凸显数形结合 发展数学能力

陈开免

［摘 要］二次函数是初中数学教学中的重要内容，文章尝试从“数”与“形”两个方面让学生深刻理解二次函数的性质，逐步掌握解决数学问题的方法，以发展学生的数学能力。

［关键词］数形结合；二次函数；性质；数学能力

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）02-0016-03

二次函数是初中数学教学中的重要内容，它与其他两种基本函数相比，是较难掌握的一种函数，教师讲解费力，学生学习吃力。如何深化学生对于二次函数的认识，使学生熟练掌握解决二次函数问题的方法呢？

一、教学内容

本节课的教学内容为“二次函数的性质”习题课，二次函数不同于一次函数，它是非线性函数，可以用来描述匀变速运动。在二次函数的相关学习内容里，二次函数的性质最为重要，因为一次函数与反比例函数的性质都比较简单，在整个实数范围内没有最值，没有顶点，增减性比较明确，而二次函数有最值，函数图象有顶点，增减性有区间。因此，认真研究二次函数的性质，可以把研究二次函数的一般方法迁移到学习其他函数中。初中阶段是学生思维方式从形象思维向抽象思维过渡的时期，这个阶段研究二次函数应从函数的图象入手，以研究函数图象为主，以严谨的代数计算为辅，利用数形结合思想把函数与方程、函数与不等式的关系讲清楚。

本单元的知识脉络为：了解函数→学习图象性质→拓展关联。在“了解函数”环节，主要学习二次函数的三种表现形式：（1）一般形式：[y=ax2+bx+c（a≠0）]；（2）顶点式：[y=a（x-h）2+k]；（3）两点式：[y=a（x-x1）（x-x2）]。还要学习五点法画二次函数图象。在“学习图像性质”环节，主要学习根据二次函数的图象归纳二次函数的性质。在“拓展关联”环节，主要学习二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与一元二次不等式之间的关系，如何利用二次函数的图象解一元二次方程或一元二次不等式。

二、教学目标

教学目标：（1）从一个具体的二次函数出发，回顾梳理二次函数的基本性质；（2）利用二次函数的图象归纳二次函数的性质，通过代数计算验证二次函数的性质，进一步体现数形结合思想。

在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中，关于二次函数的学业要求是：会用描点法画出二次函数的图象……；通过图象了解二次函数的性质……；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为[y=a（x-h）2+k]的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴。而用数形结合思想来学习二次函数的性质是本节课的设计立意所在。

三、教学问题预测

与前面已学过的一次函数及反比例函数不同，二次函数一方面具有增减性，另一方面还具有对称性与最值，这是学生学习过程中面临的新挑战。通过前面的学习，学生已经学会了通过观察函数图象总结函数的性质，但是利用函数表达式进行代数推理是学习的新内容。因此，在课堂上，教师一方面要利用函数图象总结函数性质，让函数图象与性质进行关联，另一方面要引导学生利用函数表达式的代数计算进行推导。

四、教学过程

教学过程的基本思路：首先用一个具体的二次函数引入习题课，引导学生回顾二次函数的性质；其次从抛物线位置的确定，二次函数的增减性、对称性与最值，二次函数与方程、不等式的联系三个方面阐释二次函数的性质；最后是引导学生学以致用，学习二次函数在生产生活中的实际应用，挖掘二次函数与生活的联系，发现二次函数的学习价值。

教学环节一：图象导入，梳理知识

问题1：已知二次函数[y=x2+4x-5]，关于这个二次函数，你知道它的什么性质？

学生先独立思考然后相互交流彼此的看法，约3分钟后，让学习小组的代表发表自己的看法。

学生代表总结如下：

（1）二次函数[y=x2+4x-5]的图象是抛物线，因为[a=1>0]，所以抛物线的开口向上；（2）二次函数[y=x2+4x-5]可以配方为[y=（x+2）2-9]，所以抛物线的顶点坐标为（-2，-9），对称轴为直线[x=-2]；（3）抛物线与[y]轴的交点坐标为（0，-5）；（4）二次函数[y=x2+4x-5]可以化为[y=（x+5）] [（x-1）]，所以抛物线与[x]轴的交点坐标为（-5，0），（1，0）；（5）由于抛物线的对称轴为直线[x=-2]，开口向上，因此当[x≤-2]时，[y]随[x]的增大而减小。当[x≥-2]时，[y]随[x]的增大而增大。

