追寻“动中折叠”的足迹

俞卫胜+易良斌

【摘要】初中数学复习课，如果教师能够从一道题目（一般是课本例习题，中考试题）出发，开放性地设计问题，鼓励学生从多角度解决问题，并尝试让学生自主编题，提出问题，同时关注学情，动态生成，让课堂更加自然，流畅.在这样一条复习主线下，提炼解题策略，挖掘数学本质，注重数学思想方法的渗透.真正让数学复习课成为学生的主阵地，走出“题海战术”的阴影，追求简约却不简单的课堂，还学生时空，体现“一题一课”的价值，真正凸显“以生为本”的教学理念.

【关键词】复习课；一题一课；以生为本

2016年5月13日，易良斌名师网络工作室第十次线下研修活动在乐清市大荆镇第一中学举行，根据导师安排，笔者为全体与会教师演绎了一节“一题一课”复习课，以浙教版八下51矩形作业本的一道试题为素材，进行剖析，并拓展延伸.教学设计及教学组织得到了大家的一致好评.为此，笔者把本次课堂教学实录整理成文，与广大同仁分享，也欢迎批评指正.

学情分析：

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有知识经验基础之上.增强发现和提出问题的能力，在教学过程中注重动态生成的资源，进而提高教学有效性.针对九年级学生，学生已经具备了初中相关的知识，但对压轴题是如何从一道简单的题目演变的缺少一定的体验过程，同时缺少主动提问的意识.

教学目标：

1.通过观察原图的一个特殊三角形，两个三角形的特殊关系，进一步理解折叠的本质，并挖掘图中折线与隐藏线的关系.

2.会利用勾股定理、相似、三角函数等知识解决相关线段（角，面积）问题.

3.在解決问题过程中，经历从特殊到一般，从静到动的思维方法，体验数形结合，方程，分类讨论等数学思想方法，激发勇于探索的精神，并尝试提出问题.

重点和难点：

教学重点：折叠的本质以及动点问题中隐性的不变量.

教学难点：尝试提出问题及最后动圆问题.

教学过程

一、原题呈现，深入挖掘

师：今天这节课，就从作业本中的一道习题进行剖析，挖掘题中隐含的信息，并在此基础上拓展，延伸.

【原题】浙教版（八下数学作业本51矩形）

如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，已知∠DBC=30°.

（1）求∠ADC′的度数.（2）求证AE=EC′.

问题：如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E.请问：图中有哪些特殊的三角形？

生1：Rt△BCD，Rt△BC′D，Rt△ABD，Rt△ABE，Rt△DEC′.

师（追问）：△BC′D为什么是Rt△？

生1：因为∠C折过去与∠C′重合，所以∠C=∠C′=90°，即△BC′D是Rt△.

师：生1讲得太好了，那还有其它特殊的三角形吗？

生2：我发现△BDE为等腰三角形.

师（充满期待的眼神）：说说你的理由？

生2：（为了叙述方便）用∠1，∠2，∠3标记图中的角.由折叠过去BC与BC′重合得∠1=∠2.由AD∥BC得∠1=∠3.所以∠2=∠3，即△BDE为等腰三角形.图2

师：生2思路很清晰，其实在这里你挖掘了图中隐含的一个基本图形.

（师顺手板书，并将这个基本图形进一步延伸，如图2）

问题：如图1，刚才你们发现了一些特殊的三角形，那两个三角形间又有怎样的关系呢？

生3（兴奋的）：小的两个直角三角形全等，大的三个三角形都全等.

师：你观察得很仔细，请问Rt△BCD与Rt△BC′D为什么全等？

生3：由折叠可知，△BCD与△BC′D重合，即两个三角形全等.

（此时教师及时板书，提炼折叠的本质）

师：在图中，还能发现与折痕BD有关系的一些隐藏的线段吗？

生4：AC′∥BD.

生5：AC与BD相等且互相平分.

生6：由C与C′关于BD对称，可知BD垂直平分CC′.

师：（用欣赏的眼神看着刚才的三位同学）你们很聪明，拥有一双慧眼，对于折叠问题，连接两个对称点是一种常见辅助线的添法.

师：大家很了不起，能挖掘这么多有用的东西.那如果∠CBD=30°，你能求出其它角的度数吗？

生（众）：能，这个简单.

师：那边能求呢？

生7：好像不能，但若给我边的值就可以了，比如BC=4，CD=3.

师：生7很厉害，自己给出了条件，那根据生7给的条件，我们能求出哪些边的长度.

生8（迫不及待）：BD=5，AC′=4.C′D=3，AD=4.

师：还有吗？（此时学生无声了）那BE等于多少？

（一分钟后）

生9：设AE=x，则C′E=AE=x，DE=4-x，在Rt三角形DEC′中，由勾股定理得C′E2+C′D2=DE2，即x2+32=（4-x）2，得x=78.

