学素养实践探索：以“导数概念”研究型单元教学为例［J］.中学数学教学参考，2019（16）：16-20.

［3］ 陳凤华.导数在函数中的应用［J］.读写算（教育教学研究），2011（21）：133-134.

［4］ 薛江涛.基于微课程的高中数学教学模式的研究与实践［D］.济南：山东师范大学，2016.

［责任编辑：李 璟］