概念生成阶段要重视运用启发式教学方法

肖冬

摘 要：为了避免概念新授课时出现“一个定义、三项注意、大量练习”的教学现象，在概念引入时要精心选编问题情境，随后“去情境化”得出概念的本质特征，再引导学生概括出数学新对象的定义，整个过程都要贯彻启发式教学方法.这既是“新课标”的要求，也是切实提升概念教学质量的有效做法.

关键词：概念教学；启发式教学；去情境化

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下簡称《课标（2022年版）》）中要求“选择能引发学生思考的教学方法”，强调要“改变单一讲授式教学方式，注重启发式、探究式、等方式”.日常教学中，教师在解题教学时面对学生的读不懂题意、无从下手、思路进展不顺、错解、漏解往往都会进行必要的启发、示意，启发式教学大多见诸于解题教学的场景.那么，在概念教学的新授环节，如何贯彻《课标（2022年版）》所提出的“启发式”呢？本文结合一些具体的案例，给出笔者的实践与思考.

1 贯彻启发式教学方法的案例概述

案例1 有理数的乘方运算

启发式问题1：加法算式（-3）+（-3）+（-3）+（-3）+（-3）可以简写为乘法运算（-3）×5；类似的，乘法运算（-3）×（-3）×（-3）×（-3）×（-3）怎么简写呢？

预设：学生在小学阶段就接触过平方、立方运算，应该可以顺利简写成（-3）⁵.为进一步引出乘方运算am提供了一个数学情境.

启发式问题2：可以发现乘方是乘法运算“升级”而来，那么如何进行乘方运算呢？比如（-2）⁵，结果是多少？你是怎么计算的？

预设：这个问题比较简单，学生很快能算出结果，进一步就是组织学生研究乘方运算所得结果“幂”的符号规律.

案例解读：从学生已有经验出发，自然定义乘方运算及表示方法，接着就是引导学生“回到旧知”，根据乘法研究乘方运算，并归纳、概括“幂”的符号规律.整个教学过程，贯穿着启发式教学，教师只有少量的讲授（比如乘方运算的结果称之为“幂”）和必要的新知的板书示范.

案例2 对顶角相等的新知探究

启发式问题1：两条直线相交，可以得到4个角（小于平角的角），请同学们研究这4个角有怎样的数量和位置关系？

预设：有一条公共边的两个角互为补角（教师顺势给出“邻补角”的概念）；没有公共边的两个角相等（教师顺势给出“对顶角”的概念）.进一步，让学生讨论一下，如何来定义邻补角、对顶角.学生经过讨论、完善，揭示出它们的本质特征之后，教师再一起进行规范的表述，并对这两种角的定义进行板书.

启发式问题2：刚才同学们提到对顶角是相等的，你们是直接看出来的吗？能不能运用已学过的几何定理或性质进行推理证明？

预设：学生可借助邻补角的定义，等式性质进行推理证明，感受到数学证明的严谨.

案例解读：平面几何入门阶段就让学生知晓研究几何图形的形状、大小与位置关系，沿着这个研究路径，研究两条直线相交所形成的4个角的数量与位置关系.启发学生归纳、概括出它们的大小和位置关系之后，就已初步理解了邻补角、对顶角的性质，为进一步明确它们的定义做足了准备.

案例3 角平分线的性质定理（八年级全等学习之后）

启发式问题1：同学们回忆一下，直线外一点到直线的距离是如何定义的？举例说说.角平分线上的一点，到角一边的距离如果是2cm，你能否画图分析该点到角的另一边的距离是多少？

预设：先进行旧知回顾，让学生准确理解直线外一点到直线的距离是过该点到直线的垂线段的长度.然后再过渡到角平分线上一点到角的两边距离相等的构图，并直观感知“角平分线上一点到角的两边距离相等”.

启发式问题2：刚才有些同学是通过度量发现角平分线上一点到角的两边距离相等，我们知道度量有时会有误差，如果我们在角平分线上换一点，再看看这个点到角的两边距离还是相等的吗？能否不再度量，运用已学的全等的知识，证明这个结论呢？

预设：学生在以上启发之下，应该可以想到判定两个三角形全等即可得出结论.教师进而给出角平分线的这个性质定理的文字语言、符号语言.

