恰当选择变量,优化解题过程,提高解题效率

丁崇芳 潘敬贞

[摘  要] 三角形中的最值问题是高中数学的核心问题，求解此类问题对数学综合能力要求比较高，求解的关键是恰当选择变量转化问题. 求解此类问题主要考查数学运算、逻辑推理、数学建模、直观想象等数学核心素养，考查数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想方法. 文章以2022年全国甲卷理数第16题和2022年新高考全国Ⅰ卷第18题为例，从不同视角，选择不同变量，对问题进行变形，谈如何恰当选择变量方能优化解题过程，提高解题效率.

[关键词] 解三角形;最值问题;选择变量;优化解题过程;解题效率

三角形中的最值问题是高中数学的核心问题，也是高考考查的热点和难点问题.从必备知识层面来看，此类问题突出考查正余弦定理、三角形面积公式、三角公式、三角函数性质、基本不等式、平面几何等知识;从关键能力层面来看，综合考查推理论证能力、运算求解能力、数学建模能力以及创新意识，同时又渗透了数形结合、转化与化归、函数与方程等重要数学思想方法. 三角形中最值问题的求解思路较多，其本质可以追溯到函数思想，即选择合适的变量，构建目标函数，将三角形中的最值问题转化为函数的最值问题. 本文以2022年全国甲卷理数第16题和2022年新高考全国Ⅰ卷第18题为例，谈如何恰当选择变量方能优化解题过程，提高解题效率. 仅供参考.

试题1 （2022年全国甲卷理数第16题）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD，当取得最小值时，BD=______.

这是一道“爪”形三角形的最值问题，“爪”形三角形元素比较多，但元素间也有很强的关联性，因此该问题具有一定的综合性与复杂性，作为填空题的压轴题是非常合适的，试题具有很好的区分度和信度.

思路1 直接选择所求的BD的长为变量构建方程.

如图1所示，设BD=x（x>0），则CD=2x. 在△ADB中，BD=x，AD=2，∠ADB=120°，由余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2BD·AD·cos∠ADB，即AB2=x2+4+2x. 同理，在△ADC中，由余弦定理可得AC2=4x2+4-4x. 所以===4-12.

因为x+1+≥2，当且仅当x+1=，即x=-1>0时等号成立，所以=4-12≥4-2，当且仅当x=-1时等号成立.

綜上所述，当取得最小值时，BD=-1.

评注 思路1直接选择所求的BD的长为变量（设BD=x）构建方程，在△ADB和△ADC中利用余弦定理，用x分别表示AB2和AC2，构建目标函数，求其最小值. 思路1的求解思路清晰，过程简洁，是学生容易想到的思路，也是此类问题的通性通法.

思路2 构建直角三角形，选择直角边为变量.

如图2所示，过A点作BC的垂线，垂足为O.

在Rt△AOD中，AD=2，∠ADO=60°，则OA=，OD=1. 设OB=x（x>1），则BD=x-1，CD=2（x-1）>OD=1，OC=2x-3

x>

.

在Rt△AOB中，AB2=OB2+OA2=x2+3;同理，在Rt△AOC中，AC2=OC2+OA2=（2x-3）2+3=4x2-12x+12.所以==4-12≥4-2，当且仅当x=（x>）时等号成立.

综上所述，当取得最小值时，BD=-1.

评注 思路2通过作辅助线构建Rt△AOD，Rt△AOB，Rt△AOC，并以直角边OB的长为变量（设OB=x），在Rt△AOB和Rt△AOC中利用勾股定理，用x分别表示AB2和AC2，构建目标函数，求其最小值. 思路2更加巧妙，过程更加简洁，效率更高. 但作辅助线构建直角三角形是关键，由于种种原因，学生难以想到.

思路3 选择角为变量.

如图3所示，在△ADB中，由正弦定理得=，且∠ADB=. 所以BD====-1;同理，CD====+1.

由CD=2BD得=-=. 两边平方后可得=

2，即==-1，所以=.

在△ABC中，由正弦定理可得==4-2·sin2B. 因为B∈

0，

，所以2B∈

0，

，sin2B∈（0，1]，所以==4-2·sin2B≥4-2，当且仅当2B=，即B=时等号成立，此时BD=-1=-1.

综上所述，当取得最小值时，BD=-1.

评注 在△ADB和△ADC中，先利用正弦定理，用∠B和∠C分别表示BD和CD，再用CD=2BD，转化为∠B与∠C之间的关系，即将多变量转化为单变量，然后在△ABC中用正弦定理构建目标函数，此函数是关于∠B的三角函数，最后用三角函数的性质求的最小值.

