贯穿单元主题 体会统计思想

胡尤　马茂年

［摘  要］ 与旧教材相比，新教材更突出单元主题教学，它有利于学生完整、系统地掌握知识. “简单随机抽样”是人教A版新教材第九章“统计”的起始课，为单元学习和模块研究起着“引导”的作用. 文章以此课教学为例，从知识、思想、素养三方面阐述如何在单元起始课凸显“单元主题”.

［关键词］ 简单随机抽样；单元主题；统计思想；核心素养

前不久，笔者开设了新教材“简单随机抽样”（第1课时）公开课，体会了新旧教材在教材处理上的理念变化：新教材不再单纯阐述两种简单随机抽样方法，而是更加突出统计方法的“演绎”属性与统计思想的“归纳”属性，而数学思想的引领更能有效促进核心素养的提升，充分发挥模块起始课“贯穿单元主题”的作用.

教材认知分析

1. 内容意义

《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确了构成高中数学课程内容结构的四条主线，分别为函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动. “简单随机抽样”是人教A版必修第二册第九章“统计”的起始课，也是“概率与统计”模块的第一课，其意义可归纳为以下三点.

（1）“简单随机抽样”是在初中学习了“统计初步”后更系统学习统计的第一课，是引导学生初步形成运用统计思想方法来思考问题和解决问题能力和习惯的第一步.

（2）简单随机抽样是概率抽样中的一种最基本的抽样方法，从理论而言，也是最简单又最完善的抽样方法，是抽样理论和其他抽样方法的基础.

（3）简单随机抽样即概率抽样，是概率学习的实践验证，为加强统计与概率的联系打下了基础.

2. 新教材与旧教材的比较

（1）多了一个“探究”，辨析了简单随机抽样的合理性及“放回抽取”“不放回抽取”（一次性抽取和逐一抽取）的等价性.

（2）多了一个“思考”，体现了对统计思想渗透教学的重视.

（3）换了一种随机数法，体现了数学教育与时俱进的一面：新教材以“用信息技术生成随机数”代替了旧教材的“随机数表法”.

以上变化，体现了新教材理念的改变：

教学策略解析

1. 教学目标

按照“知识掌握→概念理解→应用建模→思想方法→核心素养”的学习认知顺序，本节课的学习目标可以分为以下五点：

（1）掌握简单随机抽样及两种实现方法.

（2）结合概率，感受简单随机抽样的可行性与样本估计总体的可靠性.

（3）利用简单随机抽样工具实现对实际问题的数学建模.

（4）初步形成运用统计思想方法来思考问题和解决问题的习惯.

（5）以数据分析素养为中心，促进数学建模与逻辑推理素养的协同发展.

2. 学情诊断

（1）具备统计与数据分析的基础知识，对总体、样本、个体等知识有初步了解，但对如何实施抽样缺乏系统性归纳.

（2）在对简单随机抽样的概念认知上，学生对抽签法的合理性有感性认知，但对随机抽样的可行性与样本估计总体的可靠性缺乏进一步的思考.

（3）具备求简单事件概率的基础知识（古典概型的简单实例），但缺乏对古典概型的系统认知.

（4）具备分析数学问题所需的确定性思维，但缺乏运用统计思维思考问题的习惯.

3. 教学策略

（1）教学方式：以问题链的形式贯穿教学过程，启发学生思维.

（2）教学形式：借助教学实验、多媒体与信息技术的辅助，提升学生的感性认知.

教学过程设计

环节1：角色模拟，体会统计意义

问题1 如果你是相关部门负责人，为解决以下问题，你会怎样安排工作？

（1）描绘出一张全国人口动态群像图，引导养老、医疗、教育、住房、就业等精细化发展.

（2）了解疫情后我国工业恢复态势，并为之后的工业发展做出发展指导.

（3）某商家计划选择在某电视台的某一时段投放广告.

（4）交通部门将根据某路口的车流量来决定是否设置红绿灯.

（5）药监部门检查某制药厂某批次药品的合格率与有效率.

（6）教育部门将根据中小学生实际睡眠时间，做出相应政策指导.