教师：研究一个函数，要归纳它的性质，必须先画出它的函数图象，研究图象在坐标系中的位置。如观察抛物线的三要素，通过函数图象可以归纳函数的增减性、对称性与最值，再寻找决定这些性质的根本原因，最后研究函数与方程、不等式之间的联系等。关于上述二次函数，学生主要研究了如下信息：抛物线的开口方向、顶点坐标与对称轴，抛物线与两个坐标轴的交点坐标，抛物线在[x]轴上截得的弦長，顶点是最高点还是最低点等。对于二次函数，增减性与对称性是它最主要的性质。欲求得二次函数与[x]轴的交点坐标，实际上就是必须解当函数值为0的一元二次方程，即解[x2+4x-5=0]；观察二次函数的图象，我们还可以感悟到不等式[ax2+bx+c>0]或[ax2+bx+c<0]的几何意义。请同学们按照这一研究思路，对上述二次函数的性质进行补充与归纳。

设计意图：让学生解决第一个问题，旨在培养学生画图、用图与识图的能力。研究函数必须借助函数图象，教师可以引导学生先画出这个二次函数的图象并从多方面进行观察。如它的对称性如何？图象有没有最高点或最低点？它的增减性如何表述？如何求函数图象与两个坐标轴的交点坐标？从而逐步归纳出二次函数的所有性质。在第一个问题中，笔者没有直接让学生总结二次函数的性质，而是给出一个具体的二次函数让学生研究。这符合学生的认知规律，减轻了学生的学习负担，便于学生挖掘出丰富的信息，为进一步归纳函数的性质提供了更多材料。

教学环节二：疑难辨析，巩固提高

问题2：图1是抛物线[y=ax2+bx+c（a<0）]的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与[x]轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，则下列结论：①[a-b+c>0]；②[3a+b=0]；③[b2=4a（c-n）]；④一元二次方程[ax2+bx+c=n-1]无实数根；⑤[a+b≥am2+bm]（[m]为任意实数）。其中，正确的结论有                       。

在解决①②③三个问题之前，为了让学生厘清思路，笔者为学生设置了问题：（1）由抛物线的表达式[y=ax2+bx+c]，在什么情况下才能得到[a-b+c]？（2）如果把[3a+b]拆分为[2a+b+a]，如何求出它的值？（3）等式[b2=4a（c-n）]可以转化为[b2=4ac-4an]，它与抛物线的顶点的纵坐标[4ac-b24a]有何关系？

学生先行思考教师提出的问题，各学习小组的代表解答①②③问题具体如下：（1）因为抛物线的开口向下，所以二次项系数[a<0]，因为抛物线的对称轴为直线[x=-b2a=1]，所以[b=-2a]，即[b+2a=0]，因为[3a+b=2a+b+a]，[b+2a=0]，[a<0]，所以[3a+b<0]，结论②错误；（2）观察函数图象可得，当[x=3]时，[y>0]，抛物线的对称轴为直线[x=1]，所以点（3，0）关于直线[x=1]的对称点是（-1，0），由于抛物线是轴对称图形，所以当[x=-1]时，[y=a-b+c>0]，所以结论①正确；（3）因为抛物线的顶点纵坐标为[n]，所以[4ac-b24a=n]，整理得[b2=4ac-4an=4a（c-n）]，所以结论③正确。

在解决④⑤两个问题之前，为了让学生厘清思路，笔者为学生设置了问题：（1）解一元二次方程[ax2+bx+c=n-1]，實际上就是求哪两个函数的交点坐标？（2）[a+b≥am2+bm]（[m]为任意实数）可以变形为[a+b+c≥am2+bm+c]，那么如何才能得到[a+b+c]？如何才能得到[am2+bm+c]？

学生先行思考教师提出的问题，各学习小组代表解答④⑤两个问题如下：（1）观察函数图象可知，抛物线[y=ax2+bx+c]与直线[y=n-1]有两个交点，所以一元二次方程[ax2+bx+c=n-1]有两个不相等的实数根，所以结论④错误；（2）当[x=1]时，[y=a+b+c]，当[x=m]时，[y=am2+bm+c]，由图象可得[x=1]时，[y=a+b+c]为最大值，所以[a+b+c≥am2+bm+c]，[a+b≥am2+bm]，所以结论⑤正确。

