谈如何遵循知识脉络实施有效教学

杨永福

[摘  要] 在数学教学中，因部分教师对教材的认识不够充分，加之教学重于功利，致使在部分知识点的教学中显得过于急躁，影响了学生核心素养的全面提升. 文章以学生认知为出发点，通过递进式的教学设计引导学生知识的形成和发展，在探究中激发学生思维，培养学生的核心素养.

[关键词] 认知;探究;核心素养

问题提出

“二元一次不等式（组）表示的平面区域”在教学中有着重要价值，若能将该部分内容学懂吃透更易于学生理解和掌握二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题，不过在实际教学中，这部分内容并没有引起一线教师的足够重视，因此使得学生处理简单线性规划的最值问题时常常受阻. 在功利教育的影响下，为了追求速度，部分教师将“二元一次不等式（组）表示的平面区域”压缩成一节课进行教学，缺乏深度的讲解，使得学生应用这部分内容解决实际问题时显得力不从心. 本节课的内容沟通了一元二次不等式、二元一次不等式及简单的线性规划等相关内容，若教学中不能很好地发挥其地位和作用，知识间的相互沟通就会产生障碍，进而影响知识的迁移. 笔者认为，教师应该重视本节课的教学，从学生的认知基础和认知特点出发，结合问题情境和递进式问题引导学生将本节课的内容学懂吃透，发挥好本节课承上启下的作用.

教学实录

1. 借助情境，激发热情

教学情境是调节课堂气氛、激发学习热情的催化剂，教学中教师可以结合教学内容创设或与生活紧密联系的，或具有一定趣味性的、悬念性的问题情境来激发学生的求知欲，促使教学效率的提升.

师：2017年4月26日是一个值得纪念的日子，你知道这天发生了什么吗？

生1：我国首艘国产航母辽宁舰正式入水.

师：很好，这是一件值得国人骄傲的大事，是国家综合国力上升的象征！从航母的设计到施工需要经过无数次精细计算，数学的作用可谓功不可没. 现在请大家思考一下这个问题：在航母建造过程中需要许多巨大的高质量钢柱，根据综合评定选择了甲、乙两家具备生产能力的钢厂进行生产，为了保证工期，两个钢厂每天至少需要提供40根钢柱. 已知甲、乙钢厂每个车间的日产量分别为5根和8根，若两厂共能抽调最多6个车间生产该钢柱，请问两钢厂各需提供几个车间？

生2：设甲钢厂提供x个车间，乙钢厂提供y个车间，则根据条件可得x+y≤6，

5x+8y≥40（x，y∈N*）.

师：很好. 不等式组容易列出来，求解却没有那么容易，为了能够解决这个问题，我们可以先从数对（x，y）的范围开始研究.

设计意图 借助问题点明本节课研究的方向，使主题的引入自然顺畅. 同时结合热点情境創设问题更易于激发学生的探究热情，让学生在“用数学”的过程中体验“学以致用”的真谛.

2. 借助联想，合理类比

在教学过程中，教师要善于调动学生参与的积极性，鼓励学生运用已有认知去思考新问题，引导学生通过联想、类比、探究等数学活动发现问题的本质，找到解题的突破口.

师：结合已有认知，你认为在解决二元一次不等式的平面区域问题时，我们应该先从哪里入手呢？

生3：先要知道这个平面区域表示什么.

师：很好，联想一下二元一次等式的图象，你知道它表示的是什么吗？

生4：是一条直线.

师：很好，请大家在草稿纸上画一画，观察一下直线会把它所在的区域分成几部分.

生5：可以分为上、下两部分.

生6：还有直线本身. （生6补充道）

师：说得很好，确实分成了三部分.

师：斜截式和一般式是直线方程的常用形式，今天我们先以斜截式y=kx+b为例，开启我们的探究之旅. 如果直线l：y=8-2x，那么直线l与方程y+2x-8=0有何联系？

生7：直线上任意一点的坐标都是方程的解，而方程的解亦是直线上点的坐标.

师：说得很好. 根据前面的分析，我们知道除了直线外，还有直线下方和上方的平面区域，那么对于直线l：y=8-2x上方的平面区域该如何表示呢？

生8：我认为上方的平面区域可以用不等式y>8-2x来表示.

