分类讨论思想在数学解题中的应用

董文峰

摘 要：分类讨论思想作为数学中的一种重要的思想，在数学解题中有着广泛而深刻的应用.学生们如何自如地运用这一思想开启解决问题的大门，这是学生们学习的难点，也是教师在教学中需要重点指导的地方.下面以二次函数中的图形存在性问题为例，具体讲解如何运用分类讨论思想解题.

关键词：分类讨论思想；二次函数；图形；存在性

1 分类讨论思想概述

在研究和解决数学问题时，当不能对问题所给对象进行统一研究时，把所有研究的问题根据数学对象的本质属性的相同点和不同点分成若干类，转化成若干个小问题来解决，最后综合各类结果得到整个问题的答案，这种解决问题的数学思想称为分类讨论思想.

分类讨论有着特定的产生因素，在初中阶段，引起分类讨论的主要因素有：（1） 代数方面：① 由数学概念引起的分类讨论，如绝对值定义、实数、函数的定义等；② 由代数运算性质引起的分类讨论，如算术平方根的非负性，含参数的不等式、方程的求解等；③ 由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论，如二次项系数的正负对二次函数图象的开口方向的影响.（2） 几何方面：① 由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论，如直线与圆的位置关系；② 由几何图形的相对形状不确定引起的分类讨论，如直角三角形和等腰三角形中的边角的讨论.（3） 由实际问题引起的分类讨论，如排列问题，实际应用题等.（4） 其他方面，如题设本身有分类，或解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的.

运用分类讨论思想解决这些数学问题时通常的步骤为：（1） 明确讨论的对象和范围；（2） 确定分类的标准，恰当地对全体对象进行合理的分类；（3） 对每一类进行分析和解决问題；（4） 综合各类的结果，归纳得出结论.需要重点强调的是，第（2）步中的分类是分类讨论思想的核心环节，关系到问题解决的成败.在分类时我们要把握好这四个原则：（1） 确定性原则，分类的对象是确定的；（2） 同一性原则，分类是按照同一个标准进行的；（3） 互斥性原则，分类的标准是统一的，分类的各层之间既没有重复的部分，也没有遗漏的部分；（4） 层次性原则，根据题目的特点和要求科学地划分标准，大分类中含有小分类时，要分清主次，不越级讨论.

分类讨论思想是一种重要的数学思想，在初中的各个知识板块中均有渗透，涉及的知识面广，综合性强，思考容量大，在解题中有着深刻而广泛的应用，有利于培养学生的有序思考方法、严谨的逻辑思维能力、综合分析问题和解决问题的能力.下面就二次函数中的图形存在性问题中渗透的分类讨论思想进行具体剖析.

2 分类讨论思想在解决二次函数的图形存在性问题中的应用

研究以二次函数为背景的图形时，由于其依托于二次函数，所以既与函数图象有一定的关联性，又有其本身的独特性质.而分类讨论思想的运用，也正是由图形的独特性引起的.在初中阶段，二次函数主要与直线、三角形、四边形和圆这些几何图形融合在一起进行考查，属于二次函数的综合题通常以压轴题的形式出现.其中存在性问题主要与直角三角形、等腰三角形、相似三角形、平行四边形、矩形、菱形和正方形有关，讨论这些图形在二次函数中是否存在，通常是由几何图形的相对位置或相对形状的不确定性引起的分类讨论.

2.1 分类讨论应用于解决直角三角形存在性问题

由于直角三角形的直角特殊性和直角顶点的不确定性，在假设二次函数中的直角三角形存在的前提下，则围绕着直角顶点的位置进行分类讨论.一般的解法是先把三角形的三个顶点的坐标表示出来，有的点是用含变量的代数式表示，有的点是已知点；再用两点间的距离公式表示出三角形各边的长度；然后根据直角顶点的位置分类，对每一类情况分别用勾股定理列方程进行计算；最后整理、综合各类的结果，得出完整的答案.

例1 如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点.