教师总结：（1）为什么二次函数有最大值与最小值？这是因为二次函数的增减性在对称轴的左右两侧并不相同，当抛物线的开口向上时，二次函数的函数值从左到右先减后增，所以函数值有最小值，抛物线有最低点；当抛物线的开口向下时，二次函数的函数值从左到右先增后减，所以函数值有最大值，抛物线有最高点。（2）一般地，[a+b+c]就是当[x=1]时，二次函数[y=ax2+bx+c]的函数值，[a-b+c]就是当[x=-1]时，二次函数[y=ax2+bx+c]的函数值。（3）不等式[a+b+c≥am2+bm+c]，表达的意义是当[x=1]的函数值大于或等于[x=m]时的函数值，在本题中突显了二次函数最大值的代数意义。

追问：二次函数[y=ax2+bx+c（a≠0）]的图象如图2所示，其对称轴为直线[x=-1]，与[x]轴的交点为[（x1，0）]、[（x2，0）]，其中[00]；②[-3am2+bm（m≠-1）]；⑤[a>13]。其中，正确的结论有 ___________________。

设计意图：引导学生从函数的图象去直观地获得最大值或最小值，或者从二次函数的代数意义理解二次函数的最值，在函数图象中，最值表现为抛物线的顶点，它的代数意义为[f-b2a≥ ][f（x）]或者[f-b2a≤ ][f（x）]，学生既体验了函数图象的直观性，又体验了代数推理的严谨性，让学生学会从不同的角度思考问题。

教学环节三：拓展提升，不断升级

问题3：（1）已知函数[y=kx2+（2k+1）x+1]（[k]为实数），对于任意正实数[k]，当[x>m]时，[y]随着[x]的增大而增大，求[m]的取值范围；（2）已知抛物线[y=ax2-2ax-1（a<0）]，若当[-2≤x≤2]时，[y]的最大值是1，求当[-2≤x≤2]时，[y]的最小值。

为了让学生厘清思路，笔者尝试设置问题：二次函数[y=kx2+（2k+1）x+1]图象的对称轴方程是什么？抛物线的开口方向如何？如何描述这个二次函数的增减性？抛物线的开口方向如何？利用已知条件能否求得[a]的值？能否确定抛物线的表达式？在一定范围内，如何求得二次函数的最小值？

学生先行思考教师提出的问题，教师请部分学习小组的代表解答问题3的两个问题，解答过程如下：（1）因为[y=kx2+（2k+1）x+1]（[k]为实数），[k>0]，所以该抛物线的开口向上，对称轴为直线[x=-2k+12k=-1-12k<-1]，因为对于任意正实数[k]，当[x>m]时，[y]随着[x]的增大而增大，所以[m≥-1]；（2）抛物线的对称轴为直线[x=--2a2a=1]，因为抛物线[y=ax2-2ax-1=a（x-1）2-a-1（a<0）]，所以该函数图象的开口向下，对称轴是直线[x=1]，当[x=1]时，取得最大值[-a-1]，因为当[-2≤x≤2]时，[y]的最大值是1，所以[x=1]时[y=-a-1=1]，得出[a=-2]，所以[y=-2（x-1）2+1]，因为[-2≤x≤2]，所以[x=-2]时取得最小值，此时[y=-2（-2-1）2+1=-17]。

设计意图：问题3旨在考查学生在没有函数图象的情况下，如何发挥想象，解决二次函数的问题。问题3偏重于学生的代数运算与推理，必须对二次函数的增减性与对称性有较深的理解，有较好的空间想象能力，才能顺利解答。

五、教学反思

在课堂教学过程中，笔者引导学生自己动手画一画函数图象，这有利于加深学生对函数图象的认识与理解。实际上画函数图象的过程也是自然语言、数学语言与图形语言融合的过程，学生通过观察函数图象，思考函数的性质，有利于学生体验图象与性质之间的联系。笔者选用的例题借助几何直观就可以解决，但是为了让学生的思维更加深刻，笔者加入了代数演绎，让图象与代数有机结合，让学生进一步体会函数图象的直观性与代数推理的深刻性，有助于学生理解二次函数的数学本质。在教学方法的使用上，笔者采用了学生先行思考、小组接着交流、教师最后总结的方法，让每一位学生有时间思考、有机会表达，在交流中加深对知识的理解，逐步掌握解决数学问题的方法。我们不难发现，虽然题目千变万化，但抓住问题的本质才是关键。

（责任编辑 黄桂坚）