师：能说一说你的理由吗？

生8：在直线l：y=8-2x上方的平面区域内任取一点P（x，y），过点P作平行于y轴的直线交直线l于点Q（x，y），则y>y，而y=8-2x，所以y>8-2x，所以直线l：y=8-2x上方的平面区域内任意一点的坐标（x，y）都适合不等式y>8-2x. 反之，亦可验证对于不等式y>8-2x的解，其所对应的任意一对有序实数x，y构成的点P（x，y），都在直线l：y=8-2x的上方.

师：说得非常棒，与之前所学的知识相类比，从两个方面进行了详细的分析和阐述，很到位. 那么如何表示直线l：y=8-2x下方的平面区域呢？

结合前面的探究过程，学生轻松地得出用不等式y<8-2x表示直线l下方的平面区域. 接下来教师让基础较为薄弱的学生给出理由，学生的表达能力在自主探究过程中得到了明显的提升.

设计意图 在教学中通过恰当的引导，让学生先联想直线与方程的对应关系，为后面新知的探究埋下伏笔，通过新旧知识的联系让学生明晰问题的本质. 从以上探究过程可以看出，在探究“不等”的问题时常常以“相等”进行界定，利用“相等”来解决“不等”的问题是常用的手段. 在此环节的探究过程中，类比思想方法的应用激发了学生的参与积极性，学生结合已有认知（二元一次方程的几何意义）很自然地推导出了二元一次不等式的几何意义，前者表示一条直线，而后者为平面区域. 这样学生通过探究和交流实现了等式到不等式的拓展，不仅巩固了已有认知，也有利于学生将来对方程的曲线与曲线的方程等相关知识点的理解. 在整个过程中，学生通过联系、类比、总结和概括，探究能力得到了提升.

3. 借助图形，激发灵感

面对复杂的、抽象的数学问题时，巧妙地应用图形的直观性往往可以激发学生的灵感，很多问题都可以迎刃而解. 为了让学生结合自己的直观感受总结出数学规律，在接下来的教学环节中，教师组织学生动手画图，结合图形进一步理解不等式表示的平面区域.

师：如果让你画出不等式y<2x+3表示的平面区域，你会画吗？（问题给出后，很多学生跃跃欲试地想上台展示）

生9：如图1所示，先要画出直线l：y=2x+3，由于不等式y<2x+3中不含“=”，因此直线l：y=2x+3可以用虚线来表示，直线l下面的斜线为不等式y<2x+3表示的平面区域.

师：请进一步说说你的想法.

生9：根据前面的探究结果我们知道了平面区域内的点与不等式的对应关系，因此可以用选点的方法进行验证. 本题不妨取点（0，0），代入不等式得0<3，符合题意，观察图象可知点（0，0）正好在直线l：y=2x+3的下方，于是验证了前面的结论.

师：借助“点”进行验证既利于理解又易于操作，是一个不错的方法，这也是我们理解和解决此类问题的常见方法，常将其称为“选点法”. 对于取点，在验证过程中大多会选取原点，当然原点不能在验证的直线上，借助特殊点可以实现“以点带面”的效果. 生9所画的图形非常清晰、准确，尤其认识到了“<”与“≤”的区别. 现在让你画y≥2x+3表示的平面区域，你会了吗？

生10：先画直线l：y=2x+3，由于不等式y≥2x+3中有“=”，因此直线l应为实线，如图2所示. 接下来我们利用“选点法”进行验证，因为原点O不在直线l：y=2x+3上，故可以直接取原点O（0，0）进行验证. 根据验证可知原点O的坐标不适合不等式y≥2x+3，因此原点O的另外一侧，即直线l：y=2x+3上方的平面区域为不等式y≥2x+3表示的平面区域（含边界直线）.

设计意图 通过图形能让学生获得直观感受，用“选点法”可将不等式与平面区域的关系进行简化，“以点定侧”利于学生理解和记忆. 对于取点，若直线不过原点可以直接选取原点进行验证，引导学生理解化特殊为一般的重要应用价值，有助于学生解题能力的提升.

4. 借助探究，发现规律

许多数学知识往往会呈现一定的规律，然规律一般不是显性呈现的，需要经历发现、探究、抽象、总结归纳等数学实践活动. 在数学教学中，教师需要对知识进行一定的拓展和延伸，帮助学生发现数学规律，激发学习兴趣，让数学学习变得更加积极和主动.

师：在以上问题的探究中，我们发现了不等式与平面区域的关系，但是我们之前探究的直线是确定的直线，那么对于不确定的直线y=kx+b，其上方的平面区域应该用什么不等式表示？下方呢？

生11：结合前面内容，可知直线y=kx+b上方的平面区域应该用不等式y>kx+b来表示，下方的平面区域用不等式y<kx+b来表示.

