灵活应用教材 优化数学教学

胥婷

[摘  要] 把握教材编写意图，围绕教材组织教学活动，已然成为广大教育工作者的共识. 但教材所呈现的内容是平面的、固化的，这与多维的、灵动的教学活动形成了鲜明的对比. 文章从几个教学实例出发，认为灵活应用教材，优化数学教学可从以下几点出发：拓展背景，体验知识形成过程;制造冲突，激发学生的创造力;改编教材，凸显知识核心价值.

[关键词] 教材;应用;知识;认知;优化

新课标提出，高中数学课程教学应以多种形式的活动，引发学生对数学知识的体验与发现，开发学生的创新意识. 教材作为教学活动实施的标准与载体，是引发学生自主学习、合作探究的“资源库”. 鉴于此，教师应充分挖掘教材潜在的教学价值，将静态教材激活成动态资源，引发学生有效探究，体验数学知识发现与再创造过程.

拓展背景，体验知识形成过程

观察发现，教材引出概念、定义、法则时，一般不会呈现其形成过程与产生背景，即使有，也比较简单，不会将其形成的全过程暴露出来，甚至有些关于概念的逻辑结构与思想方法也未能尽详. 当然，这并非编者的疏忽，而是每个概念、定理、法则的发现与证明都经历了一个漫长的历史过程，不便于教材呈现.

因此，作为教师，应在研究学生与教材的基础上，选择合适的方法，将复杂的问题简单化处理，化抽象为直观，让知识变得更具亲和力;应根据学情与教学内容，对教材加以拓展，让学生在课堂中感知知识的形成与发展过程，为建构完整的认知体系奠定基础[1].

案例1 “零点存在定理”的教学

探究1：函数f（x）=x2+2x-1存在零点吗？若存在，是多少？

师：在数学发展历程中，大家都非常希望能用简单的方法求解高次方程，就像求解低次方程一样. 经过长期不懈的努力，在1824年，挪威一位数学家N.H.Abel证明出5次以上的方程没有根式解. 今天，我们是否有其他办法来判定一个函数有没有零点呢？

生1：从等价关系来看，借助函数图象的性质，即可知道函数是否存在零点.

探究2：如图1所示，这是某区域0～12时的气温变化图，若气温呈连续变化趋势，你们能否用两种曲线将本图补充成完整的函数图象？在此时间段内，有没有某一刻的温度是0 ℃？理由是什么？

教师设计以上两个探究活动，目的是启发学生思维，让学生大胆猜想与尝试. 随着多种方法的呈现，课堂探究热情达到了高潮，呈现出了意料之外的精彩：学生探究出了“零点是否存在”这个问题的结论——“区间内不但存在单一零点的函数图象，也存在多个零点的函数图象”. 笔者将典型的结论一一投影到电子白板上，供学生参考，如图2、图3所示.

探究3：若函数y=f（x）在区间[a，b]上存在f（a）f（b）<0，问该函数在（a，b）内是否一定存在零点？

探究活动中，学生提出：函数f（x）=于[-1，1]上，存在f（-1）·f（1）<0，但是f（x）=在（-1，1）内并不存在零点.

探究4：函数y=f（x）满足怎样的条件时，在区间（a，b）内存在零点？

随着以上探究活动的逐个完成，学生的思维也随着问题的深入深化，零点存在定理自然而然地暴露了出来. 此过程中，教师并没有直接将定理展现给学生，而是让学生通过一个个探究活动自主获得. 环环相扣的探究活动与循序渐进的引导，使得学生经历了一个由“形”到“数”的思维转化过程. 因此，充分挖掘教材中的概念、定理、法则等的形成过程，能让学生在自主探索与合作探究中体悟到数学思想方法，促进学生思维能力的发展，以及知识体系的建构.

制造冲突，激发学生的创造力

教学设计时，如何二次开发教材，从一个新的角度呈现教材的表达，是值得教师思考的问題. 将教材原封不动地呈现给学生，带给学生的只是被动接受，而换一种呈现手法，将问题的本质通过认知冲突的制造来呈现，让学生在真实的问题面前感知问题的本质，为创造力的形成奠定基础[2].

制造认知冲突的方法并不复杂，如将问题的程序稍加改动，让学生直面问题，激发学生产生“该怎么办”的想法. 疑问一旦产生，自然就会进入探索与探究的阶段.

案例2 “方程的根与函数的零点”的教学

师：大家思考一下，你们能解出方程x2-2x-3=0①的解吗？

生2：可以，此方程的两个根分别为-1和3.

