因“材”施教谋全局,顺“势”而为促发展

李想

摘 要：概念教学是发展学生数学思维，培养其数学核心素养的重要载体.但在日常教学中，理想与现实存在诸多差距.“平方根”作为初中数学概念教学典型课例，以其为引，从把握学科知识、掌握教学知识、运用技术知识角度阐述紧扣课标教材，遵循学生的认知规律，推动课堂的自然生长.

关键词：概念教学；核心素养；平方根

1 问题提出

数学概念是人类对现实世界空间形式和数量关系的概括反映，是数学学科的基石，更是数学思維和数学交流的工具^［1］.《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下文简称《新课标》）中明确指出：教师要引导学生经历独立的数学思维过程，理解数学基本概念和法则的发生与发展，经历数学“再发现”的过程，并在过程中发展质疑问难的批判性思维.由此可见，概念教学是数学教学的重要组成部分.初中阶段是学生抽象逻辑思维迅速发展的关键时期，概念教学肩负着引导学生通过实际问题抽象数学概念，理解数学概念，探寻数学本质，逐步学会运用数学思维方式分析解决问题的重任，因此，受到教育工作者的广泛重视.但在日常教学中，它往往却是初中数学教学的短板，存在诸多问题.第一，缺乏整体思考，过于追求短期效果，导致学习呈孤立状；第二，缺乏过程关注，过于追求结果，使得学生应有的认知感悟和思维体验不足；第三，缺乏学习深度，对于隐藏在知识背后的数学思想方法的挖掘不够，错失培养学生数学学科核心素养的机会.那如何谋篇布局数学概念教学，以促进学生数学思维发展，提升其数学学科核心素养呢？笔者将结合参加2022年江苏省优质课评比所执教的“平方根”一课，提出教学反思.

2 案例评析

2.1 教材分析

“平方根”出自《义务教育教科书数学八年级上册（苏科版）》第四章“实数”第一节（第一课时），是继自然数、分数、负数等有理数的学习后认识无理数的开端，是一次重要的数系扩充，亦是继加、减、乘、除、乘方五种运算学习后对乘方逆运算探讨的起点，且对后续将要学习的立方根、二次根式、求解一元二次方程有着深远影响.

从知识角度来说，教材选择从平方的逆运算——开平方入手，通过计算小方格纸中长方形对角线的问题情景，引出了研究平方根的必要性和平方根的相关概念，这是本单元的起始内容，也是本课时的核心问题.

从思维角度来说，以“开平方”开始乘方逆运算的研究体现了以简驭繁的研究思路；平方根具备运算结果与运算过程的双重含义；平方根概念的形成对数感和符号意识的发展起着重要作用；平方根的研究路径为今后立方根的学习提供样本等等.这些无疑都说明平方根的生成与发展处处体现了数学的逻辑性和合理性，具有很高的思维价值^［2］.

2.2 学情分析

八年级学生具备了“数与代数”相关知识基础，抽象逻辑思维逐步开始占据优势，但仍需要感性经验的直接支持.具体分析有两个潜在难点：第一，学生已经学习了勾股定理，会计算直角三角形边长，为探究平方运算的逆运算奠定了基础.但由于边长均为正值，这在一定程度上会对学生理解和掌握平方根形成负迁移；第二，平方根概念较为抽象，又与算术平方根、立方根和无理数等内容高度相关，四个紧密相连又易于混淆的概念将给学生的学习带来一些困惑.

2.3 教学目标

基于教材和学情分析，本课时围绕“平方根”这一核心概念的生成与发展，即为何要学习平方根？怎样研究平方根？研究结果如何？还有哪些关联内容？确定教学目标如下：

（1） 体会研究平方根的必要性，了解平方根的起源与发展；

（2） 了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根；

（3） 了解平方与开方互为逆运算，理解平方根的相关事实，会用平方运算求非负数的平方根；

（4） 经历知识的生成与发展，体会数学的抽象与严谨，主动用数学思想方法分析和解决问题，并感受和欣赏数学之美.

2.4 教学过程

2.4.1 运算入手巧设疑

问题1：同学们，数学为人们提供了观察、感知、探索世界的方式，小学阶段我们学习了加法，这是生产生活的需要，随后研究了加法的逆运算——减法，而为了简化加法又学习了乘法以及乘法的逆运算——除法；初中阶段为了简化乘法进一步学习了乘方，这时我们不禁思考：乘方有没有逆运算呢？

生：应该有吧.

