“概率”复习该怎样回归教材

谢永惠

［摘 要］文章以一道高考题为例，对“概率”复习怎样回归教材进行思考。复习要回归教材，关注概念及其辨析，可通过微专题，从夯实基础出发，使学生掌握核心概念，提高基础题的得分率，进而切实提升学生的数学素养。

［关键词］高考；概率；复习；回归教材

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）02-0007-03

一、原题呈现

（2021年高考全国Ⅰ卷数学第8题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）。

A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立

C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立

二、得分情况

福建省教育考试院编发的《2021年福建省普通高考学科评价报告》显示，此题的平均得分率最低，具体从全省各类学校选择题答题平均得分可知（见表1）。

而全省考生本题四个选项的选择情况如表2所示。

从表2可以看出，本题实测难度为0.05，属于超难题，总体区分度0.01，區分功能极差，说明绝大多数考生对该考点知识的掌握极差。

三、失分原因

本题主要考查古典概型的概率计算及事件相互独立的判断等内容。实际答卷中，错选A或D选项的人数占历史组总人数的90.5%，占物理组总人数的91.85%。错选A选项的考生误解了两个事件相互独立的概念，他们认为“第一次取出的球的数字是1”与“两次取出的球的数字之和是8”显然不可能同时发生，从而得出甲与丙相互独立，这是混淆了“事件互斥”与“事件相互独立”这两个概念。选择D选项的考生则是把丙与丁之间的互斥关系当成了相互独立关系。有少数学生选C，部分原因是在表示乙或丙所包含的基本事件时出错或者概率计算错误。归结错因是考生未能掌握好事件相互独立的概念，对古典概率的运算不熟练。

四、教学思考

这道选择题在命题专家及任课教师眼中只能算是基础题。基础题的设置目的是引导学生重视学科基础知识。从2021年和2022年高考全国卷的数学试题来看，基础题失分是许多考生的难言之痛。如何有效减少基础题失分 ，应该成为数学高考复习中师生关注的重点。 那么，在高考改革 “稳中求进”的背景下，教师如何做好“概率”内容的有效复习呢？在“概率”复习教学中，教师应立足基础，引导学生回归教材，让学生切实掌握核心概念。

（一）立足基础，回归教材，应关注概念的定义

以本题为例，其四个选项都只关注了两个事件是否相互独立。普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3用投掷一枚骰子和一枚硬币引出“当事件的全集[Ω1和Ω2]独立，对于[A?Ω1]，[B?Ω2]，有[P（A∩B）=P（A）P（B）]，这时我们也称事件[A]、[B]独立”。也就是说，可以用[P（A∩B）=P（A）P（B）]来判断事件[A]、[B]相互独立。因此，在解答本题时，我们可把“随机取两次”的每一个结果记为[（i，j）] [i，j∈1，2，3，4，5，6]，则甲包含的基本事件有[（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）]，用集合[A]表示 ，则[P（A）=636=16]。同理，用集合[B]、[C]、[D]表示乙、丙、丁包含的基本事件，有[P（B）=636=16]，[P（C）=536]，[P（D）=636=16]。因为甲与丙表示的事件不可能同时发生，所以[P（AB）=0]，显然[P（AB）≠P（A）P（B）]，可知A选项错误。同理，丙与丁表示的事件也不可能同时发生，因此D选项也错误。对于选项B与C，甲与丁含有共同的基本事件（1，6），则[P（AD）=136=P（A）P（D）]，乙与丙含有共同的基本事件（6，2），则[P（BC）=136≠P（B）P（C）]，所以本题正确选项为B。回归教材，引导学生进一步关注概念的定义，从定义出发解决问题，以不变应万变。

（二）立足基础，回归教材，应关注概念的辨析

以本题为例，从相关数据可以看出，超过90%的考生选择A、D选项，多数考生对于事件相互独立的概念理解不当，混淆了“事件互斥”与“事件独立”这两个概念。事实上，教材中的例题与练习更侧重于让学生计算两个独立事件的概率。若“回归教材”只是让学生重复读例题、做练习，那么可能仍然不能使学生充分理解两个事件的独立性。因此，我们还需要创设一些变式问题，引导学生辨析概念，让学生能深刻理解相关概念的区别。

例如可设置问题1：有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字小于3”，乙表示事件“第二次取出的球的数字小于3”。写出甲、乙包含的基本事件，甲、乙互斥吗？相互独立吗？

解析：把“有放回的随机取两次”的每一个结果记为[（i，j）] [i，j∈1，2，3，4]，事件甲、乙分别用集合[A]、[B]表示，则[A=（1，1）]，（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），[（2，4）]，[B=（1，1）]，（1，2），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（4，1），[（4，2）]，有[P（A）=816=12]，[P（B）=816=12]，则[A∩B=（1，1），（1，2），（2，1），（2，2） ]。

显然[A∩B≠?，]所以甲、乙不互斥。

又因为有[P（AB）=416=12×12=P（A）P（B）]，所以甲、乙相互独立。

紧接着提出问题2：若把问题1改为“无放回随机抽取两次”呢？

解析：把“无放回随机取两次”的每一个结果记为[（i，j）] [i，j∈1，2，3，4，i≠j]，事件甲、乙分别用集合C、D表示，[C=（1，2）]，（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），[（2，4）]，[D=（1，2）]，（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），[（4，2）]，有[PC=612=12]，[ P（D）=612=12]，则[C∩D=（2，1），（1，2）]。

