强化几种意识 破解向量最值问题

郭建华+于健

摘 要：学生遇到较灵活的向量最值问题时还是会出现思维受阻的情况.教师在教学中应该强化六种意识，帮助学生形成向量解题意识，突破向量最值问题的解题“瓶颈”.同时引导学生总结提炼向量最值问题中所蕴含的数学思想方法，让学生进一步理解和把握变量分离法、数形结合方法（基于几何表示的几何法，基于坐标表示的代数法）、方程思想、化归与转化思想方法的实质，积累解题经验，发展思维能力.

关键词：意识；向量；最值问题

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种有效工具，有着极其丰富的实际背景.平面向量是高考考查的重点知识之一，特别是与最值相关的题目，更是备受命题者的关注. 其设计精巧、入口宽、解法灵活，可有效考查学生用向量的语言和方法表述和解决一些问题，同时也发展学生的运算能力以及分析问题、解决问题的能力.但学生遇到较灵活的向量最值问题时还是不知所措，思维受阻，错误率高.笔者认为在平时的教学中应该着重培养学生的“几种意识”，让学生形成“向量思想”，以此突破向量最值问题.下面笔者试举例加以分析.

一、 “坐标”意识

所谓“坐标”意识，是指通过构建直角坐标系，将向量改用坐标表示，将要求解的目标转化为代数问题来处理的一种思维方式. “坐标法”是解决向量问题的一条重要途径，依据题设条件中所给的等边三角形、直角三角形、矩形等特殊图形，很容易想到建立直角坐标系求解.其优点是思维方式比较“固定”，学生很容易掌握[1]3.关键是合理建立直角坐标系，准确求出关键点的坐标. 特别是处理与向量相关的最值问题时，若利用向量和函数的相关知识求解使得运算复杂，解题过程较烦琐时，则可以考虑用“坐标法”来尝试一下，会达到事半功倍的效果.

评析 充分利用平面几何图形的几何特征，恰当建立直角坐标系，将几何问题坐标化，转化为代数问题求解，突出了问题求解的通性通法.通过引入参数和坐标运算，立即得目标函数，进而将问题转化为求函数的最值问题.这样求解可以大大降低思维难度，同时也能起到化难为易的效果.

二、“基底”意识

所谓“基底”意识，是指有预见性地选择适当的“基底”，并用“基底”来表示有关向量，以实现化归的一种思维方式.“基底”意识的本质是平面向量基本定理的灵活运用，难点是如何选择“基底”有利于简化运算[1]4.对于处理与向量相关的最值问题时，适当选择基底，将未知向量用基底表示，再进行线性运算，将几何问题代数化，会使复杂问题简单化.

三、“投影”意识

所谓“投影”意识，是指能自觉运用向量的“投影”来解决实际问题的一种思维方式.其 实，它是对向量数量积本质的理解和把握.向量的数量积是向量知识中非常重要的核心知识，但许多学生对它的掌握往往只停留在肤浅运用的层面，只会机械地套用公式[1]1，缺乏对公式中隐含的“本质信息”——向量“投影”的意义和价值的认识.要想让学生较深刻地理解和把握向量数量积的概念，必须强调对向量“投影”概念的理解与应用.即让学生理解数量积a· b的几何意义：数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cosθ的乘积.利用投影意识处理与向量相关的最值问题，则可以回避烦琐的代数运算.

四、“构造”意识

“构造”法解题对学生的思维能力要求较高，是指通过对试题结构特征的分析，联想以前做过的熟悉的题型，对原题进行重组、推广、替换等，使其变成一个情景新颖、处理方法常规的问题.所谓向量中的“构造”意识，是指在一个含有向量关系的等式两边同时“点乘”一个恰当的非零向量，把含有向量关系的等式转化为代数方程，“点积”的对象要依据题意适当的选择，才能达到求解的目的.因此，加强“构造”意识的培养可以提升学生思维的广阔性和解题的灵活性.

评析 抓住要求解的目标，利用向量数量积将题设中向量等式“量化”，让目标中x，y的代数结构特征凸显出来，使得解题具有思路清晰、方法简捷、趣味性强等特点.加强这种解题意识的培养，对培养学生的创新性大有益处.

五、“几何”意识

六、“特殊”意识

所谓“特殊”意识，是指当已知条件中含有某些不确定的量，但结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的特殊值（或特殊角、图形的特殊位置、特殊点、特殊模型等）进行处理，从而得出探求结论的一种思维方式.特别是对于求解与向量相关的最值问题，这样可大大地简化推理、论证的过程，加强“特殊”意识解题，对提升学生的解题速度和准确度有一定的帮助.

评析 结合已知条件，将已知图形特殊化为直角梯形，题目就显得更容易解决了.

学习的本质是学生将信息与头脑中的已有信息重新整合、建构的过程.对于求解与向量相关的最值问题，平时训练时要抓住题目的本质和特征，引导学生展开积极的思维活动，寻找问题解决的突破口、切入点，更应该拓展学生思维的广度和深度，引导学生深入理解数学知识和方法，真正做到既知其一更知其二，最终揭示问题的本质.只要不断积累解题经验，形成“向量思想”，多角度审视问题，便会使问题迎刃而解.

参考文献：

[1]卢明.平面向量复习要强化“五种意识”的培养[J].中学教研（数学），2014（4）.

[2]郭建华，孙西洋.重视借题“发挥” 提高学生学习效能[J].中学教研（数学），2015（12）：7.