师：很好，你们能解出方程x2-2x-2=0②的解吗？

生3：可以，借助求根公式，可获得方程有两个根，分别为1+和1-.

师：不错！那你们觉得方程lnx+2x-6=0③有解吗？（学生摇头）

师：方程③中的未知数有对数的真数，与我们之前接触过的多项式有着较大差异，方程③与方程①和方程②存在着质的区别，目前我们还没有学过什么公式用来求解方程③，对此，你们有什么看法呢？

生4：回过头来观察前面两个可以求解的方程，它们存在的共同点是x为变量. 例如方程①，若将其左边理解为函数y=x2-2x-3，则此方程的根就是y值等于0时，自变量x的值.

师：很好！把函数的零点与方程的根联系到一起进行思考，是一个新的思路，值得赞扬. 因此，借助函数的性质来探索方程的根是一件便捷的事情. 一般情况下，我们常用什么手段来研究函数性质的呢？

生5：常用的是观察函数图象，从直观中获得相关性质.

师：那我们是否可以借助函数图象来揭示方程根的情况呢？

生6：如图4所示，观察函数y=x2-2x-3的图象可以发现，其与x轴相交处的值就是函数值为0时自变量x的值（方程①的根），分别为3和-1.

师：不错，下面请大家作出方程②所对应函数的图象，并借助图象来揭露方程的根.

（学生自主画出图5）

师：观察图5，可以看出函数y=x2-2x-2的图象与x轴的交点横坐标的具体数值吗？

生7：从图象大约能看出根的近似值，但精确值无法确定. 当确定了方程的近似根后，则可明确方程的根所在区间，通过区间长度无限缩短的方法，即可无限逼近根的精确值.

师：这是一个不错的方法，被称为“二分法”，我们放在下一节课重点研究，大家课后可适当地加以了解.

综上发现，只要方程拥有实数根，即可从其对应函数的图象上获得根的大概区间，且图象与x轴的交点具有重要意义，因此给它下了一个定义：针对函数y=f（x），将满足f（x）=0的实数x称为该函数的零点.

师：方程③的图象应该是什么样的呢？

生8：好像无法直接作出y=lnx+2x-6的图象.

师：我们可以把方程转化为lnx= -2x+6，分别作出y=lnx，y=-2x+6的图象，如图6所示. 这样在y=lnx，y=-2x+6的图象中，交点的横坐标即我们所求方程的根.

于学生而言，方程③的呈现，成功地激起了他们的认知冲突. 显然，该方程与前面两个方程完全不一样，而且从原有的认知中也找不到相应的公式来求解. 为了突破这个难题，学生自然会在无所适从的时候加强思考力度，试图从各个途径去寻找突破口，此过程也是实现创造的过程，学生的智慧会随着思维深入而发展. 因此，将教材作为教学载体，通过对其呈现方式的改变，给学生制造认知冲突，不仅能获得良好的教学效果，还能有效激发学生的创造力.

改编教材，凸显知识核心价值

知识的形成与发展一般经历“提出问题—猜想结论—论证猜想—知识应用”四个环节. 为了从根本上凸显知识的核心价值，在教学设计时，教师要有针对性地从这几个环节进行思考，争取将知识结构所蕴含的教育价值暴露在学生思维的生长点处，让学生结合自身实际情况，灵活应对学习过程.

在教材编排时，需要考虑大部分学生的思维习惯与认知过程，结合学生的实际水平，找到更适合学生的支点，让学生在教学中，不仅能获得良好的知识与技能，还能对核心知识产生深刻认识[3].

案例3 “两角和的余弦公式”的教学设计

师：如图7所示，已知河堤背水坡的长度AB为6 m，为了预防洪涝灾害的发生，相关部门决定对背水坡的坡角进行加固，由75°加固到45°. 若该工程由你来设计，预算需要多少土方量.

生9：可以过点A作BC的垂线AE，E为垂足. 因为△DEA为等腰直角三角形，所以AE=DE=6sin75°，BE=6cos75°，BD=6sin75°-6cos75°，所以S=×（6sin75°-6cos75°）6sin75°，因此需要分别求出sin75°，cos75°的值.

师：我们都知道，sin75°可由cos75°推导而来，因此我们的目标只要求出cos75°的值即可，该怎么求呢？

生10：可以将75°拆分成“30°+45°”，列式为cos75°=cos（30°+45°）.

师：这个想法确实有一定道理，将未知的数拆分成已知的数量关系来表达，是数学探索的主要方式之一. 现在的问题是cos（30°+45°）的计算方式，若将这个有特殊值的式子一般化，可怎么表达？

生11：可表达为cos（α+β），但不会解开.

