高考全国卷中二项式定理常见题型分析

施睿 王天志

摘 要：二项式定理是高考的高频考点，常以选择题或填空题的形式考查，主要考点为求展开式特定项系数和常数项.该类问题相对来说比较独立，解法灵活.本文主要通过分析近八年高考全国理科卷，明确二项式定理的考查题型、类型、核心考点以及分值，进一步为学生掌握二项式定理相关问题指明方向.

关键词：二项式；二项式定理；特定项系数

二项式定理是人教A版数学教材选择性必修第三册第六章第三节的内容，属于选择性必修主题三：概率与统计.教材（文中的教材均指人教A版数学教材）主要详细讲解了二项展开式的通项公式和二项式系数的性质.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）中要求学生要能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.因此，二项式定理的考查主要以容易和中等难度的试题为主.

1 近八年的考情分析

根据教材中关于二项式定理的例题和习题，本文将常见二项式的类型分为：标准型、乘积型、推广型和加法型.标准型：形如（a+b）ⁿ（n∈N）就称为标准型；乘积型：含二项式定理的多项式的积式，形如（a+b）ⁿ（c+d）^m（n，m∈N）；推广型：本文中推广型特指三项式，形如（a+b+c）ⁿ（n∈N）；加法型：含二项式定理的多项式的和式，形如（a+b）^m+（a+b）^m+1+（a+b）^m+2+…+（a+b）ⁿ（n，m∈N）.其中，最常见的是标准型和乘积型.

为了研究二项式定理在高考中的考查情况，本文主要统计分析了2015—2022年的全国高考卷（理科），共25套高考卷（包括2015年全国Ⅰ卷和全国Ⅱ卷、2016—2020年全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷和全国Ⅲ卷、2021—2022年全国甲卷和全国乙卷、新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷）.统计分析25套高考卷中的二项式定理的考查题型，二项式类型、核心考点和分值（表1）.

如表1所示，近八年的高考除了2021年没有考查二项式定理外，其余七年均有涉及.涉及题型以选择题和填空题为主，分值都是5分，主要考查二项式的标准型和乘积型，推广型只在2015年全国Ⅰ卷中出现了一次，而加法型在近八年全国理科卷中并没有出现.高考全国卷主要以求展开式特定项系数和展开式常数项为核心考点.

2 回归教材分析真题

回归教材，可发现近八年的高考真题均能在教材中可以找到“原型”，教材中大多都是标准型，求标准型的展开式、特定系数和常数项的习题；乘积型在教材中出现了两次，分别在教材34页复习巩固第2题和教材38页综合应用第5题（1） ，都考查了展开式中特定项的系数；推广型在教材中出现了两次，分别在教材38页综合应用第5题（5） 和（6），都考查了展开式中特定项的系数.此外，教材中还出现加法型的练习，在教材34页复习巩固1（1）和教材38页拓广探索第9题，都考查了展开式中特定项的系数.教材中的大部分习題都以考查展开式中特定项系数和常数项为主，与高考考查的核心知识一致.

4 结 语

基于以上的分析，可以考虑在二项式定理专题复习时制定如下的复习计划：

（1） 回归教材，分析真题.通过真题的分析比较，能发现真题的“原型”几乎都来源于教材.将真题整理、归类，得出常考的考点与未考查过的考点，针对常考的知识点要着重讲解，让学生完全理解以及掌握其解题方法；针对没有考查过的知识点也不能忽视，至少需要学生掌握，对教材中所涉及的知识点进行全方位的复习；

（2） 考点分析，明确重点.二项式定理的相关知识在高考中十分常见，虽然所占分值不高，但这一类题都属于难度偏低或中等的题，对绝大部分学生来说是不应该失分的.与其口头强调二项式定理的重要性，不如将近几年关于二项式定理的核心考点以及分值等信息整理成表格直观呈现，引起学生的重视，进一步明确二项式定理的重难点知识；

（3） 分析学情，因材施教.在正式进入复习阶段前，制作一份测试卷，让学生在不查阅教材的前提下完成.其目的是了解学生之间的个体差距，同时让学生意识到自己的知识漏洞，教师也可以根据学生的格个体差异，调整复习进度和内容，针对不同层次的学生，设计不同的学案，实现因材施教，符合学生身心发展的规律；

（4） 制定目标，精选例题.将考点细分，针对每一个小的知识点给不同层次的学生制定相应的复习目标.同时，给不同层次的学生挑选相应的例题，为满足所有学生的需求，设置必做题和选做题.

教材中关于二项式定理的内容并不多，主要是二项式定理和二项式系数的性质，二项式定理可以解决求特定项系数和常数项等问题，而二项式系数的性质可以解决求二项式系数最值和二项式系数和等问题.虽然，在近八年的全国卷中均未考查过二项式系数的性质，但仍需要引起学生的注意与重视.