基于思维进阶的[v-t]图像斜率教学设计

王良继

［摘 要］文章以[v-t]图像斜率教学为例，精准划分五级学习台阶，探索应用学习进阶理论，设计教学路径，突破教学难点，使学生的思维水平得到较大的提升。

［关键词］思维进阶；[v-t]图像斜率；教学设计

［中图分类号］    G633.7        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）02-0064-03

学习进阶理论认为，学生对某一主题的学习不是一蹴而就的，需要经历进阶起点和许多不同的中间水平，然后到达进阶终点。进阶过程重视学生的深度思考，寻找最佳的教学模式，可以促进各级水平“进阶”的发生。

《普通高中物理课程标准（2017年版2020年修订）》在“运动学图像”方面有这样的内容要求：“理解位移、速度和加速度。通过实验，探究匀变速直线运动的特点，能用公式、图像等方法描述匀变速直线运动，理解匀变速直线运动的规律，能运用其解决实际问题，体会科学思维中的抽象方法和物理问题研究中的极限方法。”[v-t]图像是运动学图像的重要组成部分，学生对[v-t]图像的掌握情况，则是衡量学生理解掌握运动学知识好坏的标志。对[v-t]图像的学习，包含了图像的“点、线、斜、截、面”等要素。

本文以[v-t]图像斜率教学为例，精准划分五级学习台阶，探索应用学习进阶理论，设计教学路径，突破教学难点，促使学生的思维水平跃升。

一、初阶水平——数学图像的斜率认知

高一学生的思维尚停留在初中阶段的认知浅表层面，对数学图像的斜率概念与意义的认识水平也是参差不齐。笔者在组织教学时，首先复习这一内容，旨在让所有学生不会因为数学基础缺失而造成物理学习缺位。如图1所示，在[xOy]坐标系中，直线[QP]的斜率[k=OPOQ]，需要强调的是：这里的斜率是两条线段的实际长度之比。高一学生的思维延续了初中阶段直观形象的思维特点，经过这样的复习，学生对数学图像斜率就有了清晰的感性认识，就是它等于两条线段的实际长度之比。这就为物理图像斜率的学习打下了基础。

二、次阶水平——[ v-t]图像的斜率教学

物理必修第一册教材中的原文：物体运动的速度随时间变化的情况可以用图像来直观表示。以时间[t]为横轴，速度[v]为纵轴，坐标系中的图像即为速度—时间图像或[v-t]图像。

图2中的两条直线[a]、[b]分别是两个物体[A]和[B]的[v-t]图像，[E]、[F]两点所表示的时刻和速度分别为[t1]、[t2]和[v1]、[v2]。從图中可以看出，小三角形的一条直角边代表时间间隔[Δt]，另一条直角边代表速度的变化量[Δv]，[Δv]与[Δt]的比为加速度大小，其比值为该直线的斜率。因此，由[v-t]图像的倾斜程度可以判断加速度的大小，所以由图2可知物体[A]的加速度比物体[B]的加速度大。

鉴于此处学生接受难度较大，笔者教学时做如下设计：①用数轴描述时间和速度，先画一条带有箭头的线段，再选定一定的标度，即具体用多长的线段来表示1 s和[1 ms]的大小；②将两个维度的数轴画到一幅图中，同时强调：[v-t]图像中坐标轴反映的是速度和时间的大小，不是几何长度大小，两个坐标轴能独立描述各自物理量的数量特征，这里是借助数学坐标系将两数轴结合起来，建立速度随时间变化的关系图。因此，直线的斜率不是线段实际几何长度之比，而是其代表的速度[v]和时间[t]大小的数值之比。图中实际长度是依据比例标度画出的，旨在将数量关系用几何图形直观表示出来。斜率意义在于描述了[v]随[t]变化的快慢程度，计算时只能用直线上两点的纵、横坐标量值计算，具体用两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

学到这里，学生知道数学图像斜率和物理图像斜率既有关联又有区别，能够基本掌握[v-t]图像斜率的意义与计算方法，从知识层面跨越了思维的一级台阶。

从数学图像的斜率的学习过渡到[v-t]图像斜率的学习，经历了由具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡，思维层次得到了大幅提升。