师：当我们面临一个无计可施的式子时，最常用的一种解决办法就是代入特殊值进行运算，通过多次特殊值的试验结论来获得猜想，再验证这个猜想，从而获得明确的结论. 那么本题该从何处入手呢？

生12：我们可以尝试赋予α特殊值，如分别取α的值为，π，π，2π，从三角函数的诱导公式出发，可得以下几个式子：cos

+β

=-sinβ，cos（π+β）=-cosβ，cos

+β

=sinβ，cos（2π+β）=cosβ.

師：通过以上几个特殊值的“投石问路”，并借助三角函数诱导公式得到了相应的结论，那么在建构cos（α+β）这个表达式时能看出什么？

生13：能看出cos（α+β）这个表达式的结构里，必定有sinβ和cosβ两个元素.

师：不错，除了能看出该表达式中必定有sinβ和cosβ两个元素外，还能看出其他元素吗？

生14：我觉得还有sinα和cosα两个元素.

师：理由呢？

生14：因为在cos（α+β）中，α，β呈对等性，当β的值分别取，π，π，2π时，就能获得生12所表述的类似结论，只是其中的α换成了β.

师：非常好！通过分析，我们可以发现表达式cos（α+β）的结构中，必定存在sinα，sinβ，cosα，cosβ等元素. 它们到底能构成什么样的运算结构呢？现在我们一起来研究，大家先说说自己的看法.

生15：借助赋值法，将这四个元素加、乘都行不通，而且它们之间相除也行不通，由此我猜想：它的运算结构应该是部分元素相乘再相加.

师：这个说法让我有点糊涂，有没有哪位同学能表达得更加具体一些？

生16：我们一起来观察cos

+β

= -sinβ这个式子，若讨论的结论准确的话，那么cos

+β

的结构中必定也含有以下四个元素，分别为sinβ，sin=1，cosβ，cos=0，其中cos

+β

=-sinβ则代表着……

师：很棒！你验证了自己的结论是正确的，也就是说完全相乘或相加所获得的结论要么为0，要么其中一项为1，但均非-sinβ这个结论. 现在我们遇到的问题在于，根据cos

+β

= -sinβ需要研究的是sinβ，cosβ，0，1四個元素，怎么组合才可形成-sinβ呢？

生17：从常理出发，cos

+β

这个表达式应出现cosβ才对，没有出现的理由可能是cosβ和cos（=0）相乘;同理，出现-cosβ源于sinβ和sin（=1）相乘，且取了“-”号. 若没猜错的话，表达式应为cos

+β

=coscosβ-sinsinβ.

生18：同理，对cos（π+β）=-cosβ进行研究，获得表达式cos（π+β）=cosπcosβ-sinπsinβ.

师：从中你们看到了什么？

生19：将cos

+β

=coscosβ-sinsinβ，cos（π+β）=cosπcosβ-sinπsinβ一般化，可得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.

师：能将此表达式右边两项中的“-”号换成“+”号吗？

生20：若这么转化的话，则该式为cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，此式与向量数量积有联系.

师：非常好！你们能从这个角度来证明该式是成立的吗？

生21：因为角的正弦和余弦均可表示圆周式的周期运动，所以这些都是从单位圆抽象而来的结论. 如图8所示，从中不难发现P（cosα，sinα），P（cosβ，sinβ），·=

·cos（α-β）=cos（α-β），·=cosαcosβ+sinαsinβ，通过这两个表达式，可确定cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ是成立的. 若将该式中的“β”换为“-β”，即可得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.

纵观此教学过程，教师并没有遵循教科书的流程，而是鼓励学生自主探究，并推导出相关结论. 从中不难发现，教师在教材的应用上非常灵活，都以启发与激活学生思维为着手点，进行合理布局与设计，让学生自主获得核心知识，最大限度地发挥了数学教育价值.

教材作为教学的基本依据，蕴含着丰富的教学资源，作为一线教师，应学会挖掘它的隐性价值，灵活应用教材资源，通过各种教学手段，启发学生智慧，优化数学教学，让课堂在教材的激活应用中焕发出新的生机与活力.

参考文献：

[1] 章建跃，陶维林. 概念教学必须体现概念的形成过程——“平面向量的概念”的教学与反思[J]. 数学通报，2010，49（01）：25-29+33.

[2] 喻平. 数学教学心理学[M]. 北京：北京师范大学出版社，2010.

[3] 林婷. 有效使用高中数学教材的几点思考[J].数学通报，2013，52（06）：23-26.