显然[C∩D≠?]，甲、乙不互斥。

又因为[P（CD）=212≠12×12=P（C）P（D）]，所以甲、乙不相互独立。

这样的引导，能使学生更好地理解事件的相互独立。

（三）回归教材，关注概念辨析，应重视“微专题”的复习

在复习过程中，如果只是让学生完成例题及课后练习，复习提升的力度显然不够。若教师设置变式练习，帮助学生进一步辨析概念，也仅能提高单个知识点的复习效率。想要进一步提高学生解决问题的能力，教师还需要把相关知识整合成“微专题”，让学生通过对一类问题的解答整合解决这一类问题的方法，进而提升学生的解题能力。如前面的问题1中，还可增加条件概率的问题设置，即在判断甲、乙是否独立之前，增加：甲是否发生会影响乙发生的概率吗？有放回抽取时，则“若甲发生，则乙发生”的概率为[P（B|A）=48=12]，而“若甲不发生，则乙发生”的概率為[P（B|A）=48=12]。这表明甲是否发生不影响乙发生的概率，此时有[P（AB）=P（A）P（B）]，从而进一步验证甲、乙为相互独立事件。无放回抽取时，“若甲发生，则乙发生”的概率为[P（B|A）=26=13]，而“若甲不发生，则乙发生”的概率为[P（B|A）=46=23]。这表明甲是否发生会影响乙发生的概率，此时有[P（AB）≠P（A）P（B）]，从而进一步验证无放回抽取时，甲、乙不是相互独立的。这样，在一个问题的解答中，学生运用统计概率的相关知识，把古典概型与条件概率的计算、互斥事件与对立事件及事件相互独立的判断联系起来，在解题过程中对比、辨析，渐渐厘清知识脉络，总结出解决这一类概率问题的方法。

下面以2022年高考全国Ⅰ卷数学试题第20题为例进行说明。

某医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯的关系，在已患病例中随机调查了100例（病例组），同时在未患病的人群中随机调查100人（对照组），得到如下表所示的数据。

[ 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 ]

试题中的问题（2）：从该地的人群中任选一人，用[A]表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，[B]表示事件“选到的人患病”，记[R]为[P（B|A）P（B|A）]与[P（B|A）P（B|A）]的比值，[R]是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标。求证：[R=P（A|B）P（A|B）·P（A|B）P（A|B）]。

显然，如果学生理解条件概率的意义，明白[P（A|B）=P（AB）P（B）]的运算法则，则本题可迎刃而解。事实上，高考卷对知识点的考查很少是割裂的，试题更侧重于考查学生理解和灵活运用知识的能力，以及他们的数学思想方法、数学能力。以高考试题为教学导向，我们在复习中必须以数学思想指导数学运用，构建知识网络，对于有内在联系的各部分知识重点区分关联，帮助学生厘清脉络。在“概率”复习中，我们只有加强概念教学，重视概念辨析，开展“微专题”复习，才能强化学生的解题思维，提升学生的解题能力。

我们还可以通过课后练习的形式对这类专题的知识点进行巩固。

题目1.假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有3个孩子的家庭，则下列说法正确的是（）。

A.事件“该家庭3个孩子中至多有2个女孩”和事件“该家庭3个孩子中至多有2个男孩”是互斥事件

B.事件“该家庭3个孩子都是男孩”和事件“该家庭3个孩子都是女孩”是对立事件

C.事件“该家庭3个孩子中至少有1个女孩”发生的概率为[18]

D.当已知该家庭3个小孩中有男孩的条件下，事件“3个小孩中至少有2个男孩”的概率为[47]

（本题的解析略）

题目2.设[n]是给定的正整数（[n>2]），现有[n]个外表相同的袋子，里面均装有[n]个除颜色外其他无区别的小球，第[k（k=1，2，3，…，n）]个袋中有[k]个红球，[n-k]个白球。现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每次取后不放回）。

（1）若[n=4]，假设已知选中的恰为第2个袋子，求第三次取出为白球的概率；

（2）若[n=4]，求第三次取出为白球的概率；

（3）对于任意的正整数[n（n>2）]，求第三次取出为白球的概率。

解析：（1）[n=4]时，第三次取出为白球的情况：红红白，红白白，白红白。利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出第三次取出为白球的概率。

（2）先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第[k]个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第[k]个袋子的概率为[14]，由此能求出第三次取出的是白球的概率。

（3）先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第[k]个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第[k]个袋子的概率为[1n]，由此能求出第三次取出的是白球的概率。

总之，在高考复习中，教师不仅要充分认识夯实基础、回归教材的重要性，而且要让学生在理解核心概念的基础上进行有针对性的练习，从而提升学生的解题能力和数学素养。

［   参   考   文   献   ］

［1］  童其林.高考中概率问题的常考题型［J］.广东教育（高中版），2021（10）：31-35.

［2］  福建省教育考试院.2021年福建省普通高考学科评价报告：语文、数学、英语［M］.福州：福建教育出版社，2021：56-57，80.

［3］  丁菁.打破惯性 从“新”出发：对苏教版新教材“概率”必修部分的思考［J］.中学数学教学参考，2021（31）：38-41.

［4］  潘冬丽. 对2022年数学新高考卷Ⅰ的思考［J］.中学数学杂志，2022（7）：49-52.

（责任编辑 黄桂坚）