三、中阶水平——[ v-t]图像斜率的简单运用

数学图像的斜率可用直线倾角正切表示，而[v-t]图像斜率则不可用这种方法计算，原因是同一大小量值采用不同比例标度作出的直线倾角是不同的。如图3所示，某个物体的[v-t]图像，采用不同的比例标度，可以让倾角[α]为[30°]，也可以为[40°]，甚至是[50°]，因此这种计算法不可取。

学到这里，学生提出这样的问题：对于一条直线，倾角没有意义，对于两条不同的直线有无意义呢？面对学生提出的问题，教师和学生一起做如下讨论：①在不同坐标系中，由于采用的比例标度不一定相同，倾角不能反映两个物理量的变化快慢；②在同一坐标系中，由于采用的是同一比例标度，故倾角相对大小能够反映两个物理量的变化快慢，如图2中直线[a]的倾角比直线[b]的倾角大，故其斜率就大，加速度也就大；③在同一坐标系中，若已知两条直线的倾角数值，其正切比值有无意义呢？答案是“有意义”，其比值等于加速度之比。由于采用的是同一标度，两个不同小直角三角形同一横边的实际长度之比等于时间[t]量值之比，同一纵边的实际长度之比也等于速度[v]量值之比，由此可以得到两直线实际倾角正切比值等于加速度之比。

四、高阶水平—— [v-t]图像三种斜率的意义

以上讨论的是直线图像，学生基本理解和掌握了图像斜率的意义，在学生学习兴头正盛时，笔者适时引出问题：“如果某个物体的[v-t]图像是一条曲线，又该如何理解图像斜率的意义呢？”

在学生理解直线图像斜率的基础上，教学曲线斜率时，可在曲线上选取不同的点，连线得到不同的直线，此时教师应和学生一同探究取点方式，得到以下结果：图线上一点与坐标原点连线，这是最简单也是最特殊的直线，理解其意义难度不大但很重要；图线上任意两点连成的直线；过图像上任一点的切线。接下来分析各自斜率的意义。

（1）如图4所示，图像上的点与原点连线的斜率等于这一过程的[Δv]与[Δt]之比，表示的是[t]时间内的平均加速度，也就是从速度变化的实际效果出发，[t]时间内可以用与原点连线这一匀加速等效代替曲线所表示的变加速。

（2）如图5所示，图像上任意两点连线的斜率等于这两点间[Δv]与[Δt]之比，表示这段时间内的平均加速度，其意义与（1）相同。A与B连线斜率则表示[t1]到[t2]这段时间内的平均加速度，从速度变化的实际效果出发， [t1]到[t2]这段时间内可以用[A]与[B]连线这一匀加速等效代替这段曲线所表示的变加速。

（3）曲线图像上过某点的切线斜率表示该时刻的瞬时加速度。图6中的过[P]点的切线[PQ]的斜率表示[t0]时刻的加速度，具体可以用极限思想来理解，即在图像上另取一点无限接近[P]点，[Δv]与[Δt]无限趋近于零，此时两者比值即等于切线的斜率。

拓展：学生学完之后，会不假思索地认为只要纵轴表示速度，横轴表示时间，直线图像斜率就表示加速度。笔者立即提出问题：在匀变速直线运动的图像中，若横轴表示时间[t]，纵轴表示位移与时间的比值[st]，那么其斜率的意义是什么？这时学生可能认为，纵轴表示速度，横轴依然是时间，故斜率仍然表示加速度。经过一番讨论后，笔者与学生一起分析如下：匀变速直线运动的位移与时间关系式为[s=v0t+12at2]，两边同除以[t]得[st=v0+12at]，从结果可以看出[st-t]图像是一条倾斜直线，斜率等于[12a]，而不是直接表示加速度[a]，其原因是因为纵轴对应的不是瞬时速度，而是平均速度。讨论后笔者和学生一起总结：要想搞清纵、横坐标轴之间的具体关系，若不能依据定义直接得出，则需要从有关物理公式出发，进行简单的数学变形，得出两坐标轴表示的物理量之间的具体关系式，根据斜率和截距求所要求的物理量。

通过[v-t]图像三种斜率的意义的学习，学生思维的灵活性得到了训练。学生学到这里，颇感收获满满，少数学生甚至飘飘然，以为只要出现图像的斜率就都能理解，斜率都表示一个物理量随时间变化的关系，为了不让学生骄傲自满，笔者此时不失时机地加以引导，提出探究问题：“如果横轴不表示时间又当如何呢？”