【设计意图】教材中虽未直接用逆运算引出“平方根”，但却处处暗藏运算线索.故笔者通过类比加与减、乘与除的互逆关系，首先激发学生基于“运算完备性”思考乘方的逆运算，以此引导学生逻辑清晰地整体梳理运算体系结构，站在更高层次俯瞰接下来要学习的平方根、立方根等内容，让学生亲历问题的生成，感受提好数学问题的重要性.

2.4.2 关联生活提问题

活动一：出示校园航拍图，抽象出正方形、直角三角形和圆.

（1） 如果正方形的面积为16m²，那么它的边长x与面积之间具有怎样的等量关系？

（2） 如果直角三角形“勾三”“股四”，那么“弦x”与它们具有怎样的等量关系？

（3） 如果圆的面积为9/4π，那么圆的半径x与面积之间具有怎样的等量关系？

生1：x²=16，x²=25，x²=9/4.①

师追问：如果正方形的面积为2m²呢？如果勾四股五弦是多少呢？如果圆的面积为5π呢？

生2：x²=2，x²=41，x²=5.②

【设计意图】从实际生活中抽象数学问题，获得“正方形”“三角形”“圆”三个基本图形，利用已学知识得出6个关于x的方程.第①组三个方程的底数为有理数，旨在引出平方根的定义；第②组三个方程底数为无理数，旨在为平方根的表示方法及其性质做好铺垫.

2.4.3 归纳抽象生概念

活动二：观察第①组三个方程，思考使等式成立的x是否存在？是否唯一？若存在，x为多少？

生3：存在，不唯一，x=±4；x=±5；x=±3/2.

师追问：你有什么发现？能将结论一般化吗？

生4：使这些等式成立的x都有两个.可以将结论一般化为：当x²=a时，满足条件的x有两个.

师再次追问：很重要的发现.那对于一般化的a有要求吗？

生5：若a是正数，满足条件的x有两个；若a是负数，就不存在这样的x.

师：很好，把a分成了正数与负数讨论，大家思考，漏掉了什么没？

生6：若a＝0，满足条件的x就是0，只有一个.

师：好的，要注意分类讨论的完整性.

师生共同小结：当a＞0时，使x²=a成立的x是存在的，且有两个；当a=0时，使x²=a成立的x是存在的，就是0；当a＜0时，使x²=a成立的x是不存在的.

由此引出平方根定义：如果x²=a（a≥0），那么x叫做a的平方根，也称为二次方根.

【设计意图】设计对三个“幂”为平方数的例子进行平方根存在性和唯一性分析，尤其从一开始就提出唯一性问题，是为了引导学生从概念生成伊始就自我固化“正数平方根有两个”这一重要事实，避免生成“漏负”的常见错误而难于纠正的困扰.然后从特殊到一般，通过对于a的讨论，化解概念生成中关于开平方“非负性”的难点，使得新知学习自然生长，并潜移默化地渗透分类讨论这一重要数学思想.

2.4.4 深入研究探性质

活动三（1）个人答题：求出下列各数的平方根：25；16/81；15；0.09.

（2） 小组合作：请同学们小组合作，按照步骤完成下列任务.

① 组员轮流抽取卡片（教师提供），并说出卡片上的数是否有平方根，若有，请写下来，若没有，请说明理由；

② 小组交流，判断组员的运算结果是否正确；

③ 从中选1个“印象最深刻”的数，整理在“学案”上，进行组内交流；

④ 班级全体组间交流，归纳结论.

某一学生小组展示：

师生共同归纳得出平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

【设计意图】个人答题是对平方根问题的及时巩固，按照《新课标》的要求从“求百以内整数的平方根”到“求百以内完全平方数的平方根”设计平方数、分数、非平方数、小数的平方根问题.其中涉及小数化为分数，小数平方根的数位问题，较大的数的短除法等知识要点，前后联系巩固平方根的定义，为后续教学环节奠定基础.

小组合作旨在让学生于具体解题中发现问题，并通过选取“印象深刻”的数，体会自主学习的乐趣，引导学生自发进行问题归类，并做一般化处理，最终“自然”地得出相应结论，以此激发学生的探究热情，发展学生数据收集、处理、分析及归纳的能力，渗透分类讨论思想，培养合作意识^［3］.

2.4.5 概念辨析促理解

问题1：已知底数和指数求幂，这是什么运算？

问题2：已知幂和指数求底数，这是什么运算？

师生共同讨论：（1） 平方运算；（2） 求平方根，即求一个数的平方根的运算叫做开平方.

