关于空间向量法破解立体几何线面角问题的探究

张健

[摘  要] 空间向量法是破解立体几何线面角问题的重要方法，可按照既定流程通解问题，具有一定的程序性，思维难度低. 文章对空间向量法的构建策略加以探究，并结合线面角的典型问题加以应用剖析，归纳总结相应的教学建议.

[关键词] 立体几何;线面角;空间向量法;极值条件;空间直角坐标系

问题综述

立体几何线面角问题是高中数学重要问题，在高考或模考中常作为压轴题出现，综合考查学生的逻辑分析能力与空间几何观. 突破该问题通常有两种方法：一是一般方法，二是空间向量法. 前者侧重空间转换，后者程序性强，思维难度低. 下面结合考题，具体分析和探究空间向量法破解立体几何线面角问题的策略.

策略探究

空间向量法是解决立体几何线面角问题的重要方法，是主要通过空间向量的构建，利用向量分析立体几何线面角问题的一种方法. 其求解关键在于“四破”：第一，破“建坐标系”，根据题设条件构建恰当的空间直角坐标系;第二，破“求坐标系”，准确求解关键点的坐标;第三，破“推导法向量”，即推导出平面的法向量;第四，破“关系式推导”，即利用线面角关系式求角度. 具体求解時，可以按照如下思路来构建策略.

第一步，首先建立空间直角坐标系，写出关键点的坐标;

第二步，求出异面直线的空间直角坐标系，以及平面的法向量坐标;

第三步，利用关系式进行推导，以图1所示的线面关系为例，直线AB与平面α相交于点B，与平面α所成的角为θ. 若直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ=

cos〈u，n〉

=.

考题突破

高考立体几何线面角问题的条件多变，综合性强，需要把握线面关系，根据问题特征构建空间直角坐标系，下面结合2022年的高考真题具体讲解.

1. 题型1——常规条件下的线面角问题

常规条件下的线面角问题比较普通，题设条件一般，直接给定空间图形，在条件下求解线面角问题. 只需按照空间向量法的构建思路，建立坐标系，推导向量坐标，利用公式求解即可.

例1 （2022年全国甲卷理数第18题）在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB， AD=DC=CB=1，AB=2，DP=.

（1）证明：BD⊥PA;

（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.

分析 考题有两问，第（1）问为常规的两线垂直的证明，通过空间转化，在平面内证明两线垂直为关键;第（2）问为线面角问题，可构建空间直角坐标系，利用空间向量法证明.

详解 在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，如图3所示. 因为CD∥AB， AD=DC=CB=1，AB=2，所以四边形ABCD为等腰梯形，则AE=BF=，故DE=，BD==，可得AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD. 因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD. 又PD∩AD=D，所以BD⊥平面PAD. 又PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.

（2）以点D为原点建立空间直角坐标系，如图4所示，则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，），则=（-1，0，），=（0，-，），=（0，0，）. 设平面PAB的法向量为n=（x，y，z），则n

·=-x+

z=0，

n

·

=-

y+z=0，取n=（，1，1），可得cos〈n，〉==，所以PD与平面PAB所成的角的正弦值为.

评析 上述题目为传统的线面角问题，没有增设特殊条件，按照空间向量法的步骤求解即可. 解题的关键是注意串联上一问，把握“AD⊥BD”这一条件构建空间直角坐标系.

2.题型2——极值条件下的线面角问题

该类问题求解时需要分两步进行：第一步，讨论极值条件，确定极值情形;第二步，在极值情形下构建空间直角坐标系，利用向量法求解线面角问题.

例2 （2022年全国乙卷理数第18题）如图5所示，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E为AC的中点.

（1）证明：平面BED⊥平面ACD;

（2）设AB=BD=2，∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.

分析 本题有两问，第（1）问根据面面垂直的判定定理探索条件即可求解;第（2）问为面积极值条件下的线面角问题，需要构建面积模型，确定极值情形，然后利用空间向量法求解.

详解 （1）已知AD⊥CD，点E为AC的中点，则DE⊥AC. 由条件可证△ABD≌△CBD，则AB=BC. 因为E为AC的中点，所以BE⊥AC. 又BE∩DE=E，所以AC⊥平面BED. 因为AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.

（2）连接EF，由（1）问可知AC⊥平面BED，因为EF⊂平面BED，所以AC⊥EF，所以△AFC的面积可以表示为S=AC·EF. 分析可知，当EF⊥BD时，EF取得最小值，此时△AFC的面积最小.

因为△ABD≌△CBD，所以CB=AB=2. 又∠ACB=60°，所以△ABC为等边三角形. 因为点E为AC的中点，所以AE=EC=1，BE=. 结合AD⊥CD可得DE=AC=1. 在△DEB中，由于DE2+BE2=BD2，所以BE⊥DE.

以点E为坐标系的原点，建立如图6所示的空间直角坐标系E-xyz. 结合题设条件，可知E（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），D（0，0，1），可得=（-1，，0），=（-1，0，1），=（0，，-1），=（0，0，1），=（-1，0，0）.

设=λ（0≤λ≤1），则=+=+λ=（0，0，1）+λ（0，，-1）=（0，λ，1-λ）. 因为EF⊥DB，所以=（0，λ，1-λ）·（0，，-1）=4λ-1=0，解得λ=，所以=-=

1，，

. 设平面ABD的一个法向量为n=（x，y，z），则n

·=0，

n

·=0，即

-x+y=0，

-x+z=0，取y=1，则n=（，1，）. 设CF与平面ABD所成的角为θ，得sinθ===，所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为.

