对一道极值点偏移的函数与导数问题的探究

朱建霞

[摘  要] 函数与导数问题在高考中常作为压轴题出现，问题解析对学生的能力有着较高的要求，思路构建要注意结合图象，分步转化. 文章以一道极值点偏移问题为例，开展思路突破，反思解题过程，总结归纳方法，提出相应的教学建议.

[关键词] 极值点;偏移;函数;不等式;总结

2021年全国新高考I卷函数与导数压轴题，考查的是极值点偏移的相关知识，问题的解析方法和思路构建过程有着一定的参考价值，下面深入探究.

问题呈现，突破评析

1. 问题呈现

考题：（2021年全国新高考I卷第22题）已知函数f（x）=x（1-lnx）.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<+<e.

2. 思路突破

本题为函数与导数问题，第（1）问探究的是函数的单调性，可借助对应的导函数的正负来确定. 第（2）问是不等式证明问题，在函数背景下可以构造新函数，将不等式问题转化为函数最值问题，利用函数的性质来突破. 下面具体探究.

（1）由函数f（x）的解析式可知，其定义域为（0，+∞），对应的导函数为f′（x）=1-lnx-1=-lnx. 分析可知，当x∈（0，1）时，f′（x）>0;当x∈（1，+∞）时，f′（x）<0. 可得f（x）在定义域内的单调性为：在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减.

（2）a和b为两个不相等的正数，因为blna-alnb=a-b，变形可得b（lna+1）=a（lnb+1），即=，结合f（x）的解析式分析可得f

=f

.

结合第（1）问可知，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，且f（1）=1>0，故f（x）在（1，+∞）内有唯一的零点e，故可绘制如图1所示的函数图象. 设=x，=x，0<x<1，x>1. 当x∈（e，+∞）时，f（x）=x（1-lnx）<0，所以可推知1<x<e.

对于连续不等式2<+<e，可将其拆分为两部分求证：第一部分，2<+，即x+x>2;第二部分，+<e，即x+x<e. 采用的是分段证明的方法，具体如下.

第一步，证明x+x>2.

若x≥2，则x+x>2必然成立.

若x<2，则须证明x>2-x，而0<2-x<1，即证明f（x）>f（2-x），进一步转化为证明f（x）>f（2-x），其中1<x<2. 可设g（x）=f（x）-f（2-x）（1<x<2），导函数g′（x）=f′（x）+f′（2-x）=-ln[x（2-x）]. 因为1<x<2，故0<x（2-x）<1，所以-lnx（2-x）>0，即g′（x）>0，所以g（x）在区间（1，2）上单调递增，所以g（x）>g（1）=0，所以f（x）>f（2-x），所以f（x）>f（2-x）成立，即x+x>2成立.

综上可知，x+x>2成立.

第二步，证明x+x<e.

可设x=tx，则t>1，由x（1-lnx）=x（1-lnx），整理可得1-lnx=t（1-lnt-lnx），所以lnx=.

要證明x+x<e，须证明ln（t+1）+lnx<1，进一步整理可知，只要证明（t-1）ln（t+1）-tlnt<0即可. 可令s（t）=（t-1）ln（t+1）-tlnt（t>1），其导函数为s′（t）=ln

1+

-.

先证明不等式ln（x+1）≤x. 设u（x）=ln（x+1）-x，其导函数为u′（x）=-1=. 分析可知，当-1<x<0时，u′（x）>0;当x>0时，u′（x）<0. 所以u（x）在区间（-1，0）上单调递增，在区间（0，+∞）上单调递减. 所以x=0时函数u（x）取得最大值，且u（x）=u（0）=0，故ln（x+1）≤x成立.

参考上述不等式，可得当t>1时，ln

1+

≤<，所以s′（t）<0，即s（t）在区间（1，+∞）上单调递减，故s（t）<s（1）=0，即（t-1）ln（t+1）-tlnt<0，所以x+x<e成立.

综上所述，2<+<e成立.

3. 问题评析

上述第（2）问为核心之问，证明连续不等式成立，但由于问题以函数为背景，故思路构建须充分联系原函数，调用函数性质. 上述证明过程较复杂，但思路构建的逻辑严密，具有一定的连贯性. 总体来看，解析过程可分为以下四个阶段：

第一阶段，处理含参等式条件，构建与原函数f（x）的关系;

第二阶段，原函数的极值点发生了偏移，绘制草图以辅助后续分析;

第三阶段，设定变量范围，转化不等式问题;

第四阶段，分段连续不等式，构造新函数，利用函数性质加以证明.

上述第（2）问证明x+x<e时涉及了新函数构造、含参不等式证明、函数性质研究等多个过程，相对烦琐，实际上可直接利用函数性质来证明，具体如下.

分析可知，f（x）在点（e，0）上的切线为φ（x）=e-x. 可令F（x）=f（x）-φ（x）=2x-xlnx-e，其中x∈（0，e），对应导函数为F′（x）=1-lnx>0，所以函数F（x）在定义域上单调递增，故F（x）<F（e）=0，所以x∈（0，e）时，f（x）<φ（x）. 可令t=f（x）=f（x），则t=f（x）<φ（x）=e-x⇒t+x<e. 又知t=f（x）=x（1-lnx） （x∈（0，1）），所以t=x（1-lnx）>x，即x+x<t+x<e，得证.

思考总结，关联探究

上述考题为函数与导数问题，其中原函数出现了极值点偏移，（1，f（1））是原函数的极值点，但函数f（x）在极值点两侧的变化快慢不同，在左侧单调递增较快，在右侧单调递减较慢，即函数的极值点向左侧发生了偏移. 下面总结与函数极值点偏移相关的知识方法，并举例探究.