让学生尝试用统计方法解决实际问题，其基本思路板书总结如下：实际问题→确定总体→收集数据→分析数据→解决问题.

视频展示1 观看央视新闻联播关于第七次人口普查的一分钟报道——“大国点名，没你不行”.

设计意图 本环节突出了单元学习的必要性. 随着社会、经济和科学技术的发展，统计在现代化国家管理和企业管理中的地位越来越重要，人们的日常生活和一切社会生活都离不开统计. 有统计学家说道：“统计方法的應用是这样普遍，在我们的生活和习惯中，统计的影响是这样巨大，以致统计的重要性无论怎样强调也不过分.”

环节2：问题探究，理解抽样的必要性

首先，展示七年级下（浙教版）第六章相关知识，回忆“全面调查、抽样调查”相关知识点；其次，提问如下.

问题2 以下数据收集，适合“普查”还是“抽样调查”？为什么？

（1）某商家计划选择在某电视台的某一时段投放广告.

（2）交通部门将根据某路口的车流量来决定是否设置红绿灯.

（3）药监部门检查某制药厂某批次药品的合格率.

（4）教育部门将对中小学生实际睡眠时间进行调查.

“补刀”展示人口普查的“质量控制”阶段的工作流程（如图4所示），在“大事”中体会抽样的必要性.

设计意图 本环节引出了本节课学习的意义. 通过与问题1前后呼应的方式设计问题2，保证了课堂教学的流畅性与学生思维的连贯性.同时，充分利用贯穿本节课始终的“中小学生睡眠时间”与“人口普查”两个例子，让学生在对微观与宏观的实际问题的深入分析中感悟全面调查的局限性与抽样调查的必要性，为最后统计思想的建立与升华埋下了伏笔.

环节3：实验探索，辨析方法的合理性

视频展示2 央视对教育部关于保障中小学生睡眠时间的报道.

问题3 请为以下问题设计抽样调查方案：为调查奉化高级中学高一（7）班同学每天的睡眠时间是否达到了8小时，本班班主任打算随机抽取10位同学的睡眠情况进行分析，以此估计全班同学的睡眠时间.

实验1 让3位同学在事先准备的“盲盒”中摸取标有全班同学学号的乒乓球，并记录抽到的10位同学每天的睡眠时间，以此估计全班同学的睡眠情况.

班主任发现这10位同学的睡眠情况基本能代表全班同学，于是追问如下.

追问1：抽取样本时最重要的是保证什么？怎么去保证？

实验过程中有2位同学不放回逐一摸球10个，另一位同学一次性摸球10个. 针对这一情况，追问如下.

追问2：一次性批量抽取10个个体和逐一不放回抽取10个个体，两种方法等价吗？

追问3：相比不放回抽取样本，放回抽取样本能满足个体被抽取的等可能性吗？

为使学生更直观地感受“有无顺序”对抽取可能性的影响，提出以下两个实例予以佐证：

①从10个硬币中随机抽取5个，一次性拿5个和不放回逐一拿5个等价否？

②抛一枚硬币10次和一次性抛10个硬币，出现“正面向上”5次和“正面向上”的硬币有5个的概率是否一样？

设计课堂实验，进一步“证实”以上判断：

实验2 口袋中有黄色和白色小球若干个，除了颜色外，小球的大小、质地完全一样. 你能通过抽样调查的方法估计袋中黄球所占的比例吗？（事先准备40个球，黄白各20个，学生分别用放回逐一抽取、不放回逐一抽取和一次性抽取10个球进行实验）

至此，抛出简单随机抽样的概念.

设计意图 本环节保证了单元主要核心素养落地. 新教材的“探究”以大篇幅阐述简单随机抽样的合理性（个体被抽到的等可能性），但“探究”主要以文字的形式进行阐述，这对仅仅掌握简单概率求法的学生来说并不容易. 本环节以两个课堂实验为问题生长点，以理性推理和实例感知为获取知识的途径，让学生在“实验与运算”中体会了统计与概率“归纳与演绎”的辩证关系，充分渗透了逻辑推理素养.