师：生9通过勾股定理建立方程，求出了AE，也可得到BE=258.

（此时教师及时板书，并提炼基本图形：（并强调有时无法直接计算时，不妨用方程思想解决）

点评从教材作业本的一道题出发，低起点，入口宽，高立意，能激发学生探究的兴趣.引导学生从一个三角形，两个三角形的关系角度揭示折叠的本质，并挖掘隐藏在图形中的数量和位置关系.通过求角，线段的长度，关注学生，动态生成，不仅为过渡自然，衔接紧凑，也为最后动圆问题的解决作铺垫.

二、尝试提问，培养意识

师：刚才折痕BD很特殊，现将其中一点动起来，出示题干.

问题：如图3，在矩形ABCD中，BC=4，CD=3.點Q是CD上的一个

动点，现将△BCQ沿直线BQ折叠，使得C落在点C′处.）

此时，教师借助几何画板，将点Q在DC上动起来，然后请学生观察.

师：当点Q运动时，针对△BCQ和△BC′Q这两个三角形，哪些变，哪些不变？

（此刻，学生们全神贯注，都在观察变与不变的量）

生10：我发现BC′，C′Q在变.

师（面对生10的回答，不慌不忙，而把话锋转向其他同学）：生10说BC′在变，你们有不同想法吗？

（正当其他同学想要回答时，此时生10突然意识到问题了）

生10（豁然开朗）：BC′是不变的，由折叠可知BC′=BC，而BC是不变的.

生11：我发现BQ在变，∠CBQ，∠C′BQ都在变.

生12：我发现∠CBQ=∠C′BQ，△CBQ≌△C′BQ一直成立.

师：同学们不仅发现了边，角中变与不变的量，也发现了角与角，三角形与三角形的关系的不变量.

师：当点Q运动时，请你提出几个可探究的问题.

（给予学生2分钟，让学生讲问题写在纸上，教师巡视，不时与学生交流讨论，并借用爱因斯坦的话：“提出问题比解决问题更重要.”鼓励学生，增强自信）

生13：当Q在运动过程中，△BC′Q的面积取值范围.

生14：当DQ为多少时，点C′恰好落在AD上.

生15：当Q在运动过程中，点C′所经过的轨迹，求这个轨迹的长度.

生16：当DQ为多少时，点C′落在BD上.

师：相信大家还有很多问题，这里不一一呈现了.能否对刚才这4位同学提的问题分分类呢？

生17：我觉得生13，生15的问题分为一类，都是求面积、长度.生14和生16的问题分为一类，都是涉及点C′的位置.

师（欣赏的眼神）：你的分类从数、形两方面进行了提炼，给我们提出问题提供了方向.（师及时板书）

师：现将我们班分4组，每组完成一个问题，第一组为生11提出的问题，第二组…

（教师巡视，不时与学生交流，同时生生之间也相互交流，产生思维的碰撞，过了3分钟后）

生18（第一组代表）：由折叠可知，△BC′Q≌△BCQ，而S△BCQ=12·BC·CQ，BC=4不变，CQ从在0∽3之间.图4所以S△BCQ在0∽6的范围内.

生19（第二组代表）：如图4，方法1：设DQ=x，则C′Q=3-x，而AC′=C′B2-AB2=42-32=7，所以C′D=4-7，在Rt△C′DQ中，由勾股定理得C′D2+DQ2=C′Q2，即（4-7）2+x2=（3-x）2得x=47-73.

正当生19坐下时，突然有一生站了起来，

生20：对于这个问题，我联想到图中隐藏的位置关系，

可连接CC′得CC′⊥BQ，则Rt△BCQ∽Rt△CC′D，

得CQBC=C′DCD，即3-x4=4-73得x=47-73.

师：生20很善于思考，能挖掘题中有用的资源.

生21（第三组代表）：我们组发现点C′的轨迹是以B为圆心，BC为半径的一段圆弧，但要求出这段圆弧的长度，有点难，因为∠CBC′不是一个特殊角，需要用计算器才能算出，只知思路，还没算好.

生22（第四组代表）：如图5，由折叠可得BC′=BC=4，

而BD=5，在Rt△DC′Q中，

C′D2+C′Q2=DQ2，即1+（3-x）2=x2，解得x=53.

追问：谁来说说解决此类问题都用到了哪些方法？

生23：勾股定理，方程，相似，三角函数等知识.（板书）

点评将点动起来，利用几何画板，给予学生充分时间观察动态问题中变与不变的量，特别是挖掘动中不变的量.在动的过程中，尝试让学生提出问题，培养学生提出问题的能力，让学生对提的问题进行分类，引导学生从数、形（外，上，内）两方面进行提问，为以后更好地思考问题提供了方向.通过小组合作，师生交流，生生交流等方式，让不同的思维进行激烈的碰撞，使得一题多解得以绽放.此环节，渗透了方程思想，数形结合思想，化动为静等数学思想方法.