（1） 求a、b、c的值；

（2） 连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值；

（3） 在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

思路分析：（1） 用待定系数法即可得出结论；（2） 先求出直线AC的解析式，设出点P坐标，表示出点Q坐标，再用三角形的面积公式，得出函数关系式，即可得出结论；

（3） 运用配方法求出抛物线对称轴，设点Q（-1，n），根据A（-3，0），C（0，3），可运用勾股定理分别求出AC²，CQ²，AQ²，由于△QAC为直角三角形，可以分三种情况：∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，对每种情况运用勾股定理列方程求解即可.

2.2 分类讨论应用于解决等腰三角形存在性问题

探究等腰三角形的存在性问题时，在假设其存在的前提下，充分利用题目的已知条件，把与等腰三角形有关的点和边求出来，然后按照哪条边是等腰三角形的底边进行分类，对每一类情况，充分利用等腰三角形的性质，如两腰相等，底边上的中线垂直平分底边等，展开求解，最后综合各类结果，得出答案.

例2 已知抛物线y＝x²+bx+c（b，c为常数）交x轴于点A（1，0）和点B，交y轴于点C（0，5），抛物线的对称轴与x轴交于点D.

（1） 求该抛物线的解析式；

（2） 在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

思路分析：（1） 用待定系数法求出抛物线的解析式；（2） 先求出B点的坐标，则BC边是已知的，要使△PBC为等腰三角形，分别存在三种情况：以BC为底边或以PB为底边或以PC为底边.再结合已知的BC边和充分利用等腰三角形的性质，即可得出答案.

解：（1） 抛物线的解析式为y＝x²-6x+5；

（2） 存在，理由如下：

如图3，在抛物线y＝x²-6x+5中，令y＝0，则x²-6x+5＝0，

解得x₁＝1，x₂＝5，∴B（5，0），

∵△PBC为等腰三角形，

∴可分为三种情况：以BC为底边或以PB为底边或以PC为底边.

2.3 分类讨论应用于解决四边形存在性问题

在探讨二次函数中的四边形存在性问题时，其中的四边形包括平行四边形、矩形、菱形、正方形，都在出题的范围内，解决问题的关键是在熟练掌握这些特殊四边形的性质和判定的基础上根据具体的题目条件，找准解题的突破口.如在探究平行四边形的存在性问题时，首先假设结论成立，再根据题中的条件确定已知的平行四边形的顶点，一般至少已知两个顶点，也即是一条边，而第三、四个点跟抛物线或者坐标轴有某种关联性.已知的这条边既可以是平行四边形的一边，也可以是其中的一条对角线，由此引起了分类讨论.然后针对每一个分类情况，充分利用平行四边形的性质和抛物线的性质建立关系式，联立方程求解，最后综合所得的結果.

在解决二次函数中的图形存在性问题时，在对每一种图形的探讨、分析和解决的过程中无不渗透着分类讨论的方法和思想，分类讨论思想就像是一把解决问题的利器，起着决定性的作用.基于图形的几何特征

以及在坐标系中的位置，首先明确讨论的对象是这些特殊的图形，如直角三角形；然后再进行合理的分类，如等腰三角形是根据底边的位置来分类的，再对每一情形分别求解，由于是以二次函数为背景的题型，所以一般求解的是点的坐标，最后综合所得的结果.

3 关于分类讨论思想的解题教学建议

从以上的例题可以看出，分类讨论不是空穴来风，当问题的解决路径产生了分歧时，分类讨论是必然的结果.

为了让学生们在解题中顺利地运用分类讨论思想，在解题教学中首先要培养学生们分类讨论的意识，让学生有分类讨论思想的基本概念.学而后行，行而后悟，只有让学生对这一思想方法有了初步的认识，才能在解题中尝试着运用.教师可以以一种小专题的形式介绍分类讨论思想及其在解题中的运用.

其次，指导学生在各类问题中合理地进行分类.在全面了解问题的解决方式后，按照分类的原则，做到不重不漏地进行分类.

最后把握分类讨论的严密性和语言表达的准确性，分类讨论有其基本的步骤，要一步一步地来，先分述后综合.

总之，分类讨论思想的基本策略是先化整为零，再各个击破，最后积零为整.在解题教学中，需要帮助学生积累一些分类的方法与技巧，针对具体问题灵活分析和解决，这对发展学生的逻辑思维、综合和概括能力、探索与应用能力大有裨益.