让问题留白式呈现,培养学生概括能力

葛小丽

摘 要：人教版八年级教材在分式方程学习的最后，安排了一类“特殊”的分式方程的应用问题，这类应用问题中除了要设出的未知数x之外，还含有其它的字母表示一些已知数.这类问题在探究规律或其它学科（如物理）的公式探究与运用中也比较常见，将问题与变式“留白式”呈现，能够培养学生的概括能力，促进学生深刻理解并掌握这类问题的解题策略.

关键词：分式方程应用题；留白式呈现；概括能力

教师在备课时需要先深刻理解教学内容，随后才是设计教学过程与教学活动，包括选编或改编必要的练习进行巩固、反馈.那么，对于习题课教学，我们在备课时应该如何理解教材上的例题呢？怎样提升例题的教学效益？在最近一次南通市初中数学教研活动中，笔者有机会执教“分式方程的应用问题”习题课，对一道教材例题的教学有了更加深入的思考，本文笔谈对这道例题的深刻理解，并给出教学设计，提供案例研讨.

1 对教学内容的深刻理解

例1 某次列车平均提速vkm/h.用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车平均速度是多少？

深刻理解：这道例题以列车提速为背景，速度、时间、路程之间的基本关系并不是学生的理解难点，等量关系可由问题中“相同的时间”获得.当设提速前速度为xkm/h，可列出方程sx＝s+50x+v，这里得到分式方程，其真正难点在于例题中使用字母v，s表示已确定的值，需要将其视为已知数，最终的求解结果用含这些字母的式子来表示.在之前的分式方程及解法学习中，学生并没有遇到过这类分式方程.所以，教学时引导学生初步感受并学会“主元意识”非常关键.事实上，在七年级学习一元一次方程的解法时，也曾遇到形如“nx＝l2，其中n，l为已知数”的一元一次方程，在开展含字母作为已知数的分式方程解法教学时，可以将七年级曾遇到过的含有字母作为已知数的一元一次方程作为旧知引导学生复习回顾，让学生感受到数学内容在七、八年级的前后一致.此外，在研究很多规律（公式）问题（包括其它学科，如物理）时，学生也接触过不少用字母表示已知数的等式或方程，可见提高这类问题的解题教学质量是很重要的.

2 解题教学设计

2.1 复习旧知

解下列方程：

（1） nx-l2＝0（其中n，l为已知数）；

（2） 300x＝300+50x+30.

2.2 例题练评

例2 某次列车平均提速30km/h.用相同的时间，列车提速前行驶300km，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车平均速度是多少？

【设计意图】这是基于上文提到的“教材例题”而改编的铺垫式问题，呈现例题时可以使用PPT的“渐次呈现”动画功能，即例题中的“30，300，50”先“留白”，在学生发现“数据不全”时，教师再渐次给出3个数据，而这些数据对应着“复习旧知”中的方程（2），让学生分析题意、设出未知数、列出“方程（2） ”，可以节约出“重复”解方程的时间.

【变式1】某次列车平均提速vkm/h.用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车平均速度是多少？

【设计意图】“变式1”对应着“教材例题”，将“例题”的“留白”再换成字母v，s，保留数据“50”，围绕“变式1”进行解题过程的讲评，包括结合实际意义，强调一些表示已知数的字母的取值范围；还有，因为列出的是分式方程，要强调学生有检验的意识.

【变式2】某次列车平均提速vkm/h.用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶akm，提速后列车平均速度是多少？

【设计意图】“变式2”再次“一般化”，将“例题”的“留白”再换成字母v，s，a，“变式2”可以直接看出答案，不需要再给出完整过程.从例题、变式1再到变式2，体现了由特殊到一般，让学生体会到表达问题时，用字母不仅可以表示未知的（数）量，还可以表示已知数（量）.并且让学生知道在今后在其它学科也会经常遇到这种含有字母表示已知数的方程或公式，如果学生已具有其它学科中的相关经历，可以安排学生交流他们在其它学科中遇到的类似问题.