三、综合动圆，探究相切

师：刚才一个点动，现动两个点，且这两个点是关联的动点，出示问题：

问题：如图6，在矩形ABCD中，BC=4，CD=3.Q是CD上的一个动点，过Q作PQ∥BD交BC于P，现将△PCD沿直线PQ折叠.使得C落在点C′处.

师：当点Q运动时，针对针对△PCQ和△PC′Q这两个

三角形，哪些变，哪些不变？

生24：变的有各条边，三角形大小.

生25：不变的有△PCQ≌△PC′Q.

师：这两个三角形的内角都不变，由PQ∥BD得∠CPQ=∠CBD.

生25：受您的启发，我发现∠CPC′=2∠CPQ也是不变的.

师：你们太厉害了，能发现这么多变与不变的量，刚才生24讲边变化，这里PC′不仅长度变化，而且位置也在改变，那现在以PC′为直径作圆O，当点D动时，圆的大小位置也在变.你们想探究什么？

生（众）：圆与直线相切的问题.

师：看来我和大家的想法不谋而合.出示问题：

PC为何值时，圆O与矩形边所在的直线相切？

师：针对这个问题，谈谈你的最初想法？

生26：我觉得要分类，因为矩形的边，不知道是哪条边.

师（追问）：那你觉得要分几类呢？

生26：分4类.圆O与AB相切，圆O与BC相切，圆O与CD相切，圆O与AD相切.（板书）

师：你很了不起，不仅知道要分类，而且还能准确地进行分类.

不妨先来看下圆O与AB相切的情况吧！对于圆与直线相切，你有什么经验？图7

生27：圆心到直线的距离等于圆的半径.

（教师顺势过O作AB的垂线段OH.如图7）

（学生小组讨论2分钟后，然后纷纷展示自己的成果）

师：大家表现太精彩了，对于涉及分类讨论的问题，

要先分类，若有些情况不符合的应舍去.

点评此环节，动圆的圆心，半径均在改变，综合性比较强.既要有圆与直线相切的知识经验储备，又要挖掘变中不变的量，并与开始的基本图形进行比较，体会它们内在的联系，这对学生来说是一种挑战.课中，通过层层铺垫，适时启发，让学生有种“跳一跳就能摘到果子”的乐趣，更好地激发学生进一步思考的欲望.学生的精神，思维，语言均参与其中，课堂达到了良好的教学效果.

四、课堂小结，反思提升

师：通过这节课的学习，你有哪些收获或困惑？

生28：明白了折叠的本质.

生29：感覺动点问题不变的量有点难发现.

生30：领悟了解决有关动点问题的策略，需化动为静.

师：大家感悟都很深，我们学习的本质，不在于记住多少知识，而在于它触发了你的思考.对于两个动点，除了平行关联，也可垂直关联，也可不关联.

问题：如图8，在矩形ABCD中，BC=4，CD=3.且BE∶AE=1∶3，

点P是BC上的一个动点，连接PE，过P作PE⊥PQ交射线CD

于Q，现将△PCQ沿直线PQ折叠.使C′处.图8

请问：是否存在点P，使得点C关于直线PQ的对称点C′恰好落在边AD上？若存在，求BP的值；若不存在，请说明理由.

话音刚落下，下课铃声响了……

点评以问题的形式出现，引导学生思考，交流，梳理所学的知识，感悟数学的思想方法，使学生建立起符合自身认识特点的知识结构，养成及时归纳反思的学习习惯.同时有利于提高学生的口头表达能力和知识水平，促进数学思维的形成与发展.课后配置主要两个变式训练，学生会利用已掌握的解题方法解决似曾相似的题目，既增加了解决问题的信心，同时又培养学生迁移思维的能力.

五、板书设计，凸显本质

点评此板书是一个动态过程，具有节奏性，即时性，生成性.教师有意识地将板书分为四个板块：知识框图——基本图形——思想方法——提问视角.贯穿了整个教学活动的始终.彰显了上课老师对本节课内涵的深入挖掘.

另附（章建跃专家的评语）：

本节课非常好地体现了“变式教学”的思想，从一个特殊问题背景出发，经过各种变化，使问题层层深入，营造的教学情境引人入胜，紧紧抓住了学生的注意力，不仅使学生学会解题，而且使学生体会“题目是怎么命出来的”.教师具有先进的教学观，尽管问题的难度不低，但仍然注重全体学生的参与.如果都像本课这样开展教学，那么学生的数学知识结构会比较完善，数学思想方法的掌握也会很牢固，特别是发现和提出问题的能力会比较强.

作者简介俞卫胜（1985—），男，浙江省乐清市人，中学一级教师.曾荣获乐清巿教坛新秀，温州市解题竞赛一等奖，乐清市命题竞赛一等奖，乐清市优质课一等奖.近几年，参与多项教师小课题研究，多篇文章发表.