案例解读：角平分线的性质定理需要让学生理解两个关键，一是回顾复习点到直线的距离；二是运用全等三角形来推理证明.教学时注意启发学生暴露这两个“关键”，如果学生说得太快，可以通过追问让他们充分展开自己的理解，并让理解得慢一点的学生再次复述证分析或证明思路.

2 关于概念教学运用启发式的进一步思考

2.1 基于情境，预设启发式引导语引入新课

概念教学在引入新课时，都需要设计一个问题情境，然后基于情境，让“问题驱动”^［1］教学进程.当然，能否选编、创设恰当的问题情境，影响着学生的思维是否能够深度参与.笔者以为，选编问题情境时，要尽可能有利于后续新知的引入，而不要故弄玄虚，一些干扰信息过大的情境素材不宜选用，比如滥用一些视频、影视作品中的片断来引出数学新知，常常会适得其反，因为有些视频因为风光优美、影视作品因为文艺、音乐等冲击力过强，往往不利于新课的引出.一般来说，安排一些简短、简明的生活现实或数学现实，教师辅以必要的启发式问题，把学生的思维、目光聚焦于即将要学习的新知内容上来，开门见山，削枝强干，往往更有利于新课的学习.

2.2 对话互动，让启发式追问引导去情境化

在新知探究和生成阶段，教师要控制直接讲授的“冲动”，适当放慢教学节奏，在问题情境驱动下，师生对话，重视互动，用启发式追问帮助学生从问题情境中抽象、分离出新知识的本质特征.比如，上文提到的两条直线相交形成的邻补角和对顶角，如果直接讲授可能不到5分钟就能完成，然后就可以开始“大量练习”，也许最后学生在解答相关邻补角、对顶角的习题时效果也不错.但是生成这些概念的教学过程被压缩、挤占之后，不利于学生今后独立研究一些新的数学对象，也就是研究方法、研究路径的渗透靠的是平时新课教学的日积月累、春风化雨.在这里，还应特别关注“去情境化”^［2］的教学启发，具体来说，当精心选编某个生活情境引出新知时，如果学生不能排队干扰信息，分离、抽象、提炼出新知识的本质特征、关键元素，则教师要加强这个方向的启发引导，努力促进学生“去情境化”，把研究的思路聚焦在新的数学对象上.笔者最近在听一名新教师执教《数轴》时，围绕教材上数轴的引入情境（一条笔直的马路边上依次有汽车站、加油站、邮局、学校、大超市等），带领学生阅读理解这则生活情境，师生围绕这个生活情境热烈议论了8分钟，还没有引出数轴的概念、揭示数轴三要素，影响了后续教学目标的达成，这是的“去情境化”没有做好.

2.3 归纳概括，启发式点评生成并完善概念

在情境问题的驱动之下，抽象、提炼出新学概念的本质特征之后，就要安排学生归纳概括出这个概念，这时学生所用的数学语言可能还不太严谨、规范，需要教师继续启发引导，最终完善相关概念的准确定义.比如，当学生画出三角形并给出定义“三条线段连接在一起的图形叫做三角形”，这时教师可以画出一个反例图形，启发学生进一步完善三角形的定义为“平面内，三条线段首尾顺次相接所形成图形叫做三角形”.有时候，在学习并概括一个概念时经历一些“曲折”的过程是必要的，考查数学史就可发现，很多数学概念的发生、发展都经历了漫长的过程，我们在教学过程中也不宜快速地讲授、给出一个精致、完善的数学概念.

3 结 语

近读期刊，郑毓信教授在文^［3］中指出应追求一种“数学课堂文化”：“思维的课堂，安静的课堂，互动的课堂，理性的课堂，开放的课堂.”本文关于概念教学中运用启发式教学的实践与思考，也算是践行上述“数学课堂文化”的一点努力吧.

参考文献：

［1］ 刘东升.我们需要怎样的“问题”驱动课堂——由美国莎维女士执教的函数图象课说起［J］.《教育研究与评论：课堂观察版》.2016（11）：6568.

［2］ 徐晓燕.“去情境化”视角引发的情境教学的思考与实践［J］.上海中学数学，2020（5）：812，14.

［3］ 郑毓信.天才与凡人——“数学教育杂谈”之三［J］.教育研究与评论（综合），2022（4）：49.