生12：难道这个不需要考虑k的值吗？

在生12的质疑中学生开始了新一轮的探究，最终发现不等式表示的平面区域与其对应直线的斜率k的正负无关系. 通过质疑与探究进一步强化了学生认知，同时为了便于学生记忆，在教师的带领下学生总结归纳出了“上大下小”的分布规律，至此完成了对斜截式直线方程的探究.

设计意图 引导学生继续探究，逐渐向一般性问题转化，从而得到了斜截式直线与对应不等式的关系. 教学中通过合作探究，学生的学习热情被点燃，完成了斜截式直线方程的探究后，学生自然会想知道对于一般式直线方程又存在什么规律，学生的思维能力在探究中螺旋上升.

5. 借助转化，完善认知

师：刚刚已经完成了斜截式直线y=kx+b的探究，那么对于一般式直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）两侧平面区域的不等式又存在怎样的规律呢？（教师鼓励各小组进行互助合作）

生13：我们探究后发现，若B≠0，则可以将一般式直线方程转化为斜截式直线方程，先根据B值进行分类讨论.

当B>0时，不等式Ax+By+C>0可以转化为y>-x-，而不等式y>-x-表示直线y=-x-上方的平面区域，故当B>0时，不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0上方的平面区域;同理可得，当B>0时，不等式Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0下方的平面区域.

当B<0时，不等式Ax+By+C>0可以转化为y<-x-，而不等式y<-x-表示直线y=-x-下方的平面区域，故当B<0时，不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0下方的平面区域;同理可得，当B<0时，不等式Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0上方的平面区域.

当B=0时，因为A2+B2≠0，所以A≠0.

①若A>0，不等式Ax+C>0表示直线Ax+C=0右方的平面区域;不等式Ax+C<0表示直线Ax+C=0左方的平面区域.

②若A<0，不等式Ax+C>0表示直线Ax+C=0左方的平面区域;不等式Ax+C<0表示直线Ax+C=0右方的平面区域.

师：很好，将不熟悉的问题转化成我们熟悉的内容，问题顺利地解决了. 在这里我们需要关注B的正负了，若B>0，则与我们前面讨论的斜截式拥有同样的分布规律，即“上大下小”;若B<0，则正好相反. 在学习中，我们要善于发现这些规律，这样以后解题时可以有效地简化过程，有利于解题效率的提升.

设计意图 引导学生进行合作探究，通过问题的挖掘发现问题的本质和一般规律，完善学生认知体系. 同时在探究中引导学生化生为熟，化特殊为一般，有助于学生思维变通，以及分析能力和抽象概括能力提升.

6. 借助应用，巩固强化

学生已经掌握了一般规律，也总结归纳出了口诀，为了更好地进行检验，在完成相应的拓展延伸后，教师还需要借助一些适当的练习进行检测，以达到巩固和内化的目的.

在完成以上内容后，可以给出如下习题进行巩固训练：

（1）不等式x+8y-10>0表示直线x+8y-10=0的______平面区域.

（2）不等式x-8y-10<0表示直線x-8y-10=0的______平面区域.

学生根据总结出的口诀，轻松得到了答案，为了引导学生应用“选点法”，还可以给出这样一个问题：若点（-3，t）在直线x-3y+6=0的上方，求t的取值范围.

设计意图 通过设计不同的问题，引导学生应用不同的方法来解决，达到巩固知识，加深理解的目的，让学生在应用的过程中实现知识的内化.

教学反思

在教学中，教师应该更加全面地理解教材，对教学内容形成整体认识，进而通过有效沟通和渗透将新旧知识进行串联，帮助学生完善认知体系. 要知道，很多数学知识都是前后关联的，若教学中片面认为不是重点、考点就将其忽略，势必会出现思维障碍，影响学生的长远发展，因此教师应深刻领会教学内容的地位和作用，以便通过合理的开发和利用，帮助学生完善和优化认知体系.

同时，教师应意识到，课堂是一种双向活动的场地，教学中既要进行必要的“讲”，又应该学会“听”，通过适时适当的引导来调动学生的积极性，提升教学的有效性. 另外，在新知体系的建构过程中，教师要以学生已有的经验和知识为出发点，立足学生的学情才能让学生真正地参与其中，通过合作交流激发学生思维，点燃学生智慧的火花.

总之，在高中数学教学中，应适时引导学生进行自主探究，多让学生经历一些知识形成和发展的过程，在过程中不断总结经验、积累方法，促进学习能力不断提升.