问题3：你能说一说“平方”“平方根”“开平方”的关系吗？

生7：平方和开平方都是运算，应该互为逆运算，就像“加和减”“乘和除”一样；而平方根是开平方运算的结果.

师：非常好，“平方根”是数，“开平方”是运算.

【设计意图】通过对底数、指数、幂“知二求一”分析，引导学生感受求平方根的运算与平方运算的互逆关系，从而引出开平方的定义，并通过辨析易混概念“平方”“平方根”“开平方”，帮助学生深化平方根概念理解，剖析其数学本质.

2.4.6 回顾反思留悬念

师：同学们，本节课我们研究了哪些内容？涉及了哪些数学思想方法？你能用思维导图的形式进行简单梳理吗？

师：根据今日所学，大家有什么疑问，或是还能提出什么问题吗？

提示：正数的平方根有两个，但我们生活中好像经常用到的是正的那个，这是为什么呢？平方是乘方的最特殊、最简单的形式，开平方自然也是开方的最简单的形式，那接下来我们想研究什么呢？

【设计意图】好的课堂一方面应当帮助学生建立结构化的认知，将知识、方法串点成线，连线成面，形成体系，另一方面要留足悬念，引导学生思考，主动延伸课堂，形成善质疑，会学习的品质.

3 教学反思与启示

概念教学是数学教学的重要内容之一，其核心就是数学概念，即反映数学对象本质属性的思维形式.李邦河院士曾指出：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也.因此，数学概念教学应立足于数学本质，着眼于学生的长效发展，发挥学科育人优势，最终实现发展数学核心素养的终极目标.如何组织数学概念教学呢？笔者结合“平方根”课例，认为要注意以下几点.

3.1 把握学科知识，提高概念教学质量

常言道：要给学生一杯水，教师要有一桶水，更要成为长流水.因此，教师组织好数学概念教学的前提是自身具备过硬的学科素养，只有教师对数学概念的内涵、外延以及背后所蕴含的数学思想方法有深刻的理解，才能据此有目标地设计并实施教学.那如何把握学科知识呢？钻研课标、教材是规范动作，教材是育人目標的物化产物，教学不可脱离教材，但亦不可对教材“唯命是从”，教师需深入研究课程标准，揣摩教材编写意图，从表面到本质，从孤立到系统地把握概念深层结构，明晰知识体系构成.当然，查阅学术论著、进行相关研究则是自选动作，两者结合，可以更加有效地挖掘数学本质，提升教师学科素养.“平方根”教学设计将本节放入单元甚至整个数学学习历程中，从“数的发展”与“运算的封闭”两个角度审视本节内容，挖掘内在思想方法及理性精神，为教学实施打下学科基础.

3.2 掌握教学知识，构建概念教学模式

教师教学过程中抓住“生长点”“发展点”“提升点”，关注数学知识生成，重视数学思维发展，才能组织出“自然生长”的数学教学，形成人与知识共生的良性循环，构建数学概念教学的有效模式.而在“平方根”的教学设计中，这一点是贯穿始终的，从最初对于学情的分析，到之后教学过程的若干环节，如从学生熟悉的校园航拍引入新课、从引导学生思考平方有没有逆运算发起对新知识的探索，这些引导学生主动参与、积累数学活动经验、经历知识的生成与发展的设计均是遵循这一原则，以期培养学生适应进一步学习和终身发展需要的数学核心素养.

3.3 运用技术知识，助力概念教学优化

近年来，“信息技术与学科教学整合”成为教学研究的热门话题.多媒体计算机与网络技术以其可视、直观等优势为数学教学提供了强大的技术支撑.在“平方根”教学中，笔者设计“数学实验拓发展”环节，引导学生操作几何画板等软件，通过计算、绘图，进一步加深对于平方根的理解，并渗透数形结合、分类讨论、极限等重要数学思想，以实现概念教学的拓展，涵养学生数学精神.

参考文献：

［1］ 杜成智.数学理解在初中数学概念教学中的运用［J］.教学与管理，2019（10）：45-47.

［2］ 郑海山.以数学知识发生、发展的视角展开概念课教学——以“平方根”一课为例［J］.中国数学教育，2021（Z3）：65-68.

［3］ 叶新和.“平方根”教学设计与反思［J］.中学数学月刊，2020（1）：5-7+11.