1. 函数极值点偏移的判断方法

关于函数极值点偏移的情况，可通过方程f（x）=0的两个根x和x来判定，当=x（x为函数极值点，下同）时，函数的极值点没有发生偏移;≠x时，函数的极值点发生了偏移. 同时函数极值点偏移与曲线开口方向没有关系. 以函数曲线开口向下为例，当x<时，极值点向左偏移，如图2所示;当x>时，极值点向右偏移，如图3所示. 显然考题原函数f（x）属于极值点向左偏移的情形.

2. 函数极值点偏移的解题策略

上述在证明考题第（2）问的极值点偏移背景下的不等式问题时，结合函数的单调性，将不等式问题转化为与原函数值域相关的不等式问题，对于其中的复合情形，采用了构造函数的方法. 总之，构造函数、分析函数性质是此类问题的核心解法，下面具体概括以类问题的解答策略.

（1）构造函数，若x为函数的极值点，则可以构造对称函数F（x）=f（x+x）-f（x-x），根据F（x）的正负可判断极值点偏移的情况.

（2）转化问题，对于与极值点偏移相关的不等式证明问题，可将不等式问题转化为与原函数相关的函数值域问题，也可以引入新变量，转化为与新变量相关的简单的不等式问题.

（3）消参减元，可根据方程根x和x之间的关系来转化所求问题，减少变量个数，构造函数，利用函数性质解题，该方法适用于不等式、极值、最值等问题.

3.函数极值点偏移问题关联探究

问题：已知函数f（x）=ex-2x-1.

（1）求f（x）的单调区间;

（2）若存在x<ln2<x，使得f（x）=f（x），证明：x+x<2ln2.

解析 （1）求函数f（x）的导函数，可得f′（x）=ex-2，定义域为（-∞，+∞），令f′（x）=0，可得x=ln2.

分析可知，当x∈（-∞，ln2）时，f′（x）<0，故f（x）在区间（-∞，ln2）上单调递减;当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）>0，故f（x）在区间（ln2，+∞）上单调递增.

综上可知，函数f（x）的单调递减区间为（-∞，ln2），单调递增区间为（ln2，+∞）.

（2）很容易看出函数f（x）发生了极值点偏移，当x>ln2时，2ln2-x<ln2，f（2ln2-x）=+2x-4ln2-1. 令h（x）=f（x）-f（2ln2-x）=ex--4x+4ln2（x>ln2），其导函数为h′（x）=ex+-4>0，所以函数h（x）在区间（ln2，+∞）上单调递增. 又h（ln2）=0，所以当x>ln2时，h（x）>h（2）=0，即f（x）>f（2ln2-x）. 因为x>ln2，所以f（x）>f（2ln2-x）. 而f（x）=f（x），所以f（x）>f（2ln2-x）. 由x>ln2可知2ln2-x<ln2，x<ln2，由第（1）问可知原函数f（x）在（-∞，ln2）上单调递减，所以x<2ln2-x，即x+x<2ln2，得證.

评析 上述函数f（x）显然发生了极值点偏移，第（2）问证明不等式时先确定了x关于x=ln2的对称点，然后基于不等式的性质构造了新函数，最后利用函数性质推导出了不等关系. 其中判断极值点偏移情况是此类问题的解答前提，构造新函数转化问题是解答关键，而研究函数性质是破题核心.

解后反思，教学建议

上述对一道极值点偏移的函数与导数问题进行了思路突破，并总结了方法，开展了关联探究. 其中函数、导数、单调性、不等式等相关知识是考查核心，问题解答需要深刻理解基础知识，综合运用求解方法. 通过深入反思，下面提出几点建议.

1. 立足基础，探究知识

高考中的导数与函数压轴题常以函数、导数与不等式的关联综合作为主线，全面考查学生的核心能力，而问题解答需要立足数学基础知识，故探究函数、导数、不等式的基础知识十分关键. 基础知识的探究需要理解知识内涵，总结定理公式，包括不同函数的定义、单调性、值域，以及单调性的判断方法、值域的求解方法等. 解题探究中，笔者建议引导学生关注考点，回归教材基础，思考需要的定义公式. 对于其中的复合型问题，可先拆解问题，再探究知识考点.

2. 关联转化，构建思路

与极值点偏移相关的函数与导数问题的解析难度较大，问题探究需要把握函数的性质特征，灵活运用解题策略来转化分析. 从上述解题过程来看，需要分三步进行：第一步，判断函数极值点偏移的情况，可绘制草图;第二步，建立问题与函数的关系，初步处理条件，转化问题;第三步，构造新函数，利用函数性质解析问题. 上述“三步法”是此类问题思路构建的常规方法，教学中教师要引导学生明晰构建过程的目的指向，掌握问题的转化方法以及函数的构造技巧.

3. 总结归纳，提升素养

综合型问题的知识考点、解题方法较为多样，针对不同类型的问题，其解法技巧、构建思路也不同，对其加以总结和反思归纳是十分必要的. 以上述极值点偏移的函数与导数问题为例，需要理解极值点偏移的含义、判断方法、常见类型，以及问题破解的策略. 同时探索解题策略中隐含的数学思想，引导学生掌握其中的思想内涵，如数形结合思想、方程思想、转化思想、构造思想等. 学生应基于数学思想反思思路构建，从而深刻理解解题策略，提升数学素养.

写在最后

真题的知识考点指明了高考考向，其解题方法具有极高的学习价值，深入研究可提高解题能力，拓展思维. 因此在教学中，要立足考题开展解题探究，总结方法策略. 上述探究与极值点偏移相关的函数与导数问题的难度较高，教学时要注重学生的思维引导，培养学生分析问题、解决问题的能力，同时注重方法拓展，提升学生的学科思维品质.