2.3 同类练习

同类练习：两个小组同时开始攀登一座hm高的山，第一组攀登速度是第二组的a倍，并比第二组早tmin到达顶峰，则两组的攀登速度各是多少？

【设计意图】这道同类练习的情境由上面的列车提速问题，改为两个小组登山；等量关系由之前的“相同的时间”也变成了两组到达顶峰用时相差“tmin”.这些都是学生在审题时需要辨明的.列出的分式方程中仍然含有一些表示已知数的字母.在求解这类分式方程之后还需要结合实际意义进行必要的检验.

2.4 小结回顾

小结问题1：本课中哪种类型的分式方程给你留下了较深的印象？解这类分式方程，你积累了怎样的经验？

小结问题2：列分式方程解应用题有哪些关键步骤？在小组内结合具体例子说说你们的理解.

【设计意图】让学生在以上两个“小结问题”的引导下更加精准、高效地进行回顾小结，避免使用一些“空泛”的小结问题（如这节课你学到了什么？这节课你感悟到了什么思想方法？）.

布置作业：一辆汽车以akm/h的速度由A地驶往B地，然后再以bkm/h的速度返回，求汽车往返A，B两地的平均速度.

【设计意图】可设汽车往返两地的平均速度为xkm/h，A，B两地之间的路程为Skm，列出方程2Sx＝Sa+Sb，解出x＝2aba+b.解题的关键在于不但要设出未知数x，还需要设出两地之间的距离S，但这里的S“设而不求”（当然，也有学生将A，B两地之间的路程视为“单位1”），在解关于x的分式方程时，可以“约掉”S，从而用含a，b的式子表示未知数x.学生的练习情况可有效反馈本课教学目标是否达成.

3 教学立意的进一步阐释

3.1 “留白式”出示学习内容，激发学生探索未知的兴趣

教师在备课时应根据课型、教学内容、学生情况等因素对课堂留白进行预设.^［1］上文课例中，并没有提前印发“导学案”，而是将一些题组与变式以PPT动画留白的方式渐次呈现，让学生对本课将要学习的内容充满期待，激发他们探索未知的兴趣.事实上，如果提前将本课所学内容（主要是习题）全部印制在“导学案”上，学生在拿到“导学案”后，就会出现不少优秀学生在这节课中常常“埋头做题”，如果教师不安排他们讲解或上台板演，他们往往只是“自我练习”，偶尔抬头核对一下自己的答案与教师讲评结果是否一致.而“留白式”出示教学内容，使得全体学生都在研究结束一个问题之后，对后续问题充满想象和期待.

3.2 从特殊到一般呈现题组，促进学生概括出解题策略

涂荣豹指出，解题学习中某些解题策略可以通过经验式概括而获得，共同特征是解决这类问题的具有一般意义的规律.^［2］上文课例聚焦主题，关注一类含有字母表示已知数的分式方程，这类分式方程的模型可以出现在很多現实生活中，为了提供解法铺垫，教学设计的逻辑是“从特殊到一般”呈现题组.从教学效果来看，学生对研究本课内容充满兴趣，所学内容掌握得也很好.顺便指出，我们并没有在教学设计或PPT课件中标明“从特殊到一般”之类标签式备注，因为追求体现或渗透数学思想与方法的解题教学，并不都需要以“贴标签”的方式出示，而是在整节课的学程推进中体现《红楼梦》的艺术特色——草蛇灰线、伏脉千里.本质上说，数学思想方法是一种“隐性知识”，也应该以“润物无声”的“暗线”进行布局或预设.

参考文献：

［1］ 蔡甜甜，刘国祥，宁连华.数学课堂留白艺术的理论探析与实践反思［J］.数学教育学报.2018，12（6）：29-32.

［2］ 涂荣豹.数学学习中的概括［J］.数学教育学报，2004，13（1）：17-22.