想把边之比转化为三角函数求最值，这种想法很自然，但求解过程显然复杂很多，需要更多的时间，耗费更多的精力，某种程度上来说，解题效率更低，在考场上该思路不是最佳选择.

试题2 （2022年新高考全国Ⅰ卷第18题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=.（1）略;（2）求的最小值.

这道试题以三角方程为条件，告知两个角的等量关系，求三角形两边的平方和与第三边的平方之比. 该题有较高的综合性，在变形条件的过程中需要两倍角公式、降幂公式、和角公式、诱导公式等多个基本知识.转化问题的灵活性较强，思路也较多，但每一个视角每一种思路都不容易，都需要较高的素养水平.

先将题目条件变形如下：因为=，所以=，即cosBcosA=sinB+sinA·sinB，所以cosBcosA-sinAsinB=sinB，即cos（A+B）=sinB. 因为A+B=π-C，所以cos（A+B）=cos（π-C）=-cosC，所以-cosC=sinB（※）.

思路1 选择∠B为变量.

在△ABC中，先利用正弦定理将边的问题转化为角的问题，此时目标函数有多个变量，然后借助内角和公式以及（※）式将多变量转化为单变量，构建目标函数，最后用基本不等式求的最小值.

在△ABC中，因为-cosC=sinB>0，所以cosC<0，所以C∈

，π

，A，B∈

0，

，所以sinC=cosB.

因为A+B+C=π，所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB=-sin2B+cos2B=2cos2B-1.

在△ABC中，由正弦定理可得==，所以=4cos2B+-5≥4-5，当且仅当cos2B=

0<B<

时等号成立.

综上所述，的最小值为4-5.

评注 此思路是当年高考不少考生都能想到的求解思路，但由于需要调用的知识较多，推理过程也比较繁杂，很多考生没有完整解答.

思路2 选择∠CDA为变量.

注意到C=B+，所以过点C作CD⊥AC，垂足为C，交AB于点D，则∠CDA=-A=2B=2C-π，因此可以选择∠CDA为变量，构建目标函数，求的最小值.

如图4所示，令∠CDA=θ，A=-θ，B=，C=+，则sin2A=cos2θ，sin2B=， sin2C=cos2=.

在△ABC中，由正弦定理可得===2（cosθ+1）+-5≥4-5，当且仅当cosθ=-1

0<θ<

时等号成立.

綜上所述，的最小值为4-5.

评注 思路2的求解过程比思路1简洁很多，解题效率有所提高，但发现C=B+是关键.

思路3 以边长的比值为自变量.

利用余弦定理将角的关系转化为边的关系后消元，将目标函数转化为两个变量的齐次式，然后换元转化为一元函数，用基本不等式求的最小值.

由-cosC=sinB，cosB=sinC，A+B+C=π，得cosA=-cos（B+C）= -cosBcosC+sinBsinC=-2cosBcosC.

在△ABC中，由余弦定理得=-2··，化简得a2=. 所以==+

=

-1

·+

.

令t=∈（0，1），则=（t2-1）

+t2==2（t2+1）+-5≥4-5，当且仅当t=-1∈（0，1）时等号成立.

综上所述，的最小值为4-5.

评注 将角化边的想法是自然的，但本题将角化边却不容易，求解过程中繁杂的运算推理在考场上解题效率不高也是显而易见的，不过在日常教学中可以让学生动手实践，培养学生的运算求解能力.

思路4 选择CD为变量.

注意到三个角之间的关系是确定的，“边”在变化过程中得到的三角形是相似的，又目标函数是齐次式，故不妨设AB=1，选择CD为变量，利用余弦定理构建目标函数.

不妨假设AB=1，CD=t∈（0，1），因为C=B+，所以∠DCB=∠B，DB=t.

在Rt△ACD中，AD=AB-BD=AB-CD=1-t;AC2=AD2-CD2=（1-t）2-t2=1-2t，即b2=1-2t.

在△CDA和△CDB中，由余弦定理可得cos∠CDA+cos∠CDB=0，即+=0，即+=0，化简得a2=BC2=. 所以=+1-2t=4（1-t）+-5≥4-5，当且仅当t=1-∈（0，1）时等号成立.

综上所述，的最小值为4-5.

评注 思路4的求解过程清晰，相对来说最简洁，效率最高，但由C=B+得∠DCB=∠B，从而得到CD=DB是该思路的关键.

三角形中的最值问题或取值范围问题的综合性较强，求解方法也灵活多样，学生处理问题时往往不能第一时间发现最优解法，有时会走一定的弯路.因此在教学中，需要根据核心思想方法设计微专题，开展深度教学，让学生深刻体会并掌握核心思想方法，并根据具体问题，灵活选择合适变量，走出解题困境，提高解题效率.