环节4：自主探索，提炼抽样方法

问题4 现在要从编号为1—1548的1548位同学中抽取100位调查其睡眠时间，你还能用现有的小球进行简单随机抽样吗？

方案：准备10个大小、质地一样的小球，小球上分别写上数字0，1，2，…，9，把它们放入一个不透明的口袋中.从口袋中有放回逐一摸取4次，每次摸取前充分搅拌，并把第一、第二、第三、第四次摸到的数分别作为千、百、十、个位上的数，这样就生成了一个四位随机数.

追问1：以上方法与抽签法有什么区别？

追问2：当总体和样本都较大时，随机实验生成随机数的方法方便吗？（电脑演示）

追问3：类比抽签法的过程，你能说说随机数法的操作过程吗？

追问4：请说说抽签法与随机数法的异同及优缺点.

追问分层次逐一对应以下教学任务：

设计意图 本环节是完成本节课“双基”的主体环节.因知识点多，情境统一性不强，所以采取了在问题引导下自主探究的方法归纳和辨析简单随机抽样的两种表现形式，有利于“多而杂”的知识点在学生脑中形成清晰的逻辑脉络.当代著名数学家保罗·哈尔莫斯（P.R.Halmos）认为“问题是数学的心脏”，“问题解决”已被当作当前数学教育的主流及中心任务.

环节5：归纳总结，升华统计思想

问题5 请大家尝试回答以下问题.

（1）在抽样调查中，请说说通过“随机”选择的样本的优缺点.

①每个个体被抽入样本的机会均等，且能计算出估计值的抽样误差和可靠程度. （等可能性）

②不能充分反映某些总体的信息.（随机性）

（2）用简单随机抽樣的方法抽取样本，样本量是不是越大越好？（样本量的确定需要在样本可靠度和抽样成本之间找一个平衡）

举例：2010年第六次人口普查结束后，全国统一随机抽取402个普查小区进行了事后质量抽样调查，抽查结果显示，人口漏登率为0.21%.

（3）学习统计相关知识与以往学习函数、向量等知识有什么区别？

设计意图 本环节是单元学习的思想灵魂. 如何总结本节课的数学思想并蕴含于单元主题教学中是本环节需要解决的任务. 数学思想的贯穿是对单元主题教学的深度落实.同时，通过问题教学的实施与思维框图的应用使得学生在思想方法上得以启发与升华，切实理解了“没有最好，只有更好”的统计思想.

教学反思

作为模块起始课，如何承担“凸显单元主题”的重任？通过这节课的教学，笔者认为关键在于“整体性”，具体可从以下三方面进行思考.

1. 知识上承上启下

知识内容是教学的第一载体，是学生最先接受的教学信息. 知识上的连贯性是保证单元主题整体性的显性要求. 在本节课中，利用回顾初中知识的方式学习就是对知识的“承上”，而对摸球概率的探讨既有呈上之意又有对后学知识的“启下”，潜移默化中关联了“统计”与“概率”.

2. 思想上贯穿始终

《普通高中数学课程标准（2017年版）解读》中指出，整体把握课程内容需要从思想方法上梳理相关知识.数学思想是数学活动的灵魂，史宁中教授在《谈数学基本思想和数学核心素养》中指出，数学基本思想是学习过数学的人应当具备的基本思想特征，它归结为三个核心：抽象、推理、模型. 归纳推理与演绎推理是“统计与概率”模块的主要思想，本节课通过实验与演绎并行的方式，让学生充分体会两种推理思想，为贯穿本模块埋下了伏笔.

3. 素养上循序落地

单元主题教学是以学生从“大格局”建构知识的教学理念，其目的在于借助对知识内容与思想方法的整体把控来促进学生的深度学习，以此达到核心素养的有效落实. 一个单元主题一般有一至两个主要核心素养的培育要求，如“统计与概率”主要承担着逻辑推理与数据处理素养的培育，而起始课作为单元教学的起点，对本单元的素养培育有着“探照灯”的引路作用. 最终，素养培育将会随着知识学习的推进循序落地，达到一个应有的进阶.