五、从[v-t]图像向其他图像延伸与终阶水平—— [v-t]斜率向其他要素的延展

（一）从[v-t]图像向其他图像延伸

从[v-t]图像斜率的学习可以看出，斜率共分为两种，一种是与原点连线斜率，等于纵、横坐标之比；另一种是切线斜率，等于纵、横坐标变化量之比，意义是不一样的。如果不是[v-t]图像，而是其他形式的图像，斜率意义又当如何呢？下面以[U-I]图像为例，谈谈其斜率问题。

如图7所示，图中[P]点与原点连线的斜率等于 [U0  I0]，也就是等于电阻[R]，而曲线上点的切线斜率则没有意义，曲线上各点与原点连线斜率增大，表示随电流[I]增大电阻[R]增大。

若[U-I]图像是如图8所示的直线，则是电源的特征图像，其斜率也是有意义的，由[U=E-Ir]可得[ΔUΔI=-r]，表示的是纵轴变化量与横轴变化量的比值，即电源内阻[r]的负值。

图像斜率有无意义，意义如何，取决于纵、横坐标轴所表示的物理量之间有无关系，遵循什么物理规律，其变化量之比有无意义，可以从规律中找寻。

高中学生在寻找物理图像斜率意义时，往往习惯于直接找寻其关系，这样往往会受物理量表面关系干扰，误入歧途。教师教学时一定要让学生懂得物理图像是用来描述物理规律的，纵、横轴表示的物理量之间关系如何，取决于其遵循什么样的物理规律，解决问题时需从物理规律出发，然后基于规律找寻两坐标轴表示的物理量之间的数量关系。

（二）[v-t]图像斜率向其他要素延展

在图像的“点、线、斜、截、面”五要素中，斜率和面积是学生学习的难点。教材在讨论面积问题时，首先从匀速直线运动出发，由公式得[s=vt]，再结合[v-t]图像得出图像与横轴所围成的面积表示位移，需要强调的是这里的面积是数值面积。在此基础上再讨论匀变速直线运动的位移，虽然匀变速直线运动的位移公式不再是[s=vt]，但是可以通过微元法化变为恒，对时间微分，在每一微元过程里变速可近似处理成匀速，其中图像与横轴所围成的面积就能表示该微过程位移，然后再对每一微过程的位移求和即可得全过程位移，在[v-t]图像中就表现为图像与横轴所围成的面积等于这一过程中的位移。

学生在学习过程中都能理解和接受，但是不能将面积的来龙去脉迁移到其他运动学图像和其他物理图像中去，这时需要教师强调面积的意义，分析面積的来龙去脉。例如，在[a-t]图像中，学生会认为图像与横轴所围成的面积表示速度，一问为什么？多数学生哑口无言，说明学生是瞎蒙的。教师教学时，首先要求学生回顾匀变速直线运动的位移与时间关系式的推导过程，顺着该推导过程提出以下渐进问题：若为匀变速直线运动，[a-t]图像是什么曲线？这一曲线与[t]轴围成的数值面积有无意义？若有，意义是什么？若[a-t]图像是倾斜直线，如何探索面积的意义？学生在这一连串问题引导下终于明白[a-t]图像中图像与横轴所围成的面积不再表示速度，而是表示速度的变化量[Δv]，并能正确计算出面积。在此基础上，进一步提出问题：若是其他图像，如何确定面积有无意义？有的学生回答：只需要将纵轴表示的物理量与横轴表示的物理量的乘积找出来看有无异议即可，具体可按上述过程分析。

通过从[v-t]图像向其他图像的斜率教学延伸和[v-t]图像斜率向其他要素的教学延展，学生思维的广阔性得到了很好的培养，长此以往，学生的学习能力也会随之发展。

高中阶段是学生形成物理思想，提升思维能力的重要阶段。本文以[v-t]图像斜率教学为例，设计了如图9所示的教学路径，促使学生的思维进阶，训练了学生思维的深刻性、灵活性和批判性。

［   参   考   文   献   ］

［1］  中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准：2017年版2020年修订［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］  人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中教科书物理必修第一册［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［3］  胡卫雄.核心素养导向下的进阶式复习课教学设计：以“电势差与电场强度的关系”为例［J］.中学物理教学参考，2020，49（22）：26-30.

（责任编辑 易志毅）