评析 本题第（2）问是三角形面积最值情形下的线面角问题. 整体上，解析过程共有三个阶段：第一阶段，构建面积模型，探寻最值情形;第二阶段，进行几何分析，确定关键直角;第三阶段，利用空间向量法求解线面角问题. 解析过程充分进行了空间转化，利用平面几何探究直角关系，构建空间向量解析线面关系.

3. 题型3——开放条件下的线面角问题

开放条件下的线面角问题在高考中十分常见，该类问题的思维发散性强，给学生留足了思考空间. 通常有两种命题形式，一是设定多组条件，任选一组条件求解线面角问题;二是未設定限制条件，要求自行补充再进行探究. 解析问题时，需要理解条件，把握图形特征，根据自我认识来确定条件，逐步探究.

例3 （2022年高考北京卷第17题）如图7所示，在三棱柱ABC-ABC中，侧面BCCB为正方形，平面BCCB⊥平面ABBA，AB=BC=2，M，N分别为AB，AC的中点.

（1）求证：MN∥平面BCCB;

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成的角的正弦值.

条件①：AB⊥MN;

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

分析 本题第（2）问为开放条件下的线面角问题，其特殊之处在于给定了两个条件，任选一个作为线面角问题求解的条件. 解析问题需要解读图形，根据自我认识选用条件，再利用空间向量法求解.

详解 （1）取AB的中点为K，连接MK，NK，由三棱柱ABC-ABC可得四边形ABBA为平行四边形，而BM=MA，BK=KA，则MK∥BB. 又MK⊄平面CBBC，BB⊂平面CBBC，故MK∥平面CBBC. 因为CN=NA，BK=KA，则NK∥BC，同理可得NK∥平面CBBC. 因为NK∩MK=K，NK，MK⊂平面MKN，所以平面MKN∥平面CBBC，而MN⊂平面MKN，所以MN∥平面CBBC.

（2）因为侧面CBBC为正方形，所以CB⊥BB，而CB⊂平面CBBC，平面CBBC⊥平面ABBA，平面CBBC∩平面ABBA=BB，故CB⊥平面ABBA. 因为NK∥BC，故NK⊥平面ABBA. 因为AB⊂平面ABBA，故NK⊥AB. 下面分别选条件①和条件②来求解线面角问题.

若选条件①，则AB⊥MN，而NK⊥AB，NK∩MN=N，故AB⊥平面MNK，而MK⊂平面MNK，故AB⊥MK，所以AB⊥BB，结合CB⊥BB，CB∩AB=B，可得BB⊥平面ABC.

建立如图8所示以点B为原点的空间直角坐标系，可得B（0，0，0），A（0，2，0），N（1，1，0），M（0，1，2），则=（0，2，0），=（1，1，0），=（0，1，2）.

设平面BNM的法向量为n=（x，y，z），则n

·=0，

n

·=0，即x+y=0，

y+2z=0，取z=-1，则n=（-2，2，-1）. 设直线AB与平面BNM所成的角为θ，则sinθ=

cos〈n·〉

==.

若选条件②，因为NK∥BC，所以NK⊥平面ABBA，而KM⊂平面MKN，所以NK⊥KM. 因为BM=BK=1，NK=1，所以BM=NK. 又BB=MK=2，MB=MN，所以△BBM≌△MKN，所以∠BBM=∠MKN=90°，故AB⊥BB. 又CB⊥BB，CB∩AB=B，所以BB⊥平面ABC. 建立如图8所示以点B为原点的空间直角坐标系，后面求解与上述选取条件①的思路过程一致，不再赘述.

评析 从上述解析过程来看，解决本题共有两个阶段：第一阶段，选定条件，分析几何要素的空间关系;第二阶段，构建空间向量，利用空间向量法逐步突破问题.

教学反思

1. 深刻理解方法，探索构建思路

空间向量法是探究立体几何线面角问题的重要方法，探究应用需要分两步进行：第一步，深刻理解该方法的原理，从向量视角解读方法，理解线面角转化处理的公式;第二步，探索空间向量法破解线面角问题的思路，即“建立坐标系→推导向量→公式推导”. 教学中要立足向量定理推导空间向量法，结合模型引导学生探索线面角与求解公式之间的关系，结合实例指导学生掌握该方法的构建思路.

2. 注重问题总结，归类典例探究

本文结合三道高考真题讲解了空间向量法的应用，总结归纳了破解线面角问题的策略. 这三道考题具有一定的代表性，是线面角问题常见的命题方式，包括常规条件下的线面角问题、极值条件下的线面角问题、开放条件下的线面角问题等. 教学探究中要注重问题的总结归纳，可从三个视角进行，一是题设条件的构建特性，二是问题模型的构建特征，三是突破思路的构建特点. 应用探究时要注意选用具有代表性的考题，必要时可对问题进行变式处理，让学生充分感悟考题、理解方法.

3. 合理空间转换，培养空间几何观

在利用空间向量法破解线面角问题的过程中，需要关注空间模型的几何特性，包括线面关系、线线关系、点线关系等. 空间转换是探究几何关系的关键，从平面视角可确定两线的特殊关系，为空间关系的探索做好基础，如线面垂直关系的判定定理. 因此，教学中要注意空间转换方法的指导，让学生掌握立体几何问题的分析方法，构建“平面特性⇔空间关系”的联系. 教学中合理渗透空间几何观，培养学生直观想象与空间推理等核心素养.